薛向珍 霍啟新 鄭甲紅 陳 曦 秦利云

1.陜西科技大學(xué)機電工程學(xué)院，西安，7100212.西安航天發(fā)動機廠35車間，西安，710061

0 引言

漸開線花鍵具有良好的導(dǎo)向性、定心性及大的扭矩傳輸能力，被廣泛應(yīng)用于航空減速器、航天發(fā)動機渦輪泵等動力傳輸系統(tǒng)中。航空花鍵副在飛機起飛、巡航、著陸過程中承受變扭矩、軸向力以及彎矩形式的周期波動載荷，微動磨損失效非常嚴(yán)重，嚴(yán)重影響航空花鍵副使用過程中的穩(wěn)定性和安全性，故為了延長花鍵副使用壽命、提高其使用可靠性，必須采取相應(yīng)措施以減緩其微動磨損。

近年來，有關(guān)航空漸開線花鍵副微動磨損的研究越來越多[1-4]。LEEN等[5]在實驗驗證的受扭矩和軸向力載荷的花鍵有限元模型基礎(chǔ)上，考慮軸向齒廓修形及摩擦因數(shù)的影響，對花鍵的三維摩擦接觸進行了研究。RATSIMBA等[6]、DING等[7]通過實驗測得材料摩擦因數(shù)及磨損系數(shù)后，利用三維有限元模型得出航空漸開線花鍵副的接觸應(yīng)力和滑移距離，采用修正的Archard 方程計算了磨損深度。 DING等[8-9]利用有限元方法模擬加載扭矩、軸向力的主循環(huán)載荷，并結(jié)合彎矩和扭矩波動的次循環(huán)載荷，對航空花鍵副的磨損疲勞行為進行了研究。MADGE等[10]預(yù)測了磨損對磨損疲勞分析的作用。胡正根等[11-12]針對航空漸開線花鍵副的微動損傷展開了相關(guān)研究。此類研究只是簡要、零星地概述了引起微動磨損的原因及其控制減緩措施，具體針對航空漸開線花鍵副微動磨損進行減磨的研究相對較少。

在綜合考慮了航空漸開線花鍵副微動磨損失效的主要原因后，本文采用Abacus有限元法對某航空漸開線花鍵副的接觸應(yīng)力及相對滑移距離的分布規(guī)律進行分析，基于以往對航空漸開線花鍵副微動磨損量的預(yù)估方法，提出一種新的航空漸開線花鍵副修形方法，并將其與傳統(tǒng)修形方法進行對比，通過合理修形，提高航空花鍵副抗微動磨損能力。

1 漸開線花鍵齒向載荷分布規(guī)律

對航空漸開線花鍵副而言，載荷分布、分配是研究其微動磨損行為的基礎(chǔ)，同時也是微動磨損領(lǐng)域的熱點和難點問題之一[13-15]。CHASE等[16-17]考慮齒側(cè)間隙，研究了花鍵副實際嚙合齒數(shù)和載荷分配。工程實踐中，花鍵副承受轉(zhuǎn)矩時，各截面不同的扭轉(zhuǎn)角度導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩沿軸線分布極為不均。

圖1中，R2為花鍵軸半徑；r1為內(nèi)花鍵齒根圓半徑；R1為內(nèi)花鍵輪轂外徑；Le為有效接觸長度，mm。系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)矩T1對任意點x有

Tex(x)+Tin(x)=T1

(1)

式中，Tin(x)為傳遞到花鍵孔上的轉(zhuǎn)矩，N·m；Tex(x)為傳遞到花鍵軸上的轉(zhuǎn)矩，N·m。

T1由花鍵孔再經(jīng)花鍵傳遞到花鍵軸時，轉(zhuǎn)矩沿軸向的分布方程為

t(x)=dTex(x)/dx=Kθ(θin(x)-θex(x))

(2)

式中，t(x)為花鍵軸上任意點x處的轉(zhuǎn)矩集度；Kθ為單位長度花鍵副的扭轉(zhuǎn)剛度，N/rad；θin(x)、θex(x)分別為軸向距離x處花鍵孔和花鍵軸的轉(zhuǎn)動角，rad。

圖1 花鍵副嚙合幾何示意圖Fig.1 Geometric diagram of spline coupling

設(shè)載荷分布函數(shù)F(x)為轉(zhuǎn)矩分布集度函數(shù)t(x)與單位長度平均轉(zhuǎn)矩之比[15]，即

F(x)=t(x)/(T1/Le)

(3)

軸向距離x處花鍵孔和花鍵軸的轉(zhuǎn)動角θin(x)和θex(x)計算公式為

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，G為材料的剪切模量，GPa；Min為內(nèi)花鍵剖面抗扭模量，GPa；Mex為外花鍵剖面抗扭模量，GPa。

對式(2)微分，則有

(8)

又由于Tex(x)+Tin(x)=T1，則有

(9)

利用邊界條件Tex(0)=0，Tex(Le)=T1得漸開線花鍵的軸向載荷分布函數(shù)：

(10)

當(dāng)花鍵副材料剪切模量G=85 GPa、彈性模量E=202 GPa、泊松比μ=0.25、系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)矩T1=35 013 N·m，單位長度花鍵副的扭轉(zhuǎn)剛度Kθ為160～350 MN/rad[15]時，所研究花鍵副的基本參數(shù)如表1所示。該花鍵副在不同材料剪切模量、扭轉(zhuǎn)剛度、接觸長度、抗扭模量時，沿軸向的載荷分布如圖2所示。

表1 漸開線花鍵副幾何參數(shù)

由圖2可以看出，花鍵副的扭轉(zhuǎn)剛度、剪切模量、抗扭模量、結(jié)合長度不同時，花鍵副沿軸向的載荷均是越來越大的。隨著剪切模量增大，花鍵副軸末端的載荷也增大，當(dāng)剪切模量達(dá)到最大時，末端軸向載荷分布系數(shù)最大，達(dá)到0.157， 同一曲線上(即剪切模量最大對應(yīng)的曲線)軸始端的載荷減小，軸上由始到末的載荷變化幅度增大；花鍵副扭轉(zhuǎn)剛度增大，花鍵副軸末端的載荷最大值增大，軸始端的載荷減小，軸上由始到末的載荷變化幅度增大，載荷系數(shù)的變化幅度達(dá)到0.044；內(nèi)外花鍵剖面抗扭模量增大時，花鍵副軸始末兩端的載荷均增大；花鍵副的結(jié)合長度增大時，花鍵副軸始末兩端的載荷都減小。由此可得出，扭轉(zhuǎn)剛度、材料剪切模量、剖面抗扭模量、結(jié)合長度對漸開線花鍵副的軸向載荷分布都有一定影響。造成這種結(jié)果的直接原因是花鍵副材料的選取、花鍵副的定心徑向間隙、側(cè)向間隙以及花鍵節(jié)距誤差等。如果在設(shè)計中選取了不恰當(dāng)?shù)膸缀螀?shù)，或在加工、裝配過程中出現(xiàn)過大的誤差，那么這些不恰當(dāng)?shù)膸缀螀?shù)和誤差會使花鍵副實際齒廓形狀與理想齒廓形狀在軸向上存在差異，進而在嚙合時造成載荷沿花鍵副軸向的分布不均。同時，設(shè)計中的參數(shù)選取不當(dāng)會使花鍵副出現(xiàn)歪斜、不同心，內(nèi)外花鍵的空間位置誤差和徑向力的作用使花鍵軸與花鍵套的軸心發(fā)生偏移，使鍵齒齒型沿軸向產(chǎn)生不同程度的變形，從而引起各截面的扭轉(zhuǎn)角度不同，導(dǎo)致載荷沿軸線分布不均。這將造成花鍵副局部接觸應(yīng)力很大，嚴(yán)重影響花鍵副的壽命和可靠性。對于航空漸開線花鍵副，可以通過減小其齒側(cè)間隙，使其實際參與嚙合的齒對數(shù)增加，進而改變其接觸區(qū)域，提高嚙合的平穩(wěn)性，減小動載系數(shù)和齒面最大接觸應(yīng)力。

圖2 花鍵副沿軸向的載荷分布Fig.2 Axial load distribution of spline coupling

2 漸開線花鍵副齒向修形設(shè)計

2.1 花鍵副軸向載荷均分條件

為了減小花鍵副接觸應(yīng)力的最大值，使軸向載荷分布均勻，達(dá)到減小花鍵副抗微動磨損的作用，需要設(shè)計出合理的花鍵副的結(jié)構(gòu)。由式(10)可得x=Le時，花鍵副載荷分布函數(shù)最大值

(11)

由式(11)可知，載荷分布函數(shù)F(x)的最大值Fmax與花鍵副扭轉(zhuǎn)剛度、材料剪切模量、剖面抗扭模量、結(jié)合長度有關(guān)。減小花鍵孔的抗扭剛度G1Min可以減小Fmax，故為了使轉(zhuǎn)矩沿軸線分布均勻，應(yīng)當(dāng)使花鍵孔的剛度沿花鍵副長度逐漸減小。

由式(10)可以看出，轉(zhuǎn)矩沿軸向分布均勻須滿足下述條件：

(12)

即

(13)

實現(xiàn)載荷沿軸向均勻分布的第一種方法是通過花鍵孔外徑變化達(dá)到改變M1的目的。

式(13)表示的花鍵孔外徑雖然可以使轉(zhuǎn)矩沿軸向分布均勻，但在實際中無法實現(xiàn)，因為在x=Le處，r1=R1即花鍵孔厚度為0；在x=0處，花鍵孔厚度則為無窮大。實際工作中采用下式確定花鍵孔外徑[18]：

(14)

實現(xiàn)載荷沿軸向均勻分布的第二種方法是沿軸線改變齒厚，即采用鼓形修形。由于第一種方法基本無法實現(xiàn)，綜合各方面因素，本文采用鼓形修形的方法實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩沿軸線分布均勻。

2.2 傳統(tǒng)修形方法介紹

漸開線花鍵齒的修形主要是指沿齒向?qū)X面進行微量修整，使其偏離理論齒面。通過齒向修形可以改善載荷沿輪齒接觸線的不均勻分布情況，提高齒輪承載能力。近幾年，學(xué)者對齒輪修形做了大量的研究，所采用的齒向修形方法也較多，常用且修形效果較好的方法有齒端修薄、螺旋角修形、鼓形修形[19]。本文研究的是漸開線直齒花鍵齒，通過分析比較，最終采用鼓形修形方法對花鍵齒進行修形。圖3中，Δ1和Δ2均為修形量。鼓形修形函數(shù)的建立需要確定兩大因素：鼓形量大??；鼓形中心在齒向方向上的位置。鼓形量的確定需考慮眾多因素，目前主要有兩種確定方法：①參考經(jīng)驗公式；②采用數(shù)值方法計算。

圖3 鼓形修形Fig.3 Crown modification

鼓形修形量常見的經(jīng)驗公式有以下幾種[20]：

δ1=βx/2

(15)

δ2=0.7Fm/B

(16)

δ3=B/4 000+fg/2

(17)

fg=A(B/10+10)

(18)

式中，βx為齒向脫開量，mm；A是與精度有關(guān)的系數(shù)，具體數(shù)值見參考文獻[21]；Fm為圓周力，N；fg為齒向誤差，mm。

鼓形修形的另一個重要參數(shù)是鼓形中心的位置，一般資料推薦選在齒寬的中點，但這樣選取的修形結(jié)果不是最好，文獻[22]認(rèn)為中心距

Bm=2Bwe

(19)

式中，Bwe為有效接觸齒寬，mm。

若計算出的Bm>B，則取Bm=B。

2.3 數(shù)值法確定最佳鼓形修形曲線

數(shù)值法即通過一種數(shù)值計算來確定合理的鼓形量及修形中心。 鍵齒實際長度為L，mm。設(shè)修形曲線表達(dá)式為e(x)=ax2+bx+c，則可得到以下關(guān)系式：

(20)

從而得修形曲線的對稱軸公式：

(21)

由于研究對象是花鍵齒修形，為了保證齒上至少有一點不被修形，拋物線頂點必須在齒頂兩側(cè)任一側(cè)的軸線上，故拋物線對稱軸須滿足：

(22)

即可得對稱軸及曲線方程中a、b、c的值:

(23)

(24)

故引入修形函數(shù)后，式(8)可化為

(25)

若鍵齒沿軸向的載荷均勻，即輸出扭矩延軸向為常數(shù)，則式(25)應(yīng)該為零[18]。結(jié)合式(20)可得：

(26)

最佳鼓形修形量為

(27)

(28)

則最佳修形曲線方程為

(29)

3 航空漸開線花鍵副微動磨損預(yù)估分析

3.1 航空漸開線花鍵副接觸特性分析

所研究的航空漸開線花鍵副的材料為18CrNi4A鋼(滲碳層厚度為0.6～0.7 mm，表面硬度為HRC56.3)，各齒間的齒側(cè)間隙如表2所示。在CATIA中對表1所示參數(shù)的某航空漸開線花鍵副進行實體建模并導(dǎo)入Abaqus：定義單元類型為C3D8R；材料彈性模量為210 GPa，泊松比為0.28，密度為7 800 kg/m3，摩擦因數(shù)為0.28。建立有限元模型，如圖4所示。假定30對齒均參與嚙合，將內(nèi)花鍵設(shè)置為目標(biāo)面，將花鍵軸設(shè)置為接觸面，建立接觸對。根據(jù)花鍵副運動規(guī)律，將內(nèi)花鍵外圓柱面繞軸轉(zhuǎn)動之外的5個自由度進行約束，外花鍵內(nèi)圓柱面繞軸轉(zhuǎn)動之外的5個自由度也進行約束。

表2 齒側(cè)間隙分布

圖4 漸開線花鍵副有限元模型Fig.4 The finite element model of involute spline coupling

航空花鍵副所受載荷形式為一個主循環(huán)扭矩伴隨多個次循環(huán)扭矩。施加載荷時，為了更接近實際工況，仿真時將航空漸開線花鍵副的實際載荷簡化為均值形式的主循環(huán)載荷，和呈諧波形式圍繞均值上下波動的次循環(huán)載荷的疊加形式。當(dāng)系統(tǒng)輸入扭矩為T1時，花鍵副所受力矩表達(dá)式為

Tg(t)=KvTm(1+εTcosωTt)

(30)

式中，Tm為外激勵轉(zhuǎn)矩的均值，N·m；εT為外激勵轉(zhuǎn)矩的幅值波動系數(shù)，取0.1；Kv為動載系數(shù)，取1.123 8；ωT為系統(tǒng)的角速度，rad/s。

根據(jù)ωT=πn/30可得，循環(huán)周期τ=60/n，其中，n為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速，r/min。

然后將一個循環(huán)周期(0～2π)內(nèi)的轉(zhuǎn)矩Tg(t)離散為5個載荷步(i=1，2，…，5)，即ωTt=0，π/2，π，3π/2，2π分別對應(yīng)一個轉(zhuǎn)矩。對內(nèi)花鍵一端面施加反向扭矩載荷，模擬一端輸入的漸開線花鍵副工作狀況，當(dāng)系統(tǒng)輸入平均轉(zhuǎn)矩Tm=35 013 N·m，轉(zhuǎn)速n=300 r/min時，一個循環(huán)內(nèi)每個載荷步對應(yīng)的轉(zhuǎn)矩及每個載荷步結(jié)束的時間如表3所示。對于圖4所示花鍵副有限元模型，選擇第1～5載荷步進行動態(tài)仿真分析，得到花鍵副初始模型的接觸應(yīng)力及滑移距離，如圖5所示(篇幅所限只給出第2個載荷步的結(jié)果。

表3 加載情況

圖5 有限元仿真云圖Fig.5 The map of finite element simulation

由圖5可以看出，每個齒上的接觸應(yīng)力和滑移距離均不同。接觸應(yīng)力和滑移距離均沿著軸向，從轉(zhuǎn)矩輸出端到轉(zhuǎn)矩輸入端是越來越大的。由圖5還可以看出，部分齒并未參與嚙合，齒上并沒有接觸應(yīng)力和滑移距離。第2個載荷步時，實際參與嚙合的齒中，接觸應(yīng)力最大為561 MPa，最大滑移距離為0.328 μm，均位于第2對齒的齒頂，第25對齒的接觸應(yīng)力和滑移距離次之，這與齒側(cè)間隙大小有關(guān)，后續(xù)會進行相關(guān)研究。

3.2 航空漸開線花鍵副微動磨損預(yù)估分析

3.1節(jié)對某航空漸開線花鍵副初始模型進行接觸分析，得出給定工況下該航空漸開線花鍵副各齒任一點在每個載荷步時的接觸應(yīng)力及滑移距離，將其分別代入Archard 模型即可得出其任一點在一個載荷循環(huán)下的微動磨損量[9]：

(31)

式中，s為相對滑移距離，mm；p為接觸應(yīng)力，MPa；k為磨損系數(shù)，MPa-1。

需要注意的是，進行漸開線花鍵副微動磨損量計算時，為了使計算結(jié)果更為準(zhǔn)確，每一個載荷步均需將一個載荷循環(huán)作用下的各齒任一點的磨損量作為新的初始條件，在Abaqus中對初始花鍵齒廓表面的節(jié)點坐標(biāo)進行修改。由于航空漸開線花鍵副鍵齒齒廓為漸開線，且受工藝、制造加工、設(shè)計等影響，其鍵齒面摩擦副沿齒廓方向的接觸非常不均勻，故修形時，模型接觸區(qū)域表面的每個節(jié)點坐標(biāo)沿齒廓方向和軸向均不同。設(shè)(xi,yi,zi)、(xm,ym,zm)為外花鍵齒廓上任意兩點i、m未修改前的坐標(biāo)，(xi,yi-Δθi,zi)、(xm,ym-Δθm,zm)為點i、m修改后的坐標(biāo)，Δθ為任意兩點i、m修形前后的夾角，R為任意兩點i、m處的半徑，各節(jié)點坐標(biāo)均以柱坐標(biāo)表示，漸開線花鍵副的節(jié)點坐標(biāo)修改原理如圖6所示。

圖6 鍵齒修形幾何示意圖Fig.6 Geometric diagram of spline tooth modification

齒面節(jié)點修改過程中，如果該節(jié)點的磨損量大于表面單元法向尺寸，就會對仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生較大影響，甚至導(dǎo)致仿真失效。在網(wǎng)格劃分時，如果采用的單元法向尺寸大于整個磨損過程中的累積磨損量，會使得分析過程中網(wǎng)格質(zhì)量較差，計算精度較低，故為了確保仿真過程中節(jié)點位置不發(fā)生畸變，又能獲得較好的模擬精度，這里采用Abaqus內(nèi)置的ALE自適應(yīng)網(wǎng)格光滑算法對已修改的齒磨損表面節(jié)點進行重置[23]，即根據(jù)圖6所示原理在Abaqus中修改齒磨損表面節(jié)點后，再經(jīng)Abaqus自帶的ALE自適應(yīng)網(wǎng)格光滑算法對網(wǎng)格質(zhì)量進行優(yōu)化調(diào)整，調(diào)整原理如圖7所示。其中，節(jié)點H周圍分布著4個單元，通過調(diào)整節(jié)點H的位置至H′處，從而優(yōu)化修改節(jié)點坐標(biāo)后的網(wǎng)格質(zhì)量。

圖7 節(jié)點重置原理圖Fig.7 Schematic diagram of node reset

然后繼續(xù)計算節(jié)點重置后下一個載荷循環(huán)所對應(yīng)的各齒任一點的接觸應(yīng)力、滑移距離以及微動磨損量，依次循環(huán)計算。該過程采用FORTAN實現(xiàn)。當(dāng)這一載荷循環(huán)的接觸應(yīng)力、滑移距離以及微動磨損量計算完畢之后，Abaqus會繼續(xù)自動啟動其自帶的ALE自適應(yīng)網(wǎng)格方法對修改完的節(jié)點坐標(biāo)進行節(jié)點重置，繼續(xù)計算下一個小循環(huán)內(nèi)的微動磨損量，如此循環(huán)迭代。若一個小循環(huán)內(nèi)的微動磨損量太小，則容易影響鍵齒修形精度，且修形次數(shù)若是以一個小循環(huán)為單位，會大大增加計算量，故為了減少計算量，將ΔN作為一個磨損循環(huán)增量，即以固定的多個小循環(huán)次數(shù)ΔN為一個磨損量計算的循環(huán)單位，則漸開線花鍵副微動磨損量預(yù)估流程如圖8所示。

圖8 微動磨損預(yù)估流程Fig.8 The estimated process of fretting wear

3.2.1未修形花鍵副的微動磨損預(yù)估分析

根據(jù)圖8所示的流程預(yù)估某航空漸開線花鍵副的微動磨損量,如圖9所示，其中，ΔN=106。由圖9可以看出，花鍵副微動磨損量隨著載荷循環(huán)次數(shù)的增大而增大。軸端(x=0)處，花鍵齒接觸區(qū)域頂端的微動磨損比根部的微動磨損嚴(yán)重，而接觸中間區(qū)域的磨損最輕。此時，接觸區(qū)域的最大磨損量為78 μm；軸中間位置(x=18.75 mm)處，接觸區(qū)域齒根附近的微動磨損比接觸區(qū)域頂端的嚴(yán)重，接觸區(qū)域的中間位置的磨損最輕，接觸區(qū)域的最大磨損量為112 μm；軸末端(x=37.5 mm)的磨損與軸中間位置的磨損相似，最大磨損量為85 μm。

圖9 修形前的磨損量隨循環(huán)次數(shù)的分布Fig.9 Distribution of fretting wear with load cycles before modification

從圖9中還可以看出，無論接觸面靠近齒頂、齒中，還是齒根處部位，其微動磨損量在x=0處最小，在x=37.5 mm處最大(末端為轉(zhuǎn)矩輸入端)。

3.2.2修形后的花鍵副的微動磨損預(yù)估分析

對某航空漸開線花鍵副齒廓采用數(shù)值法修形后，計算其微動磨損量，得到的不同軸向位置處花鍵副鍵齒接觸區(qū)域的磨損量隨著載荷循環(huán)次數(shù)的變化情況，如圖10所示(圖中，a1表示接觸區(qū)域頂端，a2接觸區(qū)域中間位置，a3表示接觸區(qū)域根部)。

圖10 修形后的磨損量隨循環(huán)次數(shù)的分布Fig.10 Distribution of fretting wear with load cycles after modification

從圖10中可以看出，修形后的花鍵副微動磨損量隨著載荷循環(huán)次數(shù)的增大而增大。在軸向各位置處，花鍵齒接觸區(qū)域沿著軸向和齒廓方向的分布趨勢與修形前基本一致。但通過修形，每一處的磨損量都有所下降。軸端(x=0)處，花鍵齒接觸區(qū)域的最大磨損量為51 μm；軸中間位置(x=18.75 mm)，接觸區(qū)域的最大磨損量為96 μm；軸末端(x=37.5 mm)，接觸區(qū)域的最大磨損量為78 μm。

3.3.3修形方法對漸開線花鍵副微動磨損量的影響

為了得到更好的鍵齒修形方法，針對表1所示的漸開線花鍵副的幾何參數(shù)和工況，當(dāng)鼓形中心分別在齒中心處、有效齒寬2倍處時，采用2.2節(jié)所述的3種方法計算航空花鍵副微動磨損量沿軸向的變化；同時也按照2.3節(jié)介紹的數(shù)值法計算航空花鍵副的微動磨損量沿軸向變化，如圖11所示。

圖11 修形后不同徑向位置處的磨損量沿軸向的分布Fig.11 The axial distribution of the fretting wear with different radial positions after modification

由圖11可以看出，當(dāng)修形位置在齒寬中心時，磨損的改善情況不如修形位置在Bm=2Bwe處。根據(jù)文中提出的數(shù)值法計算出來的修形量和修形位置進行修形，得到的花鍵副磨損分布較均勻，且磨損量降低幅度比3種推薦方法修形后的結(jié)果理想，有利于減少齒的磨損。

4 結(jié)論

(1)根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果可知，在不同的扭轉(zhuǎn)剛度、材料的剪切模量、剖面抗扭模量、結(jié)合長度情況下，花鍵副載荷從輸入端到輸出端均越來越大，這與有限元仿真結(jié)果一致。且從有限元仿真結(jié)果可以看出，齒側(cè)間隙大小對鍵齒接觸特性是有影響的。

(2)修形前后的花鍵副微動磨損量隨載荷循環(huán)次數(shù)的增大而增大。在軸向各位置處，修形后的花鍵齒接觸區(qū)域沿著軸向和齒廓方向的分布趨勢與修形前基本一致，其每一處的磨損量都有所下降：軸端(x=0)處，花鍵齒接觸區(qū)域的最大磨損量為51 μm；軸中間位置(x=18.75 mm)處，接觸區(qū)域的最大磨損量為96 μm；軸末端(x=37.5 mm)處，接觸區(qū)域的最大磨損量為78 μm。

(3)對于3種修形量，當(dāng)修形位置在齒寬中心時，磨損的改善情況不如修形位置在2倍有效寬度處。根據(jù)本文數(shù)值法計算出來的修形量和修形位置進行修形后，得到的花鍵副磨損分布較均勻，有利于減少齒的磨損。