陜西

解析幾何的核心內(nèi)容是用代數(shù)方法解決幾何問題. 首先，恰當建系并選取合適的基本量將幾何問題代數(shù)化；其次，運用代數(shù)方法和技巧解決問題. 而代數(shù)方法的關鍵是“運算”，這就涉及一些運算的技巧以及如何簡化運算的問題. 這里以2019年全國卷Ⅱ理科第21題為例，探究如何用代數(shù)方法解決幾何證明和最值問題的常見解法，希望有益于理解解析幾何的本質(zhì)，同時可以體會在解題過程中，如何適時實施簡化運算的方法.

1.試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(Ⅱ)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

2.解法分析

2.1探究第(Ⅱ)問的第(ⅰ)問

一般地，要證明△PQG是直角三角形，需要證明某兩條邊所在直線的斜率之積為-1.根據(jù)圖象，本例實質(zhì)上就是證明直線PQ和PG的斜率之積為-1.

證法1：設P(x0,y0),G(x1,y1)，則E,Q的坐標分別是E(x0,0)，Q(-x0,-y0)，

證法2：設P(x0,y0),G(x1,y1)，則E,Q的坐標分別是E(x0,0)，Q(-x0,-y0)，

所以△PQG是直角三角形.

證法3：(點差法)設P(x0,y0),G(x1,y1)，則E,Q的坐標分別是E(x0,0)，Q(-x0,-y0)，

2.2探究第(Ⅱ)問的第(ⅱ)問

第(Ⅱ)問的第(ⅱ)小問是高考解析幾何的熱點問題——最值(范圍)問題，常見的解法就是引入變量構(gòu)造函數(shù)，至于選擇哪個變量來構(gòu)造函數(shù)，關鍵是對動態(tài)過程的分析，一般有兩種方案：①如果是過定點的動直線，那么一般選斜率為自變量，比如官方的解答；②如果是曲線上的動點，則選擇點的坐標，從而利用函數(shù)最值的求法進行求解.

解法1：將△PQG分割成△PQE和△PEG，求△PQG面積的表達式.

解法2：注意到PE⊥x軸，考慮選擇水平寬乘以鉛垂高,求△PQG面積的表達式.

下面有兩種方法可以求其最值，一種是注意到分母兩式的和正好是分子一個式子的倍數(shù)，可考慮均值不等式：

另一種是官方的參考答案：

解法4：注意到PE⊥x軸，考慮面積的求法選擇水平寬乘以鉛垂高.

以下同解法3.

解法5：由于△PQG各邊所在直線的斜率都知道，可考慮用夾角公式表示面積.

以下同解法3.

3.源與流

本題第一問求動點的軌跡是利用橢圓的“第三定義”——斜率乘積為定值，但要注意驗證，挖掉多余的點；第二問中的第一小問，也是常見的問題，源于2011年江蘇高考題第18題第(Ⅲ)問：

(Ⅰ)當直線PA平分線段MN，求k的值；

(Ⅱ)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(Ⅲ)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

2012年湖北高考數(shù)學理科第21題第(Ⅱ)問也是此類題，只是x,y軸交換了一下而已：

(2012·湖北卷·21)設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

(Ⅱ)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P,Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH?若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.

篇幅所限，不再給出這兩道題的解答，相信讀者可以發(fā)現(xiàn)這三道題的淵源.

本題第二問中的第(Ⅱ)小問技巧性強，運算比較復雜，首先要表達出面積，最后構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)的有關性質(zhì)完成證明，需要在平時加強訓練，尤其要積累簡化運算的方法.

本題的解答充分體現(xiàn)了解析幾何的核心思想——用代數(shù)方法解決幾何問題，綜合性較強，運算量大，也體現(xiàn)了對高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.

解析幾何中求面積最值問題在歷年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，一般涉及求三角形或四邊形面積的最值，解決的思路都是根據(jù)題目的已知條件，先把面積表達式用某個量表示出來，再利用求函數(shù)最值法或基本不等式等知識來求解其最值.

求面積表達式通用的模式是引入變量構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類問題的關鍵.一般常見的構(gòu)造方法有兩種：一種是根據(jù)曲線上的動點，選擇動點的坐標為自變量，如第(Ⅱ)問第(ⅱ)小問的思路一；另一種是根據(jù)過定點的動直線，選擇直線的斜率為自變量，如第(Ⅱ)問第(ⅱ)小問的思路二.

函數(shù)構(gòu)造好后求最值(范圍)，常常從下面幾個方面考慮：

(1)利用基本不等式求出范圍或最值；

(2)利用換元法簡化函數(shù)的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)求出范圍或最值；

(3)有些題目還可以利用二次函數(shù)的判別式或單調(diào)性求范圍或最值.

正確計算是解決解析幾何問題的基本功，數(shù)形結(jié)合是轉(zhuǎn)化解析幾何問題的出發(fā)點.針對圓錐曲線的解題能力提升，給出以下建議：

(1)重視運算能力

運算量大是圓錐曲線題目的特點，心態(tài)上要放平和，克服畏難情緒，制定合理運算順序后，按部就班計算即可；另外，平時要注意一些減少計算量的技巧的積累.

(2)強化數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，善于用幾何圖形尋找解決突破口，選擇盡量優(yōu)化的算法與順序，再用代數(shù)方法推演解決問題.