芮孝芳

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇 南京 210098)

作為隨機(jī)變量的水文要素或水文特征值之間，由于物理原因，其中有一些或多或少存在著一定的因果聯(lián)系，揭示并應(yīng)用這些聯(lián)系來(lái)處理或解決一些水文學(xué)問(wèn)題，是水文學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一。筆者第一次在概率統(tǒng)計(jì)指導(dǎo)下接觸這一學(xué)術(shù)領(lǐng)域始于我國(guó)著名水文學(xué)家劉光文先生的學(xué)術(shù)講座。筆者已經(jīng)保存了56年的聽(tīng)課筆記清楚地記錄著，那是1963年5月20日下午，劉光文先生作了題為“二元機(jī)率分配及相關(guān)的基本概念”的學(xué)術(shù)講座。從“二元機(jī)率分配的基本概念”，到“變數(shù)之間的關(guān)系”，劉光文先生作了縝密而富有啟發(fā)的講解，令人耳目一新，令筆者至今記憶猶新。在日后漫長(zhǎng)的歲月中，這一講座所涉及的內(nèi)容及透視出的科學(xué)思想無(wú)時(shí)無(wú)刻不在筆者的學(xué)術(shù)生涯中起著指導(dǎo)性作用。劉光文先生這一學(xué)術(shù)講座開(kāi)啟了我國(guó)水文學(xué)術(shù)界研究水文隨機(jī)變量二維分布及其應(yīng)用的先河。本文試圖根據(jù)半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)這一領(lǐng)域的發(fā)展和筆者的思考與實(shí)踐，從概念、理論到實(shí)際應(yīng)用，進(jìn)一步探索二維分布在處理或解決水文學(xué)問(wèn)題中的思路和方法，以期引起研究二維分布及其應(yīng)用的興趣，踏踏實(shí)實(shí)，滿(mǎn)懷信心，走守正創(chuàng)新之路。

1 兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)描述

水文隨機(jī)變量之間可能存在函數(shù)關(guān)系或相關(guān)關(guān)系，也可能相互獨(dú)立。兩個(gè)隨機(jī)變量中，若一個(gè)隨機(jī)變量X的每個(gè)現(xiàn)實(shí)x，都只與另一個(gè)隨機(jī)變量Y的一個(gè)現(xiàn)實(shí)y對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這兩個(gè)隨機(jī)變量之間為函數(shù)關(guān)系，又稱(chēng)確定性關(guān)系。根據(jù)物理意義，兩水文隨機(jī)變量的函數(shù)關(guān)系屬于因果函數(shù)關(guān)系。水文隨機(jī)變量隨時(shí)間、空間的變化雖然也是一種函數(shù)關(guān)系，但不是因果函數(shù)關(guān)系，而是數(shù)量函數(shù)關(guān)系。兩個(gè)隨機(jī)變量中，若對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X的每個(gè)現(xiàn)實(shí)x，另一個(gè)隨機(jī)變量Y將以不同的概率取不同的值，或者說(shuō)，對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的每一個(gè)實(shí)現(xiàn)x，隨機(jī)變量Y將有不同的條件分布，則稱(chēng)這兩個(gè)隨機(jī)變量之間為相關(guān)關(guān)系。兩個(gè)隨機(jī)變量中，若對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X的每個(gè)現(xiàn)實(shí)x，另一個(gè)隨機(jī)變量Y將有完全相同的條件分布，則稱(chēng)這兩個(gè)隨機(jī)變量之間為獨(dú)立關(guān)系。

兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布函數(shù)就是它們之間關(guān)系的最完整描述。因?yàn)?，若兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y為函數(shù)關(guān)系，則由隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)理論知，只要已知其中一個(gè)的分布函數(shù)，另一個(gè)的分布函數(shù)就可以推導(dǎo)出來(lái)。這表明這時(shí)二維分布實(shí)際上已退化為一維分布了。若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則由概率論知，二維分布將等于這兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)之乘積：

f(x,y)=fx(x)·fy(y)

(1)

F(x,y)=Fx(x)·Fy(y)

(2)

若兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y為相關(guān)關(guān)系，則由概率論知，二維分布將為邊際分布與條件分布之乘積：

f(x,y)=fx(x)·fy(yx)=fy(y)·fx(xy)

(3)

或

F(x,y)=Fx(x)·Fy(yx)=Fy(y)·Fx(xy)

(4)

式中：f(x,y)和F(x,y)分別兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的二維密度函數(shù)和二維分布函數(shù)；fx(x)和Fx(x)分別為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)，或稱(chēng)二維分布關(guān)于X的邊際密度函數(shù)和邊際分布函數(shù)；fy(y)和Fy(y)分別為隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)和分布函數(shù)，或稱(chēng)二維分布關(guān)于Y的邊際密度函數(shù)和邊際分布函數(shù)；fy(yx)和Fy(yx)分別為X發(fā)生條件下Y的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù)；fy(yx)和Fy(yx)分別為Y發(fā)生條件下的X的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù)。

命題“兩個(gè)隨機(jī)變量之二維分布是它們之間關(guān)系的最完整描述”的科學(xué)性之所以毋庸置疑是因?yàn)?，如果兩個(gè)隨變量為函數(shù)關(guān)系，那么其二維分布必退化為一維分布，反之，如果一個(gè)二維分布可表達(dá)為一維分布，那么這兩個(gè)隨機(jī)變量必為函數(shù)關(guān)系；如果兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，那么必滿(mǎn)足式(1)或式(2)，反之，如果二維分布可表達(dá)成式(1)或式(2)，那么這兩個(gè)隨機(jī)變量必相互獨(dú)立；如果兩個(gè)隨機(jī)變量之間只具有一定的相關(guān)關(guān)系，那么必滿(mǎn)足式(3)或式(4)，反之，如果二維分布可表達(dá)成式(2)或式(3)，那么這兩個(gè)隨機(jī)變量之間必定只具有一定的相關(guān)關(guān)系。

因此，所謂兩個(gè)隨機(jī)變量之間的數(shù)學(xué)描述，實(shí)際上就是構(gòu)建兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布函數(shù)。

2 二維正態(tài)分布的兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系

二維正態(tài)分布是迄今為止，為數(shù)不多的能給出解析數(shù)學(xué)表達(dá)式的二維分布，其密度函數(shù)為[1-3]：

(5)

由式(5)可得，二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊際分布均為一維正態(tài)分布，分別為

(6)

(7)

兩個(gè)條件分布也都是一維正態(tài)分布，分別為

(8)

(9)

由以上兩點(diǎn)并非充分條件，因?yàn)榉粗⒉灰欢ǔ闪ⅰ?/p>

由式(5)還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r=0時(shí)，式(5)和式(8)、式(9)將分別變?yōu)?/p>

(10)

(11)

(12)

這就說(shuō)明，對(duì)于二維正態(tài)分布，兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的Pearson相關(guān)系數(shù)r=0是與式(10)～(12)完全等價(jià)的，也就是說(shuō)，r=0是服從二維正態(tài)分布的兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的必要和充分條件。這個(gè)“完全等價(jià)”對(duì)不服從二維正態(tài)分布的兩個(gè)隨機(jī)變量則是不成立的。

進(jìn)一步考察二維正態(tài)分布的條件分布，還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，由式(8)可知，Y倚X的條件均值和條件均方差分別為

(13)

(14)

由式(9)可知X倚Y的條件均值和條件方差分別為

(15)

(16)

圖1 二維正態(tài)分布不同r的Y倚X的回歸線(xiàn)

圖2 二維正態(tài)分布不同r的條件密度函數(shù)

(17)

(18)

3 Copula函數(shù)理論和方法

若兩個(gè)隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，則其二維分布即為式(5)。若兩個(gè)隨機(jī)變量中只有一個(gè)為正態(tài)分布或者兩個(gè)均不為正態(tài)分布，則其二維分布就不能用式(5)表達(dá)，在這種情況下，將如何尋找其二維分布呢？顯然，尋求兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布函數(shù)一般要比尋求一維隨機(jī)變量分布函數(shù)困難得多，正因?yàn)槿绱耍谒膶W(xué)中二維分布的研究相對(duì)薄弱。本節(jié)和下一節(jié)僅對(duì)確定任意兩個(gè)隨機(jī)變量二維分布的Copula函數(shù)和形變函數(shù)的理論和方法進(jìn)行討論。

Copula函數(shù)的起源可追溯到1959年[4],是年，Sklan指出：可以將任意一個(gè)n維分布函數(shù)分解為n個(gè)邊際分布和一個(gè)Copula函數(shù)，其中邊際分布描述每個(gè)隨機(jī)變量的一維分布函數(shù)，Copula函數(shù)則描述這些隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。因此，Copula函數(shù)是一個(gè)將多個(gè)隨機(jī)變量的一維分布“連接”成為多維分布的函數(shù)，顧名思義，可將Copula函數(shù)譯作“連接函數(shù)”。Sklan這一基本思想是以定理的形式公布于世的，以構(gòu)建二維分布為例就是：令H為具有邊際分布F和G的兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布，那么將存一個(gè)Copula函數(shù)C，使得

H(x,y)=C[F(x),G(y)]

(19)

在式(19)中，若F和G是連續(xù)的，則Copula函數(shù)C將是唯一的。根據(jù)這一定理，可以得到如下推論：若H為具有邊際分布為F和G的兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布函數(shù)，C為其Copula函數(shù)，F(xiàn)-1和G-分別為F和G的反函數(shù)，則對(duì)于C的定義域I2即[0,1]2內(nèi)的任意(u,v),有

C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]

(20)

上述Sklan定理及其推論顯然表明，在兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布未知時(shí)，將可以通過(guò)邊際分布和Copula函數(shù)來(lái)構(gòu)建，而在二維分布已知時(shí)又可以利用邊際分布的反函數(shù)求出相應(yīng)的Copula函數(shù)。筆者認(rèn)為，Copula函數(shù)理論提出的意義不僅在于可以通過(guò)尋找Copula函數(shù)，繼而構(gòu)建出二維分布，而且在于能夠揭示出隱含在二維分布中過(guò)去未曾被發(fā)現(xiàn)的Copula函數(shù)及其所描述的相關(guān)性質(zhì)。

現(xiàn)有的文獻(xiàn)表明，根據(jù)生成元的不同，Copula函數(shù)可分為橢圓型、Archimede型、二次型、極值型等類(lèi)型[5]。其中Archimede型Copula函數(shù)，由于構(gòu)造方便，使用容易，已得到較為廣泛的應(yīng)用，它又有3種具體型式：

a. Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)，公式為

(21)

式中：u=F(x);v=G(y);θ為Copuar參數(shù)，θ≥1。當(dāng)θ=1時(shí)，u與v相互獨(dú)立，當(dāng)θ→∞時(shí)，u與v為函數(shù)關(guān)系。由于兩個(gè)隨機(jī)變量均為較大值時(shí)變化敏感，故式(21)能較好地描述具有上尾相關(guān)特性的兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。

b. Clayton Copular函數(shù)，公式為

C(u,v)=u+v+[(1-u)-θ+(1-v)-θ]-1

(22)

式中：符號(hào)意義同前述。當(dāng)θ→0時(shí)，u與v相應(yīng)獨(dú)立；當(dāng)θ→∞時(shí)，u與v為函數(shù)關(guān)系。由于兩個(gè)隨機(jī)變量均為較小值時(shí)變化敏感，故式(22)能較好地描述具有下尾相關(guān)特性的兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。

c. Frank Copula函數(shù),公式為

(23)

式中：符號(hào)意義同前述。當(dāng)θ>0時(shí)，u與v為正相關(guān)；當(dāng)θ<0時(shí)，u與v為負(fù)相關(guān)；當(dāng)θ→0時(shí)，u與v相互獨(dú)立。由于兩個(gè)隨機(jī)變量無(wú)論較大值還是較小值變化均不敏感，故式(23)難以快速捕捉到兩者相關(guān)性的尾部變化。

以上3種常用的Copula函數(shù)中均包含有參數(shù)θ，在數(shù)學(xué)上現(xiàn)已研究出了一些確定θ值的途徑和方法，其中以根據(jù)Kendall秩次相關(guān)系數(shù)τ與θ之間的關(guān)系確定θ值最為常見(jiàn)。對(duì)于Archimede型Copula函數(shù)，其參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ之間的關(guān)系列于表1。

表1 Archimede型Copula函數(shù)的參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的關(guān)系

Copula函數(shù)理論和方法在快速發(fā)展的金融業(yè)刺激下，已有了長(zhǎng)足的進(jìn)展，水文學(xué)中使用它僅僅是近十多年來(lái)的事。

4 形變函數(shù)理論和方法

早在1923年，Narumi就指出,在估計(jì)二維樣本的聯(lián)合分布即二維分布時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮二維分布函數(shù)的兩個(gè)最重要的數(shù)字特征：兩個(gè)隨機(jī)變量的回歸線(xiàn)和條件方差[6]。前者描寫(xiě)了倚變量條件均值隨另一隨機(jī)變化的每個(gè)現(xiàn)實(shí)的變化；后者可看出倚變量的條件方差隨另一隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)的變化。嗣后，1934年別倫斯謙、1954年薩爾馬諾夫、1951年可歷克賽也夫[7]分別根據(jù)二維分布這兩個(gè)重要數(shù)字特征先后提出了剛性相關(guān)、彈性相關(guān)和撓曲相關(guān)等概念，從而豐富了Narumi的學(xué)術(shù)思想。

剛性相關(guān)是指倚變量的條件均值隨另一個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)而變，而條件均方差則保持不變的相關(guān)。這里回歸線(xiàn)可為線(xiàn)性，也可為非線(xiàn)性。剛性相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)散點(diǎn)圖如圖3所示。彈性相關(guān)是指倚變量的條件均值不隨另一個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)而變，為常數(shù)，但倚變量的條件方差卻隨另一個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)而變，并在引進(jìn)一個(gè)變形函數(shù)后則不隨另一個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)而變的相關(guān)。彈性相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量散點(diǎn)圖如圖4所示。撓曲相關(guān)是指雖然倚變量的條件均值和條件均方差隨另一個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)而變，但在引進(jìn)一個(gè)變形函數(shù)后可以使條件均值和條件均方差都不再隨另一個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)現(xiàn)實(shí)而變的相關(guān)。撓曲相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)散點(diǎn)圖如圖5所示。不難看出，剛性相關(guān)和彈性相關(guān)都是撓曲相關(guān)的特例。這3種相關(guān)雖不能蓋全，但由于抓住了二維分布中條件均值和條件均方差兩個(gè)最主要的數(shù)字特征的變化特點(diǎn)，已能適用于許多情況了，因此，若能解決這3種相關(guān)的二維分布構(gòu)建問(wèn)題，則就能基本上滿(mǎn)足水文學(xué)中構(gòu)建二維分布的需要了。

圖3 剛性相關(guān)散點(diǎn)分布

圖4 彈性相關(guān)散點(diǎn)分布

圖5 撓曲相關(guān)散點(diǎn)分布

利用形變函數(shù)構(gòu)建兩個(gè)隨機(jī)變量二維分布的基本思想是；首先根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)散點(diǎn)圖的點(diǎn)據(jù)分布特點(diǎn)識(shí)別相關(guān)類(lèi)型；然后將X和Y的現(xiàn)實(shí)x和y經(jīng)由形變函數(shù)變換成新的變量u和v，以達(dá)到消除原隨機(jī)變量X與Y之間的相關(guān)性的目的 。因?yàn)閮蓚€(gè)新隨機(jī)變量U和V相互獨(dú)立，故可得U和V的二維密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(u,v)和F(u,v)；最后通過(guò)變換再由求得的f(u,v)和F(u,v)分別得到原隨機(jī)變量X與Y的二維密度函數(shù)和分布函數(shù)f(x,y)和F(u,v)。

對(duì)于剛性相關(guān)，通過(guò)下列變換就可將原隨機(jī)變量X和Y轉(zhuǎn)變成兩個(gè)相互獨(dú)立的新隨機(jī)變量U和V：

u=x

(24)

(25)

式中：φ(x)為Y倚X的回歸方程；(1-φ(x)/y)為剛性形變函數(shù)。

對(duì)于彈性相關(guān)，通過(guò)下列變換就可將原隨機(jī)變量X和Y轉(zhuǎn)變成兩個(gè)相互獨(dú)立的新隨機(jī)變量U和V

u=x

(26)

v=yλ(x)

(27)

式中：λ(x)為彈性形變函數(shù)。

一般地，對(duì)于撓曲相關(guān)，則通過(guò)變換：

u=x

(28)

(29)

就可將原隨機(jī)X和Y轉(zhuǎn)變成兩個(gè)相互獨(dú)立的新隨機(jī)變量U和V。式(29)中之λ(x)[1-φ(x)/y]稱(chēng)為撓曲形變函數(shù)。

由上述可知，根據(jù)形變函數(shù)理論構(gòu)建剛性相關(guān)、彈性相關(guān)和撓曲相關(guān)的二維分布需要解決的問(wèn)題有：尋找合適的彈性形變函數(shù)、檢驗(yàn)新隨機(jī)變量U和V的獨(dú)立性、導(dǎo)出原隨機(jī)變量與新隨機(jī)變量的二維分布函數(shù)或密度函數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系等。尋找合適的形變函數(shù)，至今尚無(wú)理論方法，一般只能根據(jù)相關(guān)散點(diǎn)圖的點(diǎn)據(jù)分布特點(diǎn)，用經(jīng)驗(yàn)試錯(cuò)法確定。本文僅就后兩個(gè)問(wèn)題做進(jìn)一步討論。

在概率論中，檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量之間獨(dú)立性的最嚴(yán)格方法是它們的二維分布函數(shù)等于兩個(gè)邊際分布函數(shù)的乘積，或者是它們的二維密度函數(shù)等于兩個(gè)邊際密度函數(shù)的乘積。若對(duì)兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的隨機(jī)變量X和Y已經(jīng)獲得了n個(gè)二維現(xiàn)實(shí)：(x1，x1)、(x2，x2)、(x3，x3)、…、(xn，xn),這n個(gè)二維現(xiàn)實(shí)實(shí)際上就是一個(gè)來(lái)自其總體的二維樣本。按照數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，利用這個(gè)二維樣本可以對(duì)總體的二維分布函數(shù)和兩個(gè)邊際分布作出估計(jì)，事實(shí)上有F(xi,yi)=P{x≥xi∩y≥yi},F(xi)=P{X≥xi},F(yi)=P{Y≥yi}(i=1,2,…,n)。因此，如果

P{X≥xi∩Y≥yi}=P{X≥xi}·P{Y≥yi}

(30)

那么X與Y將是相互獨(dú)立的。圖6是利用式(30)檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立性的一個(gè)實(shí)例，圖中點(diǎn)據(jù)“×”為原變量的計(jì)算結(jié)果，點(diǎn)據(jù)“?”則為由形變變函數(shù)轉(zhuǎn)換成新變量的計(jì)算結(jié)果。不難看出，對(duì)于兩個(gè)具有相關(guān)性的隨機(jī)變量，引入適當(dāng)?shù)男巫兒瘮?shù)可使它們的相關(guān)性減弱，甚至消除，從而使兩個(gè)新隨機(jī)變量相互獨(dú)立。

圖6 獨(dú)立性檢驗(yàn)

為了導(dǎo)出原隨機(jī)變量與新隨變量二維分布函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，只需利用重積分知識(shí)，即有

(31)

式中：J為雅可比行列式，其計(jì)算式為

(32)

例如：對(duì)于剛性相關(guān)，可以通過(guò)式(24)和式(25)表達(dá)的變換來(lái)使新隨機(jī)變量相互獨(dú)立的，因此其雅可比行列應(yīng)為

(33)

這就表明，對(duì)于剛性相關(guān)，式(31)變?yōu)?/p>

因?yàn)橐炎C明U與V相互獨(dú)立，故上式變?yōu)?/p>

(34)

同理可得彈性相關(guān)和撓曲相關(guān)情況下原隨機(jī)變量與新隨機(jī)變量二維分布函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

5 在水文學(xué)中的應(yīng)用

在求解眾多的水文學(xué)科學(xué)和應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)遇到求解邊際分布、條件分布、復(fù)雜事件概率、隨機(jī)變數(shù)函數(shù)的分布等問(wèn)題。求邊際分布指的是在具有相關(guān)性的兩個(gè)變量中，由一個(gè)變量X的分布函數(shù)推求另一個(gè)變量Y的分布函數(shù)。由概率論知，這個(gè)問(wèn)題可表達(dá)為

(35)

求條件分布指的是：在具有相關(guān)性的兩個(gè)隨機(jī)變量中，當(dāng)其中一個(gè)X取現(xiàn)實(shí)x時(shí)求另一個(gè)Y的分布函數(shù)。由概率論知，這個(gè)問(wèn)題可表達(dá)為

(36)

求復(fù)雜事件概率指的是推求包括有兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的復(fù)雜隨機(jī)事件的概率。由概率論知，構(gòu)成復(fù)雜事件有“或”和“交”兩種基本類(lèi)型。因此，若復(fù)雜事件僅涉及兩個(gè)隨機(jī)變量，則其“或”和“交”的概率分別為

P{X≥x∪Y≥y}=P{X≥x}+P{Y≥y}-

P{X≥x∩Y≥y}=Fx(x)+Fy(y)-F(x,y)

(37)

P{X≥x∩Y≥y}=F(x,y)

(38)

求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)指的是，當(dāng)隨機(jī)變量Z是另外一些隨機(jī)變量X1、X2、…的函數(shù)即X=g(X1，X2，…)時(shí)，通過(guò)X1、X2、…的聯(lián)合分布函數(shù)推求Z的分布函數(shù)。由概率論知，有

(39)

若Z僅是兩上隨機(jī)變量X和Y的函數(shù)即Z=g(X,Y)，則式(39)變?yōu)?/p>

(40)

式中：Ω為積分域。

由式(35)～(40)容易看出，無(wú)論是求邊際分布和條件分布，還是求復(fù)雜事件概率和隨機(jī)變量函數(shù)的分布，都要涉及二維或多維分布問(wèn)題。

在水文學(xué)中，資料的插補(bǔ)展延屬于求邊際分布問(wèn)題[6]。概率水文預(yù)報(bào)屬于求條件分布問(wèn)題[7]。非一致性樣本頻率分析，有的屬于求復(fù)雜事件概率問(wèn)題，有的則屬于求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)問(wèn)題。水工程風(fēng)險(xiǎn)率[8]、設(shè)計(jì)洪水[9-10]、干支流洪水和洪與潮遭遇組合[9,11]、地貌瞬時(shí)單位線(xiàn)[12-14]等一般均屬于求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)問(wèn)題。因其中大多數(shù)問(wèn)題可在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中找到，故本文僅對(duì)二維分布在不一致性樣本頻率分析中的應(yīng)用作具體討論。

用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論和方法確定隨機(jī)變量分布函數(shù)的思路，是通過(guò)分析樣本的統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)推斷總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。因此前提必然是樣本必須來(lái)自同一總體，如果樣本不完全來(lái)自同一整體，那么這個(gè)樣本就是非一致性樣本，這種不一致性樣本不加區(qū)別地放在一個(gè)樣本中顯然是不能反映總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。從物理成因可知，一個(gè)樣本之所以不一致，可能是形成機(jī)理上的差異，也可是受到了外因，如人類(lèi)活動(dòng)的干擾。由后一個(gè)原因?qū)е碌臉颖静灰恢滦约捌涓恼椒ㄒ延性S多文獻(xiàn)討論過(guò)[15],而由前一個(gè)原因?qū)е碌臉颖静灰恢滦约案恼?，筆者發(fā)現(xiàn)有一種錯(cuò)誤的觀點(diǎn)正在流行[16]。這種錯(cuò)誤觀點(diǎn)認(rèn)為若樣本中有來(lái)自不同總體的兩種信息，則其總體分布函數(shù)F(z)是這兩種信息所對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)分別以α和(1-α)為權(quán)重的加權(quán)平均即F(z)=αF1(x)+(1-α)F2(y)?，F(xiàn)以某站降雨頻率分析為例來(lái)說(shuō)明其錯(cuò)誤所在。由分析得知該站年最大一日雨量可能出現(xiàn)在梅雨季，也可能出現(xiàn)在臺(tái)風(fēng)季。也就是說(shuō)，該站年最大一日雨量可能是由梅雨和臺(tái)風(fēng)兩種天氣系統(tǒng)形成的。如果不分形成機(jī)理而將所得年最大一日雨量系列作為樣本，那么這個(gè)樣本將不具備一致性。在這種情況下，正確的思維應(yīng)是先分別從梅雨季和臺(tái)風(fēng)季中各選取最大一日雨量樣本，在求得這兩個(gè)樣本的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)后，再按式(4)求得該站年最大一日雨量的分布函數(shù)F(z)。因?yàn)?/p>

{Z≥z}={X≥z∪Y≥z}

所以P{Z≥z}=P{X≥z}+P{Y≥z}-

P{X≥z∩Y≥y}

即F(z)=F1(z)+F2(z)-F(z,z)

(41)

如果欲求該站年降雨量分布函數(shù)，那么由于年降雨量Z為梅雨季雨量X和臺(tái)風(fēng)季雨量Y之和，即Z=X+Y，而梅雨雨量和臺(tái)風(fēng)雨量的形成機(jī)理不同，正確的思維應(yīng)是先分別建立梅雨季雨量樣本和臺(tái)風(fēng)季雨量樣本，在求得這兩個(gè)樣本的分布函數(shù)F(x)和F(y)后，再按下式求得年降雨量的分布函數(shù)：

(42)

6 結(jié) 語(yǔ)

水文現(xiàn)象是十分復(fù)雜的，這不僅表現(xiàn)為其形成機(jī)理和時(shí)空變化十分復(fù)雜，而且表現(xiàn)為變量之間的關(guān)系十分復(fù)雜。對(duì)有些水文問(wèn)題的解決，一維分布理論和方法已不能適應(yīng)，而有待引入多維分布理論和方法。多維密度函數(shù)或多維分布函數(shù)是多維變量之間關(guān)系的最完整描述。揭示水文現(xiàn)象有關(guān)變量之間的關(guān)系，尋求多維分布函數(shù)，用于解決有關(guān)水文學(xué)問(wèn)題已成為水文學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容。

近一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，無(wú)論是數(shù)學(xué)，還是水文學(xué)，對(duì)二維分布的研究都有了一些進(jìn)步。在數(shù)學(xué)上提出了由兩個(gè)邊際分布，通過(guò)尋找連結(jié)函數(shù)構(gòu)建二維分布的Copula函數(shù)理論和方法。在水文學(xué)上則發(fā)展了根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，通過(guò)引入形變函數(shù)構(gòu)建二維分布的形變函數(shù)理論和方法。這兩種理論和方法，各有千秋，如能深入研究，也許會(huì)碰撞出一些新的火花。

迄今為止，二維分布在資料插補(bǔ)展延、概率水文預(yù)報(bào)、非一致性頻率分析、水工程風(fēng)險(xiǎn)率、設(shè)計(jì)洪水、干支流洪水及洪與潮遭遇組合、地貌瞬時(shí)單位線(xiàn)等水文學(xué)問(wèn)題中得到了應(yīng)用。筆者將二維分布處理以上問(wèn)題歸納為三類(lèi)：一是直接應(yīng)用二維分布性質(zhì)，如資料系列插補(bǔ)展延、概率水文預(yù)報(bào)等問(wèn)題；二是通過(guò)分析事件而應(yīng)用二維分布，如水工程風(fēng)險(xiǎn)率等問(wèn)題；三是通過(guò)建立功能函數(shù)而應(yīng)用二維分布，如設(shè)計(jì)洪水、干支流水和洪與潮遭遇組合、地貌瞬時(shí)單位線(xiàn)等。當(dāng)然也有一些水文學(xué)問(wèn)題涉及以上三類(lèi)中之二，例如非一致性樣本頻率分析。正確應(yīng)用二維分布的性質(zhì)，正確分析事件之關(guān)系，以及正確選擇和建立功能函數(shù)，就成為二維分布由理論通向應(yīng)用的橋梁。

在水文觀測(cè)年限不長(zhǎng)，水文資料還不夠豐富時(shí)，二維分布的使用必然受到很大的限制，因此在半個(gè)世紀(jì)前談?wù)摱S分布在水文學(xué)中應(yīng)用似乎過(guò)于超前，但現(xiàn)在面臨的是信息爆炸時(shí)代，不失時(shí)機(jī)地將二維分布的研究提上議事日程，也許是當(dāng)代水文學(xué)者的歷史責(zé)任。