四川

空間幾何體外接球問題往往是高中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，各種模擬考試甚至高考也是非常熱衷于考這種類型的題目，常常作為選填題的壓軸題，比如2019年全國(guó)卷Ⅰ理科就在選擇題第12題出現(xiàn)了與球相關(guān)的題，之前的全國(guó)卷中也多次出現(xiàn)和球相關(guān)的題，根據(jù)難易程度，一般都在選擇題10，11，12題的位置，這就意味著，想要取得好成績(jī)，必須攻克這種類型的題目.但是往往這種題目變換多樣，大部分學(xué)生經(jīng)常摸不著頭腦，暈頭轉(zhuǎn)向，甚至對(duì)這種題目產(chǎn)生畏懼心理，最終選擇放棄，導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣，失去信心.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為，這種題目是有一定規(guī)律可循的，因此，對(duì)外接球問題的常見題型和考點(diǎn)做一個(gè)總結(jié)是非常有必要的，如果學(xué)生已經(jīng)了解出題人大概會(huì)從哪些方面去考查外接球問題，那么學(xué)生就能在平時(shí)有意識(shí)地加強(qiáng)練習(xí)，以便能夠熟練掌握和應(yīng)用，再看到這類題，就不會(huì)擔(dān)心沒有思路，也不會(huì)擔(dān)心算不出來了.對(duì)于高中生而言，事先知道外接球問題的考點(diǎn)，打有準(zhǔn)備之仗，非常必要.

一、外接球問題常見題型

題型一 找出球心位置

找出球心位置這種題型是考查得最多的，然而這種題型不具有巧妙解法，只能通過球心位置的確定，利用勾股定理找到一些關(guān)系式，列方程求解.

例1已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為

( )

解：如圖，設(shè)O1為O在平面ABC內(nèi)的投影，設(shè)三棱錐S-ABC的高為h.

∵OA=OB=OC，∴O1為△ABC的外心，∴O1C為△ABC的外接圓半徑，

例2已知三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，DB⊥平面ABC，DB=12，則球O的半徑為________.

解：如圖，設(shè)球O的半徑為R，

∵O為球心，∴O到四點(diǎn)的距離相等，∵AB⊥AC，

∴△ABC為直角三角形，

解：由題意，如圖，兩圓錐的高所在直線必過球心O，且AB⊥O1C,

設(shè)體積較小的圓錐的高為h，則體積較大的圓錐的高為3h，即|AB|=4h.

例4一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為

( )

解：由題意，如圖，六棱柱的底面是正六邊形，其外接圓半徑r=1，六棱柱的高h(yuǎn)=1，

以上四個(gè)例題都可以找到球心的大致位置，利用球心的性質(zhì)，把球心投影到底面，其投影都是底面多邊形的外心或是底面圓的圓心，然后用勾股定理列出關(guān)系式進(jìn)行求解，從而得到答案.

題型二 已知線面垂直，構(gòu)造矩形模型

例5已知三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD,△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=2，則三棱錐的外接球體積為________.

解：如圖，設(shè)其外接球球心為O，其在底面BCD的投影為O1，取AB中點(diǎn)E,連接O1B,OE，

∵OD=OB=OC，∴O1為△BCD的外心，

∵OO1⊥底面BCD,AB⊥底面BCD，∴OO1∥AB,

∴O，O1，A，B四點(diǎn)共面，

∵|OA|=|OB|,E為AB中點(diǎn)，∴OE⊥AB，∴∠OEB=∠OO1B=∠O1BE=90°，

( )

解：如圖，設(shè)其外接球球心為O，其在底面ABC的投影為O1，取PA中點(diǎn)D,連接O1A,OD,

由例5，易證O1為△ABC的外心，四邊形OO1AD為矩形(這里不再贅述)，

以上兩個(gè)例題，有個(gè)共同特點(diǎn)，就是空間幾何體都具有線面垂直的特點(diǎn)，這樣，我們可以大致假設(shè)一個(gè)球心O的位置，并將其投影到底面于O1，從而構(gòu)造一個(gè)矩形，得到空間幾何體的高h(yuǎn)與|OO1|的關(guān)系是h=2|OO1|，再利用勾股定理得到關(guān)系式，進(jìn)而求解出答案.

題型三 三個(gè)兩兩垂直的墻角模型，補(bǔ)形成長(zhǎng)方體或正方體

例7側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為

( )

例8三棱錐A-BCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，其外接球半徑為2，設(shè)三棱錐A-BCD的側(cè)面積為S,則S的最大值為

( )

A.4 B.6

C.8 D.16

∵a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等；

b2+c2≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等；

a2+c2≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等.

∴a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等，

以上兩個(gè)例題，有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是空間幾何體都具有三個(gè)兩兩垂直的墻角模型，那么可以理解為長(zhǎng)方體或者正方體的一個(gè)角，通過補(bǔ)形法，可以將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體，那么原幾何體的外接球，其實(shí)也是所補(bǔ)成的長(zhǎng)方體或正方體的外接球，那么球的直徑就是長(zhǎng)方體或正方體的體對(duì)角線，就非常容易求解了.

二、外接球問題中的偏難題的解決方法

此外，還有一些題目，看似讓人摸不著頭腦，因?yàn)檫@些題目的特征沒有以上題目中那么鮮明，但實(shí)際上，只要大家認(rèn)真分析題目，就會(huì)發(fā)現(xiàn)他們就是以上三種類型之一.當(dāng)然，這樣的題，肯定比前面的例題難度大.

例9設(shè)正三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，BC=1,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),EF⊥DE,則球O的半徑R為

( )

解：如圖，取BD中點(diǎn)為M,連接AM,CM,

∵A-BCD是正三棱錐,∴|AB|=|AD|,|BC|=|CD|,∴AM⊥BD,CM⊥BD，

∵AM∩CM=M,AM?平面ACM,CM?平面ACM,∴BD⊥平面ACM，

∵AC?平面ACM，∴BD⊥AC，

∵E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，BD⊥EF，

∵EF⊥DE,BD∩DE=D,BD?平面ABD,DE?平面ABD，∴EF⊥平面ABD，

∵EF∥AC，∴AC⊥平面ABD，

∵AB?平面ABD,AD?平面ABD，

∴AC⊥AB,AC⊥AD，

∵A-BCD是正三棱錐,∴△ABC≌△ABD，

∴AB⊥AD，

故選B.

( )

解：如圖，過C點(diǎn)作CO1⊥平面ABDE,過O1作O1F⊥AB于F,則由三垂線定理可知,CF⊥AB,

結(jié)合等邊三角形△ABC與正方形ABDE可知,此四棱錐為正四棱錐,此時(shí)就是題型一的情況,可以找到球心的大致位置,利用勾股定理解決.

例11已知正三棱錐S-ABC內(nèi)接于半徑為6的球,過側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖,則此三棱錐的側(cè)面積為________.

解：如圖，過S作SO1⊥平面ABC于O1,∵S-ABC是正三棱錐,∴SO1必過點(diǎn)O.

由截面圖可分析出點(diǎn)O和點(diǎn)O1重合,∴O為△ABC的重心，

根據(jù)解題過程可以看出,此題屬于題型一的情況,確定了球心位置,再利用勾股定理進(jìn)行求解.

例12如圖,在球的內(nèi)接三棱錐A-BCD中,AB=8,CD=4,平面ACD⊥平面BCD，且△ACD與△BCD是以CD為底邊的全等的等腰三角形,則三棱錐A-BCD的高與其外接球的直徑的比值為

( )

解：如圖，取AB,CD的中點(diǎn)分別為E,F,連接EF,AF,BF.

∵球心O到C,D距離相等，∴球心O在線段CD的垂直平分線上，

易得平面ABF⊥平面BCD，∴球心O在平面ABF內(nèi)，

由題意得|BF|=|AF|,且在△ABF中,EF為AB邊上的中垂線,設(shè)球的半徑為R，

∴球心O在線段EF上,連接OA,OC,在Rt△AOE中，有R2=|AE|2+|OE|2=16+|OE|2①,

根據(jù)解題過程,可以看出此題也屬于題型一的情況,找到球心位置,再利用勾股定理進(jìn)行求解.

三、空間幾何體外接球問題的解題思路

通過以上題型的總結(jié)和分析，建議在解決外接球問題時(shí)，先看看空間幾何體是否有線面垂直條件，如果有，則聯(lián)想題型二——做矩形模型的思路，如果沒有，看看空間幾何體是否有三個(gè)兩兩垂直的墻角模型，如果有，則聯(lián)想題型三——補(bǔ)形法的思路，如果沒有，則只能老老實(shí)實(shí)找到球心的大致位置，再利用勾股定理進(jìn)行求解.另外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，如果遇到的題目中，沒有線面垂直，也沒有三個(gè)兩兩垂直，也找不到球心大致的位置，那么此時(shí)，這個(gè)題的難度肯定較大，需要靜心分析題目的已知條件，挖掘出隱藏在題目中的信息，等條件挖掘出來后，此時(shí)一定是上面三種題型中的一種，從而進(jìn)行求解.