海南

對高三學(xué)生來說，每天都要面對大量的習(xí)題，如何能夠在保證正確率的前提下提高解題速度是每一位師生面臨的共同問題.下面筆者從2018年與2019年高考數(shù)學(xué)理科圓錐曲線選填題的解法中辨析如何妙用數(shù)形結(jié)合這個重要的數(shù)學(xué)思想.

一、知識與方法回顧

(一)抓住已知條件的主干，從定語入手，“粗放”閱讀

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【答案】D.

教學(xué)時可以指導(dǎo)學(xué)生把這么長的題目進(jìn)行簡化處理，將其轉(zhuǎn)化為幾個簡短的條件：

將題干條件分解成多個簡單條件可以減輕學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，為下一步解題打下基礎(chǔ).

(二)數(shù)形結(jié)合，將已知條件可視化，“精準(zhǔn)”作圖

(三)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，找到等(不等)量關(guān)系

本題最終目的是求離心率的值，就是找到兩個關(guān)鍵變量a，c的關(guān)系.一種方法是指導(dǎo)學(xué)生求出兩條直線PF1與PF2的方程，然后求出兩條直線交點(diǎn)P的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入直線PA的方程即可；另一種方法是引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮平面幾何的作用，利用輔助線的優(yōu)勢，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，從而構(gòu)造一個斜邊長為2c且有一個內(nèi)角為60°的直角三角形PF2D，如圖所示.這樣可以直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出線段PD與F2D的長度，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入直線PA的方程即可求出橢圓的離心率.

通過三步分析我們不難發(fā)現(xiàn)，審題就是自然語言、圖形語言和符號語言之間的科學(xué)轉(zhuǎn)化.審題過程通常是將已知條件中的自然語言、符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，把一段長長的文字轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，并以圖形為載體呈現(xiàn)，體現(xiàn)出長度和角度等基本數(shù)據(jù)的大小關(guān)系.有時候文字雖少，但信息量大，也會讓學(xué)生造成誤判.解題就是在具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的情況下，通過對這些基本元素關(guān)系的探索與研究，在眾多關(guān)聯(lián)元素影響的背景下，找到核心數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解.

二、2019年高考圓錐曲線選填題解法分析

(一)利用已知條件精準(zhǔn)作圖

精準(zhǔn)作圖是數(shù)學(xué)解題的基本功之一，平面圖形承載了角度與長度、軌跡與方程等數(shù)據(jù)基本量的關(guān)系，是解題的切入點(diǎn)，下面通過一道題來說明此點(diǎn)的重要性.

例1(2019·全國卷Ⅰ理·10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為

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【解析】初步作圖，根據(jù)已知條件可以作出草圖，如圖1，不妨設(shè)|BF2|=x，則|AF2|=2x，|BF1|=3x，可得|AF1|=2x，從而|AF1|=|AF2|，說明草圖有誤差，必須要更改圖形，重新作圖，點(diǎn)A的位置應(yīng)該與橢圓短軸的端點(diǎn)重合，如圖2.

圖1

圖2

這種解法的要點(diǎn)是找準(zhǔn)點(diǎn)A的位置，確定等腰三角形，在已知a，b，c幾何意義的前提下，充分利用學(xué)生熟知的正、余弦定理、二倍角公式和三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.

(二)抓住主要矛盾，根據(jù)圖的對稱性等特征求點(diǎn)的坐標(biāo)

解析幾何中，點(diǎn)作為最基本的要素，是每一道解析題目的靈魂.正如前面所說的自然語言、圖形語言和符號語言之間的科學(xué)轉(zhuǎn)化，最后均以圖形為載體呈現(xiàn)，體現(xiàn)出長度、角度等基本數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系.

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(三)利用直線的傾斜角(斜率)與三角形相結(jié)合，發(fā)揮三角的優(yōu)勢

通過下面的兩道高考題，可以體會不同模塊知識點(diǎn)之間的整合能力，是同學(xué)們迫切需要提高的一個解題能力.

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這兩道題的解法的最優(yōu)之處在于將直線的傾斜角與三角形的內(nèi)角相結(jié)合，利用三角相關(guān)知識處理待求問題體現(xiàn)出對不同知識點(diǎn)的整合.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾高度評價數(shù)形結(jié)合的解題思想：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)與形一個傾向于直觀，一個傾向于精密，一個源自于感性，一個源自于理性，兩者的完美結(jié)合，不失為一個解題的好路徑，一個掌握和理解數(shù)學(xué)原理的好方法.