張秀華, 房佳瑤

(東北大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

由微分方程和代數(shù)方程組成的系統(tǒng)稱為微分代數(shù)系統(tǒng),該系統(tǒng)是微分系統(tǒng)對復(fù)雜系統(tǒng)描述的推廣.微分代數(shù)系統(tǒng)在許多工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,如電子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)、機(jī)器人系統(tǒng)、慣性導(dǎo)航系統(tǒng)、化學(xué)工程、導(dǎo)彈系統(tǒng)、航空系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)分析以及社會(huì)系統(tǒng)等.微分代數(shù)系統(tǒng)無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中都是一類非常重要的系統(tǒng).近年來微分代數(shù)系統(tǒng)得到了廣泛研究并形成了與正常的常微分方程[1-2]平行的結(jié)果.但是大部分方法都是采用系統(tǒng)分解的方法,來降低難度.

本文利用類似微分幾何理論的方法,引入微分代數(shù)系統(tǒng)的M導(dǎo)數(shù)[3],并采用微分幾何的線性化方法,得到系統(tǒng)的反饋線性化控制器.輸入輸出線性化[4-7](IOL)是非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中最突出的方法之一.IOL提供的優(yōu)點(diǎn)之一是它為控制器的設(shè)計(jì)提供了系統(tǒng)的框架.在這種方法中,基本思想是獲得一個(gè)尋求線性化其他非線性系統(tǒng)的非線性控制器.一旦系統(tǒng)被線性化,任何標(biāo)準(zhǔn)的線性技術(shù)都可以用來設(shè)計(jì)控制器.為此,設(shè)計(jì)一般分為兩步:首先,將非線性控制器作為內(nèi)環(huán)控制;然后設(shè)計(jì)第二階段或外環(huán)控制,以獲得期望的閉環(huán)性能.顯然,這種方法的實(shí)現(xiàn)取決于能否對模型進(jìn)行準(zhǔn)確描述.在模型不確定和不準(zhǔn)確的情況下,不能保證IOL控制器的性能令人滿意.由于建模不確定性幾乎總是存在,因此需要對基于IOL的控制器進(jìn)行升級.在本文中,利用不確定性和擾動(dòng)估計(jì)量(UDE)來估計(jì)不確定性,使IOL控制器得到優(yōu)化.與其他方法不同,這種方法不需要知道不確定性的邊界,也不需要任何關(guān)于它的信息.

由于電力系統(tǒng)是個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[8-9],其中存在著不確定因素的干擾.因此,設(shè)計(jì)抗干擾的魯棒控制器就成為一個(gè)重要的課題.目前,魯棒控制理論在電力系統(tǒng)中的研究還不夠完善,其中一個(gè)有待解決的問題就是如何對不確定系統(tǒng)進(jìn)行建模,也就是說如何將干擾項(xiàng)引入控制系統(tǒng),對該系統(tǒng)進(jìn)行有效地控制.本文對具有魯棒性的微分代數(shù)系統(tǒng)應(yīng)用了類似于經(jīng)典的微分幾何理論中的定義,將具有魯棒的微分代數(shù)模型線性化,并運(yùn)用輸入輸出線性化和不確定性和擾動(dòng)估計(jì)量(IOL+UDE)的方法,給出了勵(lì)磁控制器設(shè)計(jì).

1 系統(tǒng)描述與定義

考慮如下形式的微分代數(shù)系統(tǒng)

(1)

式中:x∈Rn為狀態(tài)向量;z∈Rs為約束向量;u∈Rm為輸入向量;y∈Rm為輸出向量;f(x,z),gi(x,z):Rn×Rs→Rn為光滑n維向量場;p(x,z):Rn×Rs→Rs為光滑s維向量場;h(x,z):Rn×Rs→Rm為光滑m維向量場.

式(1)在(x0,z0)滿足相容性初始值,p(x0,z0)=0.并滿足在某連通開集Ω?Rn×Rs上

設(shè)Mf(λ(x,z))表示函數(shù)λ(x,z)關(guān)于向量場f的M導(dǎo)數(shù),定義為Mfλ=E(λ)f.其中,

(2)

如果在(x,y)=(x0,y0)的鄰域內(nèi)有

成立,則說系統(tǒng)在(xij,y0)的鄰域中的向量相對階為r.

2 輸入-輸出線性化

輸入-輸出線性化(IOL)的基本思想是,對于一個(gè)給定的非線性系統(tǒng),尋求一個(gè)稱為內(nèi)環(huán)控制的非線性控制器,在這種控制下,系統(tǒng)呈現(xiàn)線性輸入-輸出關(guān)系.隨后,可以設(shè)計(jì)外環(huán)控制來實(shí)現(xiàn)期望的輸出跟蹤[9-11].假設(shè)系統(tǒng)(1)的期望輸出軌跡為y*(t),0≤t≤tf,y*(t)是系統(tǒng)(1)中對一些可行的參考控制u*(t),0≤t≤tf的結(jié)果.本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得y(t)漸近跟蹤參考輸出y*(t).

假設(shè)微分代數(shù)系統(tǒng)(1)具有M向量相對階(r1,r2,…,rm).為了得到IOL控制器,對yi(t)求關(guān)于向量場f,g的M導(dǎo)數(shù),

(3)

Yr=a(x)+W(x)u.

(4)

并且,W(x)∈Rm×m,它的每一行的形式都是

假設(shè)W(x)是非奇異的,IOL控制器被定義為

u(t)=W(x)-1(-a(x)+v).

(7)

其中v=(v1,v2,…,vm)T∈Rm是外環(huán)控制.將式(7)代入式(4)中,得到

(8)

3 不確定性和干擾估計(jì)的IOL控制器

設(shè)計(jì)魯棒控制器的方法之一是估計(jì)作用于系統(tǒng)的不確定性和干擾[11-12]的影響.時(shí)間延遲控制(TDC)是常用的估計(jì)不確定性的方法.該方法利用最近的信息直接估計(jì)不確定性和外部擾動(dòng)的影響,然后利用這一估計(jì)來設(shè)計(jì)控制器,以抵消未知?jiǎng)討B(tài)和外部干擾的影響.遵循TDC的思想,提出了一種估計(jì)不確定性的UDE方法.作者已經(jīng)表明,盡管這種方法帶來的結(jié)果與TDC的結(jié)果相似,但它克服了與TDC方法相關(guān)的一些缺陷.通過與TDC方法的比較,得到了基于UDE方法的控制器,并證實(shí)了該結(jié)果的正確性.

考慮如系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)方程,由于在實(shí)踐中,系統(tǒng)(1)所給出的模型很少被認(rèn)為是準(zhǔn)確的,因此必須考慮模型的建模錯(cuò)誤和不準(zhǔn)確性,將系統(tǒng)(1)重新改寫為

(11)

Δf(x,z),ΔG(x,z)代表了相關(guān)的不確定性.考慮到不確定性,式(4)將被改寫為

(12)

如果有的話,這里的d=(d1,d2,…,dm)T,表示不確定性和外部不可測擾動(dòng)的影響.為了解決不確定項(xiàng)的問題,對于控制器式(7)增廣為

u(t)=(x)-1(ua+ud+v).

(13)

其中,

設(shè)計(jì)錄入界面的設(shè)計(jì)。錄入界面是小學(xué)蒙古文教育資源管理庫平臺的一個(gè)不可或缺的一部分，是一種重要的模塊，其主要功能是語料的錄入和存儲(chǔ)。包括將已經(jīng)收集好的預(yù)料文件和預(yù)料文獻(xiàn)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行匯總錄入和存儲(chǔ)在特定的位置。

(14)

ud是控制器中為了消除不確定項(xiàng)的影響而設(shè)計(jì)的.將式(13)控制器指定為IOL+UDE控制器.將式(13)代入到式(12)中,得到:

Yλ=ud+v+d.

(15)

從式(15)可以得到

d=Yλ-ud-v.

(16)

鑒于式(16),并根據(jù)文獻(xiàn)[8]中給出的算法,可以得到d的一個(gè)估計(jì),

=Gf(s)(Yλ-ud-v).

(17)

(18)

Gf(s)中的每一項(xiàng)都是含有時(shí)間常數(shù)τi的一階低通濾波器.選擇ud=-,并將式(17)代入,得到

ud=-Gf(s)(Yλ-ud-v).

(19)

從中解得ud,

ud=-(I-Gf(s))-1Gf(s)(Yλ-v).

(20)

將式(9),式(14),式(20)代入到式(13)中,即得到IOL+UDE控制器.

4 魯棒微分代數(shù)模型勵(lì)磁控制器的設(shè)計(jì)

考慮具有勵(lì)磁控制的單機(jī)與非線性負(fù)荷連接的輸電系統(tǒng).

其中,

式(21)可以表示為魯棒微分代數(shù)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式

f(x,y)=(f1,f2,f3)T,g(x,y)=(1,0,0)T,0=ρ(x,y)=(gb,hb,gl,hl)T.

式中ζi2=0,i=1,2,3,4.

故可設(shè)

其中,γij(i=1,2,3,4;j=1,2,3)是(x,y)的函數(shù).

輸出選為h(x,y)=δ-δ0,經(jīng)計(jì)算得:

故系統(tǒng)的向量相對階λ=3,把式(21)寫成更緊湊的形式,

假設(shè)W(x)是非奇異的,IOL控制器為

(25)

考慮到不確定性,式(24)將被改寫為

(26)

為了解決不確定項(xiàng)的問題,對于控制器式(25)增廣為

(27)

將式(25)代入到式(26)中得到:

y(3)=ud+v+d,

(28)

從中可以得到:

d=y(3)-ud-v.

(29)

鑒于式(29),并根據(jù)文獻(xiàn)[8]中給出的算法,可以得到d的一個(gè)估計(jì)

=(y(3)-ud-v)Gf(s).

(30)

Gf(s)中的每一項(xiàng)都是含有時(shí)間常數(shù)τi的一階低通濾波器.選擇ud=-,并將式(30)代入,得到

ud=-Gf(s)(y(3)-ud-v),

(31)

從中解得:

ud=-(I-Gf(s))-1Gf(s)(y(3)-v).

(32)

將式(9),式(32)代入到式(27)中,即得到IOL+UDE控制器.

下面針對系統(tǒng)(22)給出有關(guān)的參數(shù).分別見表1～表4.

表1 發(fā)電機(jī)參數(shù)Table 1 Generator parameters

其中,負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的有功功率和無功功率都是該負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的非線性電壓函數(shù),

表2 負(fù)荷特性參數(shù)Table 2 Load characteristic parameters

表3 系統(tǒng)短路故障前的平衡點(diǎn)Table 3 Equilibrium point before system short-circuit fault

表4 系統(tǒng)短路后的平衡點(diǎn)Table 4 Equilibrium point after system short-circuit fault

利用控制式(27),得到控制效果如圖1～圖4的仿真圖形.

圖1 暫態(tài)電動(dòng)勢曲線無量綱)Fig.1 Curve of transient electromotive force

圖2 發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω曲線Fig.2 Curve of generator rotor speed ω

圖3 發(fā)電機(jī)功角δ曲線Fig.3 Curve of generator power angle δ

圖4電壓Vl曲線(Vl無量綱)
Fig.4CurveofvoltageVl

5 結(jié) 論

利用有關(guān)非線性微分代數(shù)系統(tǒng)的反饋線性化技術(shù)理論和微分代數(shù)系統(tǒng)的M導(dǎo)數(shù)方法,對具有非線性負(fù)荷的電力系統(tǒng)及發(fā)動(dòng)機(jī)勵(lì)磁進(jìn)行了綜合控制,實(shí)現(xiàn)了發(fā)動(dòng)機(jī)功角、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、電動(dòng)勢和電壓穩(wěn)定的控制目標(biāo).從上面的仿真結(jié)果可以得到驗(yàn)證.