江蘇

一、原題呈現(xiàn)

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190 cm

二、思維障礙

許多同學(xué)一見到此題，就被嚇住了：文字信息多，數(shù)據(jù)多而且?guī)恍?shù)，繼續(xù)讀下去的信心也就不那么足了！當(dāng)老師將此題布置給學(xué)生練習(xí)的時候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要存在以下問題：

一是完全沒有讀懂題目，對若干條件和數(shù)據(jù)不明就里，完全無從下手；

二是盡管讀懂了題目條件的要求，但是根本不知道用不等式來解決問題；

三是不知道或不熟悉黃金分割的特點和性質(zhì)，在此處也不會遷移應(yīng)用；

四是計算屢屢出錯，而且花費時間較長.

三、障礙分析

單從此題的數(shù)學(xué)難度而言，正確求解并不是想象中那么遙不可及，其實該題在本質(zhì)上是一道初中數(shù)學(xué)題，但是為什么學(xué)生總是害怕這類題呢？究其原因，無非是以下幾點：

一是數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點，教師難教、學(xué)生難學(xué)是一個普遍存在的問題.在現(xiàn)行高一、高二的數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題在每個章節(jié)中均有相關(guān)的例題和習(xí)題.老師在平時的教學(xué)中專注于純粹教學(xué)的要求，對應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)不夠重視，導(dǎo)致在平時的教學(xué)中把數(shù)學(xué)應(yīng)用問題放在次要的位置上，只是孤立地處理一些例題和習(xí)題，甚至把數(shù)學(xué)應(yīng)用看成“實用主義”，認為這是“短視行為”，學(xué)生也只是機械地、消極地完成相關(guān)習(xí)題，在一些階段性的考試中也很少出現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，由于教和學(xué)的雙重原因，導(dǎo)致學(xué)生對系統(tǒng)地解決實際應(yīng)用問題的興趣不大，積極性不高，解決實際問題的能力較差.

二是在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師往往容易忽略對學(xué)生閱讀能力和提取信息能力的培養(yǎng)，常常不經(jīng)意地將數(shù)學(xué)題目的華美外衣脫掉，去掉題目所處的實際環(huán)境狀態(tài)，將實際問題以純粹形式化的數(shù)學(xué)問題展現(xiàn)在學(xué)生面前.數(shù)學(xué)問題形式化會降低學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，老師越俎代庖會讓學(xué)生們更加依賴老師，在試題的信息量越來越大的趨勢下，就會逐漸削弱學(xué)生分析題干并提煉題目信息的能力.

三是學(xué)生依賴計算器，筆算能力越來越弱.在日常教學(xué)中，有些教師過度依靠計算機和計算器，只重方法，忽視過程和運算，認為老師的作用只是講思想方法，至于運算那是學(xué)生課后自己的事情.

四是學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)薄弱，不理解黃金分割比例的含義，缺失了邏輯推理的起點.更有一些學(xué)生對咽喉在哪里和腿長指哪一部分的長度等都不了解，反映出少數(shù)學(xué)生基本素養(yǎng)的缺失.

四、導(dǎo)向要求

新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)》更加注重數(shù)學(xué)文化的滲透，強調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值，并特別強調(diào)數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第4題以數(shù)學(xué)文化為載體，滲透數(shù)學(xué)美，有助于加強學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了高考對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向功能，將會引領(lǐng)更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，強化立德樹人的理念，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生.

就知識本身而言，本題考查了黃金分割比例、數(shù)學(xué)建模、解一元一次不等式等；從試題所考查的能力素養(yǎng)上看，考查了閱讀能力、數(shù)據(jù)分析與處理的能力、計算能力、估算能力；從高考試題的導(dǎo)向上看，實現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，從不同視角考查了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；突出了基于“能力”到基于“素養(yǎng)”的考試評價，突出了“以素養(yǎng)立意命題”的指導(dǎo)思想，強調(diào)“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”，對落實新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準具有積極的導(dǎo)向作用.

五、試題解析

【視角1】利用方程思想，然后逐步消元

由于人體的頭頂至咽喉的長度略小于頭頂至脖子下端的長度，腿長略小于肚臍至足底的長度，

所以170

【評注】上述解法的關(guān)鍵是引入變量，并由黃金分割比例分別建立x與h、z與h的關(guān)系，然后構(gòu)造不等式.

【視角2】觀察圖形，搭起已知量與未知量的橋梁

觀察圖形x與h沒有直接的關(guān)聯(lián)，但通過頭頂?shù)蕉悄毜拈L度(不妨記為n)可以建立兩者的關(guān)系.

x是n中較小的部分，而n是h中較小的部分.如圖，

【評注】上述解法的關(guān)鍵是要靈活運用黃金分割比例的概念.

【視角3】數(shù)形結(jié)合，由黃金分割明確比例關(guān)系

如圖，記頭頂至咽喉長度為xcm，

所以咽喉至肚臍的長度為(1+φ)x，從而肚臍至足底的長度為(2+φ)(1+φ)x.

設(shè)身高為hcm，則h=x+(1+φ)x+(2+φ)(1+φ)x=(2+φ)2x.

以下思路與視角1相同，略.

【評注】上述解法以形助數(shù)，在視角2的基礎(chǔ)上進一步優(yōu)化了解題過程.

【視角4】利用美術(shù)知識估算

我們先介紹一個概念：頭身，又稱頭身比，為身高與頭全高的比值.它是以人的頭高為單位，來描述人體尺度的一種表示方法.

人物繪畫中有句口訣“站七坐五蹲三半”，是說成年人立姿約是7頭身(特別是女性)，坐時約是5頭身，下蹲時約為3.5頭身.這是繪畫里對美的人體比例的總結(jié).

本題中，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，因此頭高小于26 cm，所以身高小于7×26=182 cm，這時有一些同學(xué)從人體美的角度，就直接選B了.

綜上所述，身高在170 cm與182 cm之間取值，故選B.

【評注】從這個視角看，這道題對具有美術(shù)知識的考生是有利的，也說明了學(xué)生要全面提升自己的素養(yǎng)，培養(yǎng)多方面的興趣愛好.

【視角5】利用生活常識估算

買褲子時，需要知道自己的腿長.由生活經(jīng)驗可知，量腿長一般從腳底量到胯骨.估算褲子的上邊緣到肚臍的距離約為5 cm.

【評注】說明生活常識也是不可或缺的素養(yǎng)，即使不會計算，也能猜出來.

六、反思

2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第4題是一道以素養(yǎng)立意，注重考查學(xué)生的核心素養(yǎng)的優(yōu)秀試題，它啟發(fā)我們要進一步轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，進一步深化課堂教學(xué)改革，讓我們反思.

1.數(shù)學(xué)閱讀能力是解決問題的關(guān)鍵

我們要重視對學(xué)生的閱讀能力和提取信息能力的培養(yǎng)，不能將之簡單歸為語文教師的事情.比如，一些考生不會做這道題的原因可以總結(jié)為試題聯(lián)系實際，并不是以考生熟悉的形式呈現(xiàn)，運算量比較大等，但最重要的原因是學(xué)生讀不懂試題，不能理解題意，所以沒有解題的思路.因此從本題看，數(shù)學(xué)閱讀能力是解決問題的關(guān)鍵.提高數(shù)學(xué)閱讀能力對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)以及今后更好地在本職工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)至關(guān)重要.

教會學(xué)生掌握閱讀策略是數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的重要任務(wù).要針對圖表試題、生活語言試題和數(shù)學(xué)語言試題采取不同的策略.同時數(shù)學(xué)是一種“數(shù)形結(jié)合”的語言，所以閱讀試題通常也需要學(xué)生在三種語言之間頻繁地轉(zhuǎn)換，相互補充，弄清楚試題所表達的意思.應(yīng)當(dāng)手腦并用，對材料中的每一個字、每一個公式都要仔細閱讀，并且對重點的地方進行記錄，這樣才能清楚地理解題目中每一個重要信息；同時應(yīng)當(dāng)反復(fù)閱讀，懷疑自己時就重新審題，做不下去時就重新審題，直到解出為止.

2.數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析在高考中逐步增加

近年來數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題與數(shù)據(jù)分析的題量和分值在高考中逐步增加，可見高考命題已經(jīng)在轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科體系觀念，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會，關(guān)心未來，實現(xiàn)高考命題改革與中學(xué)教育、教學(xué)觀念改革的結(jié)合.高考越來越朝著“以能力立意命題”“以素養(yǎng)立意命題”的方向前進，以本題為例，如果教師在平時的教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題，不善于創(chuàng)新教學(xué)、智慧教學(xué)，不善于培養(yǎng)學(xué)生的能力、素養(yǎng)和創(chuàng)新精神，而只是一味地機械性教學(xué)，刻意模仿，會導(dǎo)致學(xué)生“只知其然，不知其所以然”，在面對類似問題時，就會吃大虧，束手無策！因此我們要通過數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題的教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問題和自主解決問題的機會.

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)知識與方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象的知識的素養(yǎng).培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，是培育數(shù)學(xué)學(xué)科基本素養(yǎng)的有效載體.我們應(yīng)從培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高度，重視數(shù)據(jù)分析教學(xué)，在遇到較為復(fù)雜的計算時，教師絕不能偷懶，讓學(xué)生自己課后計算，而不做示范，其實，計算的每一步都蘊含著對學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，教師只講方法而忽略此步，是一種很不負責(zé)任的表現(xiàn)，也是一種脫離實際教學(xué)的表現(xiàn).因此在日常教學(xué)中我們不僅要重視教授學(xué)生提取和整理數(shù)據(jù)的方法，還要引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)據(jù)分析，重視算法，加強限時計算，讓學(xué)生獲得持續(xù)發(fā)展的基本素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)課程的教育價值.

3.教解法不如教想法

如何教會學(xué)生解題?有些老師不考慮學(xué)生實際情況，不注重能力培養(yǎng)，只注重自我講解，自我體驗，沉浸于自我世界，自我陶醉，這樣的表演與展示，學(xué)生只學(xué)會了機械的模仿，在核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)上沒有一絲進步.

事實上，教解法不如教想法.在具體教學(xué)過程中，我們可以先讓學(xué)生審題、獨立思考并說出“想法”(必要時引導(dǎo))，其他同學(xué)質(zhì)疑、補充并實施“想法”，落實到紙筆上，最后提煉思想方法，討論變式、一題多解.這樣做的好處在于:可以著力改善解數(shù)學(xué)題過分依賴題型記憶、復(fù)制模仿的狀況，盡力使學(xué)生在嶄新的習(xí)題情境中，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，以研究者的心態(tài)挖掘隱含信息，分析、解決問題.當(dāng)然，學(xué)生形成“想法”要經(jīng)歷如下心路歷程:閱讀理解→獲取直接信息或挖掘隱含信息→信息直觀化(圖形、圖象)、符號化(代數(shù)式表達)→依據(jù)自己的固有經(jīng)驗、思想方法實現(xiàn)化簡與化歸.當(dāng)學(xué)生在形成“想法”的過程中遇到困難，課堂上老師可以采取如下策略：與學(xué)生共同閱讀、理解并挖掘各類信息→幫助學(xué)生將信息直觀化(圖形、圖象)、符號化(代數(shù)式表達)(當(dāng)數(shù)形結(jié)合時圖當(dāng)先)→幫助調(diào)動學(xué)生固有經(jīng)驗，實現(xiàn)化簡與化歸，等價轉(zhuǎn)化(常用“由已知想可知，由未知想需知”，溝通“可知”與“需知”).這種做法其實就是強調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的實質(zhì)參與，這也就是把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到了實處.