廣東

高中階段直線方程有6種表示形式，其中4種是教師和學(xué)生比較熟悉的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和一般式.但在解高考解答題時(shí)，往往由于所選擇的直線方程不是最適當(dāng)?shù)男问剑瑥亩哟蠼忸}運(yùn)算難度，甚至可能阻礙學(xué)生思路的進(jìn)一步發(fā)展.僅僅4種形式還是不夠，在選修4-4中又學(xué)習(xí)了直線方程的其他兩種形式，直線的極坐標(biāo)表示法和直線的參數(shù)方程，其中直線的參數(shù)方程以它跟向量、點(diǎn)、直線的傾斜角存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，在解答某些高考題時(shí)，具有簡(jiǎn)化計(jì)算，促進(jìn)思維的功能，引起了筆者的關(guān)注，現(xiàn)在就以直線的參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用為例，探究直線的參數(shù)方程在高考解題中的各種應(yīng)用，以期對(duì)該章教學(xué)有所幫助.

一、直線參數(shù)方程的再次認(rèn)知

解題時(shí)對(duì)上述二式可單獨(dú)使用，也可同時(shí)運(yùn)用.四要素是指點(diǎn)M(x,y)、點(diǎn)M0(x0,y0)、參數(shù)t和傾斜角α,這四者通過(guò)數(shù)式緊密聯(lián)系在一起.點(diǎn)M(x,y)是直線上的任意點(diǎn)，點(diǎn)M0(x0,y0)可以是特定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn),t表示有向線段的數(shù)量，是通過(guò)傾斜角連接點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)M0(x0,y0)的函數(shù)關(guān)系的重要參數(shù),即以點(diǎn)M0(x0,y0)作為起點(diǎn)，點(diǎn)M(x,y)作為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量,參數(shù)t與點(diǎn)的坐標(biāo)、距離關(guān)系密切,傾斜角可以是定角或變角.由于四要素可以是已知條件、所求元素，或者只是因解題的需要而設(shè)的參數(shù).這二式四要素通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的直線參數(shù)方程就能把待求解問(wèn)題中的已知、未知等條件聯(lián)系到一起，這樣既可以減少計(jì)算量，又可以簡(jiǎn)化思路，規(guī)范程式，快速解答.下面以例題作為載體對(duì)直線的參數(shù)t的兩個(gè)幾何意義加以說(shuō)明.

二、與點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題

直線參數(shù)t的幾何意義之一：直線參數(shù)方程中任意t的確定值都對(duì)應(yīng)直線上唯一的點(diǎn)，同樣，直線上任意一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)唯一的t值.這是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中映射思想的重要應(yīng)用.

(一)定點(diǎn)

當(dāng)M0為定點(diǎn)時(shí)，借助題目條件，使得M0為弦的中點(diǎn)或分點(diǎn)，通過(guò)中點(diǎn)公式或分點(diǎn)公式的搭橋，借助韋達(dá)定理探出解題的突破口，然后順勢(shì)而為，直擊問(wèn)題根本.

如：2019年新課標(biāo)Ⅰ理科卷19題，該題廣東省省平均分為3.22.難度不大，題目也為常見類型，由于考生的化歸思想偏差，基本計(jì)算能力和技能偏低，導(dǎo)致普通的解析法難度較大，失分嚴(yán)重.本題用直線參數(shù)方程解答可簡(jiǎn)化計(jì)算，快速解答，提高得分率.

(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

根據(jù)題意，Δ>0,

設(shè)A,B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則

(Ⅰ)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率.

當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα,當(dāng)cosα=0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x=1.

(Ⅱ)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0. ①

因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，

故2cosα+sinα=0，

于是直線l的斜率k=tanα=-2.

對(duì)于直線參數(shù)方程中的參數(shù)t來(lái)說(shuō)，方程中每一個(gè)t都對(duì)應(yīng)直線上唯一的點(diǎn)，反之，直線上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也確定方程唯一的t值，通過(guò)直線的參數(shù)方程可以把二維空間轉(zhuǎn)化為一維空間.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，減維度是高階思維的體現(xiàn)，映射思想是該模型的核心思想，乘勝追擊，為開啟學(xué)生進(jìn)一步思考的空間，給出以下變式.

(Ⅰ)求α的取值范圍；

(Ⅱ)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

【解析】(Ⅰ)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.

所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是

當(dāng)學(xué)生在一定程度上經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，對(duì)知識(shí)能概括出具有個(gè)人化的深層次理解的同時(shí)，把已知定點(diǎn)求斜率改編成將傾斜角作為變量求動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡，讓學(xué)生再次經(jīng)歷新的題貌，使得題目具有生氣和活力，讓學(xué)生能夠在前一題的基礎(chǔ)上，靈活地遷移數(shù)學(xué)知識(shí)和技能.

(二)動(dòng)點(diǎn)

由于受教材(人教版A版選修4-4 P35-P36)及定向思維的影響，學(xué)生或教師都認(rèn)為點(diǎn)M0為直線上的一定點(diǎn).因受制于這種“定向思維”,我們失去了看到“美”的機(jī)會(huì)，比如下題：

【例4】如圖，點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)部的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)且傾斜角互補(bǔ)的兩條直線與拋物線分別交于點(diǎn)A,B,C,D，求證:∠ACD=∠ABD.

又因?yàn)閟inα=sin(π-α)，

【簡(jiǎn)評(píng)】雖然P(x0,y0)為任意點(diǎn)，但是點(diǎn)P為動(dòng)弦AB與CD所在直線的交點(diǎn)，由已知條件和結(jié)論可知是過(guò)定點(diǎn)的相交弦問(wèn)題，應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何性質(zhì)，巧妙地證明此類定性問(wèn)題.又如長(zhǎng)度一定的動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題，我們依然可以利用直線參數(shù)方程特有的距離公式和中點(diǎn)公式加以解決,比如下題.

【例5】長(zhǎng)度為l(l>4)的線段AB的兩端在拋物線y2=4x上移動(dòng).

(Ⅰ)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；

(Ⅱ)求線段AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值.

此時(shí)得到了y0=f(θ)，那么又如何跟變量x0產(chǎn)生聯(lián)系呢？

教師在此拋出問(wèn)題，給學(xué)生進(jìn)一步嘗試的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生思維活動(dòng)向高層次發(fā)展.回到解題過(guò)程中，我們用了什么呢？又遺漏了什么呢？引導(dǎo)學(xué)生從題設(shè)得到關(guān)于變量x0,y0,θ的等式關(guān)系.

因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)度為l，

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(4x-y2)(4+y2)=l2.

【簡(jiǎn)評(píng)】本題是多年前的全國(guó)高考題，在今日重溫此題，有似曾相識(shí)之感，然而又不是完全的熟悉.我們?cè)谇懊娴?018年全國(guó)卷Ⅲ可以看到一點(diǎn)相似之處，但此題有些不同.2018年是給出了一條過(guò)定點(diǎn)但傾斜角不確定的直線，讓它與圓構(gòu)成弦，求弦中點(diǎn)的軌跡，從題目可預(yù)測(cè)到弦中點(diǎn)必然跟傾斜角存在等式關(guān)系即映射關(guān)系.而本題則給出了一條定長(zhǎng)的線段，線段在已知的拋物線上滑動(dòng)，求其中點(diǎn)的軌跡，那么此時(shí)的參變量就不是傾斜角了，而是定長(zhǎng).不同的是，前者傾斜角為變量，所以求出來(lái)的方程也是關(guān)于傾斜角的參數(shù)方程.而后者是定量，是關(guān)于x0,y0的普通方程.那么這兩者是否都有兩種不同的數(shù)學(xué)表達(dá)方式呢？再次把問(wèn)題拋給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)一步去思考.讓學(xué)生在看似新的環(huán)境中，找相同之處，曉不同之點(diǎn)，從看待問(wèn)題的思辨性去解讀數(shù)學(xué)問(wèn)題.

三、與距離有關(guān)的問(wèn)題

(一)直線上兩點(diǎn)的距離

【簡(jiǎn)評(píng)】本題有三種解法，解法一可以直接求點(diǎn)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式；解法二，聯(lián)立直線方程和曲線方程,借助韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式；解法三就是上面的解法.三種解法，后一個(gè)解法比前一個(gè)在計(jì)算量方面呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，在限時(shí)的高考中減少計(jì)算量就比較占優(yōu)勢(shì)，不管是在解題時(shí)間和解題書寫長(zhǎng)度上，還是在解題最終結(jié)果的準(zhǔn)確性上，選擇的方法是否得當(dāng)，都直接影響考生的考試心理和答案的正確性.

(二)已知關(guān)于距離的等式或不等式，解決參數(shù)或最值問(wèn)題

高考題在不斷地推陳出新，讓學(xué)生在鮮活的數(shù)學(xué)語(yǔ)言環(huán)境中習(xí)題解題，了解數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的可遷移性，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).然后從更大更廣的角度考查學(xué)生對(duì)“四基”的掌握程度，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.直線的參數(shù)方程在高考的時(shí)間長(zhǎng)河中，除了考查簡(jiǎn)單的兩點(diǎn)間距離，它還有自己的表象表征.如兩條共點(diǎn)的線段之間的和、差、積、商，還有它們衍生出來(lái)的其他數(shù)學(xué)表示方式.同時(shí)亦可以跟向量結(jié)合，如兩個(gè)向量共線及它們的夾角、數(shù)量積，等等.比如下題.

【例7】(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

又因?yàn)辄c(diǎn)B(1,0)在C1的內(nèi)部，所以①式有兩根，分別設(shè)為t1,t2.

將直線PQ的方程代入圓A化簡(jiǎn)得t2-4sinα·t-12=0 ②，

又因?yàn)辄c(diǎn)B(1,0)在圓A的內(nèi)部，所以②式有兩根，分別設(shè)為t3,t4.

由韋達(dá)定理可知t3+t4=4sinα，t3t4=-12,所以

【簡(jiǎn)評(píng)】學(xué)生按慣性思維，在高考的第20題考查二次曲線與直線的位置關(guān)系時(shí)，習(xí)慣用解釋法做題，即聯(lián)立直線方程和曲線方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求得距離，就該題來(lái)說(shuō)，需要求解兩次，且在設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程時(shí)，首先需要討論斜率是否存在，其次根據(jù)弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，最后還要進(jìn)行雙根式函數(shù)的最值求解，計(jì)算難度和煩瑣程度可想而知.而利用參數(shù)的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性求解，簡(jiǎn)潔明了且運(yùn)算難度驟減.可見，在考試過(guò)程中方法的選擇十分重要，運(yùn)用常規(guī)的解題思路不代表就能夠在有限的時(shí)間內(nèi)做出答案，只有在平時(shí)吃透每種題型在不同解題方法上的優(yōu)劣，到關(guān)鍵時(shí)刻，才能在最短的時(shí)間內(nèi)做出最有效的判斷，展示最簡(jiǎn)便的解答過(guò)程，得出最準(zhǔn)確的答案.

(Ⅰ)當(dāng)a=4,|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

(Ⅱ)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.

因?yàn)锳在橢圓上，所以方程有根,不妨設(shè)為t1,t2，

因?yàn)锳在橢圓上，所以方程有根,不妨設(shè)為t3,t4，

由橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上可知，a>3,

波利亞在《數(shù)學(xué)分析的問(wèn)題和定理》德文初版前言中說(shuō)：一個(gè)想法使用一次是一個(gè)技巧，經(jīng)過(guò)多次使用就可以成為一種方法.直線的參數(shù)方程在解決動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、等分點(diǎn)及直線上任意兩點(diǎn)間的距離及共起點(diǎn)的兩線段之間的和、差、積、商等衍生問(wèn)題的這一類題型有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).不管在解題思路還是在解題過(guò)程的計(jì)算中都起著化繁雜為簡(jiǎn)潔，化冗長(zhǎng)為精簡(jiǎn)的作用.由于直線的參數(shù)方程出現(xiàn)在選講內(nèi)容中，很多教師對(duì)此總是匆匆而過(guò)，讓學(xué)生失去了學(xué)習(xí)更好的解法的機(jī)會(huì)，在高三復(fù)習(xí)中我們應(yīng)該對(duì)此給予彌補(bǔ)，對(duì)其涉及的各種題型加以全面掃蕩，對(duì)于高考?？碱}型給予重點(diǎn)關(guān)注.不再是看到平面解析幾何就只會(huì)解題思路，而對(duì)解題過(guò)程中的計(jì)算只能聞?lì)}興嘆，止步不前.選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)的表達(dá)方式，讓跟直線有關(guān)的平面解析幾何問(wèn)題成為奪得高考高分的助力點(diǎn).