廣東

每年高考都有不少的優(yōu)質(zhì)試題，這些試題都是命題專(zhuān)家精心設(shè)計(jì)的杰作，凝聚了命題專(zhuān)家的集體智慧，對(duì)中學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向性，值得我們?nèi)テ肺?要充分認(rèn)識(shí)高考題所蘊(yùn)含的價(jià)值，挖掘高考題的功能，發(fā)揮其內(nèi)在作用，并以此來(lái)促進(jìn)教學(xué).

下面筆者以2019年數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ的一道選考題為例，進(jìn)行詳細(xì)分析與解答，追本溯源，說(shuō)明立足教材、重視課本例習(xí)題的重要性，并給出相應(yīng)的變式練習(xí)，供大家參考，希望能拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)與分析

(Ⅰ)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

試題分析：題目結(jié)構(gòu)清晰，知識(shí)方面主要考查參數(shù)方程與普通方程互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值求法及其相關(guān)運(yùn)算；思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力，試題的思維過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程體現(xiàn)了能力立意的思想，較好地體現(xiàn)了對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程模塊的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

二、多視角思考，解法探析

1.問(wèn)題(Ⅰ)的解答

分析1觀察參數(shù)方程的特點(diǎn)，利用完全平方公式消參.

分析2充分挖掘式子結(jié)構(gòu)特征(三角函數(shù)萬(wàn)能公式)，換元化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)基本關(guān)系式消元.

分析3由分式分離常數(shù)，簡(jiǎn)化式子，解出參數(shù)t，然后代入消元.

分析4反解出t2與t，然后代入消參.

評(píng)注：參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程常用的方法有代入消元、加減消元、整體消元、平方消元和三角恒等式消元等，要觀察參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)，靈活選取合適的方法.需要注意的是，在參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化中，必須讓x，y的取值范圍保持一致，否則互化就是不等價(jià)的.

2.問(wèn)題(Ⅱ)的解答

解法1(判別式法)

解法2(向量法)

解法3(參數(shù)方程法)

解法4(導(dǎo)數(shù)法)

解法5(數(shù)形結(jié)合法)

評(píng)注：?jiǎn)栴}(Ⅱ)要解決點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最值問(wèn)題，解答中分別使用解析幾何、方程、導(dǎo)數(shù)、三角、向量和函數(shù)等高中核心知識(shí)進(jìn)行解決，體現(xiàn)了知識(shí)的橫向聯(lián)系.因此要對(duì)典型高考題進(jìn)行深入挖掘，探求試題背后的思想方法，注重一題多解，力求對(duì)所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.另外，上述解法也能求得C上的點(diǎn)到l距離的最大值.

以上幾種解法，從不同角度出發(fā)思考問(wèn)題，各顯神通.這充分體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)題的不拘一格，一道試題往往考查多種能力、多種思想方法，同時(shí)，高考試題在命制時(shí)充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個(gè)體差異，多數(shù)試題的解答方法和思維方式并不唯一，給考生提供了較大的發(fā)揮空間.由于不同方法的解題時(shí)間的長(zhǎng)短不同，從而甄別出考生能力的差異，達(dá)到精準(zhǔn)區(qū)分考生能力的目的.另外也說(shuō)明高考要突出考查知識(shí)主干，貼合教學(xué)實(shí)際，重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)基本能力與思想方法的考查，所以我們要在平時(shí)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中重視知識(shí)的儲(chǔ)備和方法的積累，才有可能縮短思維的長(zhǎng)度，達(dá)到事半功倍的效果.

三、追本溯源

問(wèn)“題”那得清如許？為有源頭活水來(lái).原試題的題源就來(lái)自于教材的例題：

對(duì)試題的探源可以讓我們更深刻地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，可以看出2019年考題的“母題”來(lái)源于教材的例題，只是將例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幎?立足教材和選編教材原題，生成教材變題，是高考命題的一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)，這體現(xiàn)了高考命題的公平性和基礎(chǔ)性原則.所以教師要善于鉆研教材，用“慧眼”去發(fā)現(xiàn)有典型性、可拓展性的例題或習(xí)題，善于作解后反思、方法的歸類(lèi)、規(guī)律的總結(jié)與技巧的揣摩，再進(jìn)一步對(duì)例習(xí)題進(jìn)行挖掘、拓展和引申，擴(kuò)大例習(xí)題的輻射面，以此提高復(fù)習(xí)的效率.

四、變式練習(xí)

為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)某一類(lèi)問(wèn)題的掌握，適當(dāng)?shù)貙?duì)題目加以改編再練習(xí)，會(huì)起到強(qiáng)化解題思想方法的積極作用，通過(guò)“一題多變”能夠加深思維深度，讓學(xué)生在親身實(shí)踐中尋求變通，悟出問(wèn)題的本質(zhì)，從而為今后的解題遷移找到共同的固著點(diǎn)，對(duì)于形成完善的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義.對(duì)于本道考題，可以進(jìn)行如下變式訓(xùn)練：

1.變曲線(xiàn)：(2006·全國(guó)卷Ⅰ·理8)拋物線(xiàn)y=-x2上的點(diǎn)到直線(xiàn)4x+3y-8=0距離的最小值是

( )

【答案】A.

【答案】2

(Ⅰ)若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo).

(Ⅱ)a=8或a=-16.

五、高考鏈接

極坐標(biāo)與參數(shù)方程模塊中，圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離相關(guān)類(lèi)型的考題已成為高考中的重要考點(diǎn)，備受命題者青睞.為了凸現(xiàn)考題的有跡可循，把握復(fù)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)效率，下面給出部分相關(guān)的高考試題，以供參考.

【答案】4.

(Ⅰ)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，直線(xiàn)l的普通方程；

(Ⅱ)過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線(xiàn)，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的最小值.

【答案】(Ⅰ)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上.

高考試題是精心之作，每年的高考題從命題角度、題型和難度等方面都進(jìn)行了充分考慮，是知識(shí)、能力和思想方法的載體，是命題思想、命題理念的程序化展現(xiàn)，具有典型性、示范性和權(quán)威性.除了具有測(cè)試與選拔功能外，還具有良好的教學(xué)功能，要了解高考動(dòng)向，把握高考脈搏，對(duì)高考試題的研究分析是重要的路徑.可以看出2019年高考題與上述展示的高考題(含“變式練習(xí)”)是同類(lèi)題，這說(shuō)明命題專(zhuān)家很重視命題的傳承和相互借鑒.所以在高考的備考中，適當(dāng)加入高考真題的訓(xùn)練是必要的，特別是近五年的高考真題.

六、結(jié)束語(yǔ)

坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和延伸.在知識(shí)上結(jié)合解析幾何考查學(xué)生曲線(xiàn)方程的轉(zhuǎn)化能力，以及解析幾何的初步技能，考查數(shù)學(xué)公式變形能力、運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力等.選考題主要是配合2003年開(kāi)始的普通高中新課程改革的選修模塊設(shè)置，試題較容易，屬于“送分”性質(zhì)，導(dǎo)致選拔功能不強(qiáng).近兩年有所變化，根據(jù)學(xué)生選做坐標(biāo)系與參數(shù)方程偏多(實(shí)際是專(zhuān)攻)的情況，對(duì)該題難度進(jìn)行調(diào)整，其實(shí)是考生在與命題者博弈.今年的兩個(gè)選考內(nèi)容，難度同時(shí)增大，應(yīng)該說(shuō)是回歸其應(yīng)有的作用和地位，也消除了命題者內(nèi)心的糾結(jié)，需要考生逐步適應(yīng).

羅增儒教授語(yǔ)：教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)是教材.數(shù)學(xué)高考試題有“源于教材，高于教材”“題在考卷，根在教材”的特點(diǎn)，年年歲歲題相似，歲歲年年意不同，但萬(wàn)變不離其宗，“宗”就是教材.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家?jiàn)W加涅曾說(shuō)：“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性”，教材中的例習(xí)題是經(jīng)過(guò)編者精心設(shè)計(jì)的，具有典型性，大多蘊(yùn)含著深刻的背景和豐富的數(shù)學(xué)思想，很多高考題是教材例習(xí)題的組合、加工、引申、拓展和類(lèi)比，這充分體現(xiàn)教材是高考試題的根之所在.因此，高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)立足于教材，教師們應(yīng)鉆研教材，深刻領(lǐng)悟教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的作用和所蘊(yùn)含的文化價(jià)值，活用教材，對(duì)教材中有潛在規(guī)律的材料、例題、習(xí)題進(jìn)行歸納、類(lèi)比和拓展，充分挖掘，將其價(jià)值發(fā)揮出來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)教材教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化.