廣東

排列組合是研究在一定條件下完成某事的方法數(shù)，是組合數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中學(xué)階段學(xué)習(xí)和計(jì)算概率的基礎(chǔ).其題型繁多，靈活多變，解題方法獨(dú)特.解決排列組合應(yīng)用問題，一是要重點(diǎn)處理好分類和分步原則，二是要掌握常見的基本策略，三是要積累模型，靈活運(yùn)用.本文以近幾年全國(guó)卷的高考真題和各地的模擬試題為例進(jìn)行說明.

一、基本思想和原則：合理分類，準(zhǔn)確分步，遵循先選后排原則

處理排列組合問題的基本思想是先選元素后排列，基本原則是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類和按事件發(fā)生的連續(xù)過程進(jìn)行分步.對(duì)于含有約束條件的計(jì)數(shù)問題，應(yīng)合理分類，準(zhǔn)確分步，做到不重不漏，層次清晰.

例1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ理·15)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案)

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題意本題可分成兩類，一類是有1位女生入選，另一類是有2位女生入選，然后在每類中準(zhǔn)確分步，做到不重不漏.

例2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·6)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是

( )

【點(diǎn)評(píng)】本題以古代典籍《周易》的“卦”為背景設(shè)置了一道概率題目，本質(zhì)是排列組合問題.在計(jì)算基本事件的總數(shù)時(shí)，利用了分步乘法計(jì)數(shù)原理；在計(jì)算事件M包含的基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，實(shí)質(zhì)上是遵循先選后排原則，最后利用古典概型公式計(jì)算出結(jié)果.

二、排列組合問題常用的解題策略

1.特殊優(yōu)先策略

如果問題中有特殊元素或者特殊位置，應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素或者特殊位置，再考慮其他非特殊元素或位置.

例3.要排出某班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)和生物6門課各一節(jié)的課程表，要求語(yǔ)文排在前2節(jié)，數(shù)學(xué)不排在第5節(jié)，則不同的排列種數(shù)是多少？

【點(diǎn)評(píng)】特殊優(yōu)先策略有兩種處理方法：一是給元素找位置，二是給位置找元素.上述解題思路體現(xiàn)了兩個(gè)特殊元素優(yōu)先安排的策略，也可以考慮從特殊位置的角度入手，即前2節(jié)選1節(jié)排語(yǔ)文，在第5節(jié)排英語(yǔ)、物理、化學(xué)和生物中的1門，最后排其他4門課程.

2.相鄰問題——捆綁處理的策略

當(dāng)計(jì)數(shù)問題要求的某幾個(gè)元素必須相鄰或排在一起時(shí)，常常采用捆綁法，即將需要相鄰的元素視為一個(gè)整體或新元素，再與其他元素一起排列.

例4.3對(duì)雙胞胎站成一排，要求每對(duì)雙胞胎都相鄰，則不同的站法種數(shù)是________.(用數(shù)字作答).

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于相鄰問題，常采用捆綁處理的策略，具體做法是先捆后排，被捆綁后的整體中各元素也必須排列.

3.不相鄰問題——插空分隔策略

對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決.

例5.現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為

( )

【點(diǎn)評(píng)】不相鄰問題常采用插空法處理，可理解成先排列自由元素，再插入不相鄰元素，從而借助自由元素實(shí)現(xiàn)對(duì)相鄰元素的分離.

4.定序問題——除法倍縮策略

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)，這就是除法倍縮策略.

例6.甲、乙、丙等6個(gè)人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同側(cè)，則不同的排法共有

( )

A.480種 B.240種

C.120種 D.360種

【點(diǎn)評(píng)】本題采用除法倍縮策略進(jìn)行解題，直觀形象，簡(jiǎn)便易操作，不易遺漏.

5.正難則反——間接計(jì)數(shù)策略

正難則反是指直接求解較為困難，則先不考慮元素的附加條件，把所有排列和組合數(shù)計(jì)算出來，再排除不符合要求的情況，從而間接求出滿足條件的結(jié)果.

例7.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有幾種？

【點(diǎn)評(píng)】使用間接計(jì)數(shù)策略的要點(diǎn)是必須把不合要求的排列或組合排除干凈，既不能遺漏也不能重復(fù).

6.不同元素的分組分配問題——先分組后分配策略

將n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同的對(duì)象這類分配問題，常見的處理策略是先分組后分配，即先將n個(gè)不同元素分成k組(涉及組合問題)，再分配給k個(gè)不同的對(duì)象(涉及全排列問題).

例8.將6個(gè)人分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的4個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有________種.

7.相同元素的分組分配問題——隔板法

例9.某校準(zhǔn)備參加2019年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把12個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1～4班，

(1)每班至少一個(gè)名額，不同的分配方案共有多少種？

(2)若每班名額不少于該班的序號(hào)數(shù)，則不同的分配方案共有多少種？

【點(diǎn)評(píng)】名額分配問題適用于相同元素的分配，利用隔板隔成若干份，不同份對(duì)應(yīng)著不同的分配數(shù)量，要注意區(qū)分好此類問題與前面不同元素分配問題的差異.

三、積累模型，靈活運(yùn)用

針對(duì)一些不易理解的排列組合問題，如果能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型，靈活運(yùn)用上述常見解題策略，可使問題更直觀，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.常見的模型有:

1.定序模型

例10.元宵節(jié)燈展后，如圖懸掛有9盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，共有________種不同取法.(用數(shù)字作答)

【點(diǎn)評(píng)】本題的實(shí)質(zhì)是定序模型，根據(jù)前面所講，解決定序模型常見的策略是除法倍縮策略.

2.排隊(duì)模型

例11.馬路上有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，先要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？

【點(diǎn)評(píng)】本題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)排隊(duì)模型，通過模型等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以使生疏問題熟悉化，抽象問題具體化，困難問題簡(jiǎn)單化.

3.球放盒子模型

①不同球放入不同盒子——先分組后分配

將n個(gè)不同的球放入k個(gè)不同的盒子，實(shí)質(zhì)上就是上述中不同元素的分組分配問題，其基本策略是先分組后分配.

例12.(2017·全國(guó)卷Ⅱ理·6)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有

( )

A.12種 B.18種

C.24種 D.136種

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及不同球放入不同的盒子，通過先分組后分配策略，可以達(dá)到有效解題的目的.

②相同球放不同盒子——隔板分配策略

例13.為預(yù)防和控制甲型流感，某學(xué)校醫(yī)務(wù)室欲將23支相同的溫度計(jì)分發(fā)到高三年級(jí)10個(gè)班級(jí)中，要求分發(fā)到每個(gè)班級(jí)的溫度計(jì)不少于2支，則不同的分發(fā)方式共有( )種.

A.120 B.175

C.220 D.820

排列組合題目題型多變，在做題的過程中要明確不同排列組合問題的解題策略，掌握解決問題的正確思路和方式，靈活運(yùn)用這些策略進(jìn)行解題.對(duì)于較為復(fù)雜的排列組合問題，我們還要認(rèn)真分析，合理分類和分步，講策略重模型，合理等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以達(dá)到事半功倍的效果.