江蘇

一、問題提出

在高三一輪復(fù)習(xí)期間，學(xué)生們往往是有題就做，不對知識(shí)和方法進(jìn)行梳理，頭腦中的方法是孤立和零散的，如此反復(fù)的訓(xùn)練,不僅沒能形成自己的解題思維，反而造成思維僵化.如果教師們的教學(xué)又僅停留在就題講題的層面，就不能促使學(xué)生對解題方法形成結(jié)構(gòu)化，從而導(dǎo)致學(xué)生有很多方法聯(lián)想不起來或選用不合理，一輪復(fù)習(xí)后學(xué)生的學(xué)習(xí)就會(huì)停滯不前，提升空間很小.

“章末專題”復(fù)習(xí)是指對某一章內(nèi)容進(jìn)行過一輪復(fù)習(xí)后，圍繞本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，以一個(gè)主題為研究中心,從“最原始”的概念開始,利用具有緊密相關(guān)性的知識(shí)和方法形成專項(xiàng)研究的一種教學(xué)方法,其具有見微知著的功效，能夠有效幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生高效學(xué)習(xí).筆者所在學(xué)校的高三備課組，為了使復(fù)習(xí)更具成效，讓學(xué)生及時(shí)對一章內(nèi)容的基本問題進(jìn)行歸類，在短時(shí)間內(nèi)習(xí)得解決一類問題的方法，通過研究和實(shí)踐，提出了在一輪復(fù)習(xí)中穿插章末專題的復(fù)習(xí)模式，收效顯著.以下筆者以“三角形中的最值問題”的教學(xué)為例，談?wù)劸唧w做法，不妥之處還請批評指正.

二、專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)

1.問題歸類，聯(lián)想方法

教師對專題中的基本問題進(jìn)行歸類，確定解決此類問題完整、清晰的方法，遵循“先方法后選題”的原則，編制課前檢測(以下簡稱：前測)訓(xùn)練內(nèi)容，要求一個(gè)基本問題對應(yīng)一個(gè)題目，或者一題多問，選取的題目要與方法直接對應(yīng)，并要求學(xué)生利用課外時(shí)間獨(dú)立完成.這樣不僅可以了解學(xué)生對本專題的掌握情況，而且還能幫助學(xué)生通過題目對問題進(jìn)行歸類，發(fā)現(xiàn)一類問題的基本特征，聯(lián)想出相關(guān)的結(jié)論或方法.基本操作流程如下：

教師準(zhǔn)備：

制定學(xué)習(xí)目標(biāo)

↓

根據(jù)“先方法后選題”的原則編寫前測

學(xué)生準(zhǔn)備：

↓

學(xué)生利用課外時(shí)間獨(dú)立完成前測

↓

學(xué)生形成對一類問題基本特征的認(rèn)識(shí)

↓

上交反饋

教師準(zhǔn)備：

↓

批改,了解學(xué)情，挑選樣本

“三角形中的最值問題”的基本問題大致有三類:(1)與角有關(guān)的最值問題；(2)與邊有關(guān)的最值問題；(3)與周長或面積有關(guān)的最值問題.其處理思路有以下三個(gè)方向：思路1，化角處理，即利用正余弦定理、三角形邊長的隱含條件等將邊化為角，最終轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題；思路2，化邊處理，即利用正余弦定理、三角形內(nèi)邊的隱含條件等將角化為邊，最終轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值或者轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)利用基本不等式處理；思路3，結(jié)合圖形特征，化為平面幾何或解析幾何模型，最終利用幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合解決最值問題.基于以上分析，筆者選擇如下3道前測試題.

(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊.若acosB=2bcosA，則tan(A-B)的最大值為________.

(2)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊.若3acosC+b=0，則tanB的最大值是________.

分析：前測(1)對應(yīng)思路1，前測(2)對應(yīng)思路2，前測(3)對應(yīng)思路3，學(xué)生通過前測3個(gè)問題的解決，不僅回顧了解決這類問題的思路，還形成了對這類問題的基本特征的認(rèn)識(shí).前測的設(shè)置不僅促進(jìn)了學(xué)生的“學(xué)”，而且還促進(jìn)了教師的“教”，教師通過及時(shí)批改前測試題，很好地診斷了學(xué)生的學(xué)情，進(jìn)而及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué).

2.師生對話，提煉方法

對數(shù)學(xué)問題的有效解決不僅僅表現(xiàn)為對問題的思考，學(xué)生與老師、學(xué)生與學(xué)生之間對問題的深度對話，更是對數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的一種思辨和表達(dá)；有效的生生和師生對話不僅能縮短師生之間、生生之間的思維落差，以實(shí)現(xiàn)思維同頻共振、互動(dòng)耦合、螺旋上升，也能讓學(xué)生從知識(shí)到方法，再到運(yùn)用中形成數(shù)學(xué)思想.通過前測的3道題的訓(xùn)練及學(xué)習(xí)展示的樣本方法，學(xué)生已經(jīng)初步了解本專題要研究的基本問題和基本方法，因此，在本環(huán)節(jié)中，教師要因勢利導(dǎo)，提出問題，引發(fā)生生、師生的深度對話，在對話中互相修正、補(bǔ)充、啟發(fā)，從而激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，最終共同構(gòu)建出解決此類問題的方法結(jié)構(gòu)圖，達(dá)到對方法的整體認(rèn)識(shí).

教學(xué)片斷1：

師：通過對前測的訓(xùn)練與思考，結(jié)合剛剛展示的幾位同學(xué)的解題方法，大家對這類問題有什么認(rèn)識(shí)？先進(jìn)行組內(nèi)討論.

生1：這類最值問題可分為求角的最值(如前測1、2)、求邊的最值、求面積的最值(如前測3)三種類型.

生2：處理這類問題，需要用到正、余弦定理，三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式、輔助角公式和基本不等式等知識(shí).

生3：通過自己的思考和學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)解決這類問題基本上有三種思路：一是邊化角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題；二是角化邊，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或二元函數(shù)的最值問題；三是結(jié)合圖形特征，化為平面幾何或解析幾何模型.

生4：根據(jù)已知條件和問題的特征合理選擇三種思路.一般地，當(dāng)題目條件所給的邊或者正弦值為齊次式時(shí)，可以運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.而如果出現(xiàn)邊的二次或者兩邊之積時(shí)，符合余弦定理的特征，則可考慮用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.當(dāng)然，當(dāng)三種思路均可行時(shí)，選擇運(yùn)算簡潔又能講清楚、寫明白的思路.

師：生4為我們解這類題提供了清晰的解題方向.同學(xué)們，發(fā)揮你們的聰明才智，能不能將生4提供的方法以結(jié)構(gòu)圖的形式呈現(xiàn)呢？

最終通過生生、師生對話和教師的及時(shí)幫助，形成如下可操作的方法結(jié)構(gòu)圖：

分析：通過生生、師生的深度對話，引入解題方法結(jié)構(gòu)圖，既方便學(xué)生解題時(shí)操作，也方便課后復(fù)習(xí)，還可以讓學(xué)生對解題方法的形成過程有深刻的體會(huì)，幫助學(xué)生理清問題、已經(jīng)儲(chǔ)存的主要知識(shí)點(diǎn)和零散的解題方法之間的聯(lián)系，在解題時(shí)迅速遷移出所儲(chǔ)備的知識(shí)和方法，產(chǎn)生方法聯(lián)想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而形成自己的解題思維.

3.選擇方法，解決問題

雖然學(xué)生在頭腦中儲(chǔ)備了方法結(jié)構(gòu)，但涉及綜合性問題，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)無法歸類，無法與方法結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，或歸類后無法判斷哪種方法更合理、更簡潔的問題.因此，教師可以選擇涉及幾類問題或多種思路的綜合問題進(jìn)行例題教學(xué)，教師通過回歸方法結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生對例題進(jìn)行類型識(shí)別、回歸方法結(jié)構(gòu)聯(lián)想方法.如“三角形中最值問題”設(shè)置如下的例題.

例：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b+c=2a且a=6，求△ABC面積的最大值.

利用方法結(jié)構(gòu)圖中的三種思路，得到如下解題方法：

分析：通過回歸方法結(jié)構(gòu)，學(xué)生學(xué)會(huì)將新問題與已有的方法結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，進(jìn)而更準(zhǔn)確、更迅速地提取方法，促進(jìn)思維聯(lián)想的針對性和有效性，從而達(dá)到方法結(jié)構(gòu)的遷移.更重要的是通過回歸方法結(jié)構(gòu)，對問題進(jìn)行多視角探究，學(xué)生的思維得到了鍛煉，分析問題和解決問題的能力得到了提升，這對于學(xué)生是終身受益的.

4.反饋練習(xí)，提升素養(yǎng)

現(xiàn)代系統(tǒng)科學(xué)的反饋理論指出：任何系統(tǒng)只有通過反饋信息，才能實(shí)現(xiàn)控制，教學(xué)也是如此.在課后，教師通過采取科代表普查、教師抽查等形式來監(jiān)督學(xué)生及時(shí)對專題講義進(jìn)行整理，并運(yùn)用各種解法重新試做一遍講義上的例題，理解方法的選擇和優(yōu)化,為學(xué)生回歸方法結(jié)構(gòu)提供重復(fù)、可見的資料，加強(qiáng)對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的鞏固.除此之外，教師還會(huì)依據(jù)本專題所涉及的方法選擇小題和涉及幾類問題或幾種方法的綜合問題，設(shè)置反饋練習(xí)，練習(xí)一般以10道題左右為宜，促進(jìn)學(xué)生對本專題的方法結(jié)構(gòu)的鞏固，提高學(xué)生回歸方法結(jié)構(gòu)的意識(shí).對反饋練習(xí)進(jìn)行講評時(shí)，應(yīng)基于講義中的方法結(jié)構(gòu)聯(lián)想，以方法結(jié)構(gòu)作為遷移點(diǎn)，不斷引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與回歸，突出方法結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，提升方法結(jié)構(gòu)應(yīng)用的針對性.還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生每周安排時(shí)間復(fù)習(xí)方法結(jié)構(gòu)，分析錯(cuò)誤原因，思考方法的選擇和優(yōu)化，回顧方法結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)對知識(shí)遷移的鞏固.

三、結(jié)束語

總之，高三的一輪復(fù)習(xí)不應(yīng)只是對知識(shí)點(diǎn)和方法的簡單重復(fù)，應(yīng)該做到在溫故知新的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步豐富學(xué)生的方法聯(lián)想能力，構(gòu)建方法結(jié)構(gòu)的章末專題復(fù)習(xí)模式，不僅讓學(xué)生對解決一類問題的基本方法形成結(jié)構(gòu)，還讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過回歸已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜問題簡單化，簡單問題明朗化，這對突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙起到極其重要的作用.