張國帥 , 許道云

1(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

2(貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

量子隱形傳態(tài)是一種傳遞量子狀態(tài)的重要通信方式,是可擴(kuò)展量子網(wǎng)絡(luò)和分布式量子計(jì)算的基礎(chǔ).從事量子隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn),是實(shí)現(xiàn)全球量子通信網(wǎng)絡(luò)的可行性的前提研究.1993年,Bennet首次提出了量子隱形傳態(tài)的設(shè)想[1],原理是利用量子態(tài)糾纏EPR粒子對的遠(yuǎn)程關(guān)聯(lián)[2],引起了研究者對量子隱形傳態(tài)的研究熱潮[3?5],提出了各種形式的量子隱形傳送方案[6?8].其中,方建興等人[9?13]提出了多種通過N對二粒子糾纏態(tài)傳送N粒子的方案,臧鵬等人[14]提出了五粒子團(tuán)簇態(tài)實(shí)現(xiàn)四粒子團(tuán)簇態(tài)的概率隱形傳態(tài)方案,Song[15]給出了利用兩個(gè)EPR態(tài)進(jìn)行隱形傳送雙模連續(xù)變量量子態(tài)的方案,解光軍等人[16]也對量子線路進(jìn)行了改進(jìn),還有一些其他類型的傳送方案[17?21].

在上述文獻(xiàn)的所有傳送方案中,信息傳送成功的前提是制備出準(zhǔn)確的共享量子通道.例如用EPR態(tài)作為量子通道實(shí)現(xiàn)單比特量子隱形傳送,如果此時(shí)EPR制備中心出錯(cuò),制備出或者選擇其他類型的量子通道,就只能重新制備EPR態(tài)或者重新選擇適應(yīng)此種類型量子通道的傳送方案.隨著傳送信息量的增加,EPR態(tài)相應(yīng)制備的數(shù)量也會(huì)增加,制備出不符合預(yù)期的量子通道的概率也就相應(yīng)地增加.

本文從數(shù)學(xué)分析的角度,理論上提出一種通用量子線路.通過概述4種EPR態(tài)分別作為量子通道的量子隱形傳態(tài),分析這4個(gè)線路中EPR態(tài)的類型與量子操作門之間的聯(lián)系,設(shè)計(jì)出一種適應(yīng)任意類型EPR通道的量子線路.這種線路中的量子操作門是帶參數(shù)的幺正變換,其中,參數(shù)由EPR態(tài)的類型確定.最后把單比特通用線路推廣到任意N比特通用線路.本文設(shè)計(jì)的通用線路適應(yīng)EPR制備中心制備出的各種類型的EPR態(tài),信息接受者只需進(jìn)行帶參數(shù)的幺正變換,并根據(jù)制備出的EPR態(tài)類型輸入相應(yīng)的參數(shù)值,即可實(shí)現(xiàn)隱形傳送.

1 單粒子量子態(tài)的通用隱形傳送方案

EPR對的4個(gè)Bell態(tài)分別為

通過4種Bell態(tài)分別作為量子通道,設(shè)計(jì)出它們的量子隱形傳送線路,并分析量子通道與量子操作們之間的關(guān)系.首先選取|β00〉作為共享量子通道,假設(shè)Alice要傳送的未知量子態(tài)為|ψ〉=α|0〉+β|1〉.線路在信息傳輸之前的量子態(tài)為

其中,前兩個(gè)量子比特屬于Alice,第3個(gè)量子比特屬于Bob.

為了實(shí)現(xiàn)信息的量子隱形傳送,Alice需要將他所擁有的量子比特通過一個(gè)受控非門,其量子態(tài)變?yōu)?/p>

然后,Alice再讓他的第1個(gè)量子比特通過一個(gè)Hadamard門,此時(shí)的量子態(tài)為

我們把這個(gè)量子態(tài)進(jìn)行重新組項(xiàng),可重寫為如下量子態(tài):

該表達(dá)式共含有4項(xiàng),每一項(xiàng)的前兩個(gè)量子比特屬于Alice,第3個(gè)量子比特屬于Bob.此時(shí),如果Alice對前兩個(gè)量子比特進(jìn)行投影測量,Bob擁有的量子比特將會(huì)塌縮到相應(yīng)的量子態(tài)上.依賴于Alice的測量結(jié)果,Bob將會(huì)得到4種不同的量子態(tài),Bob再經(jīng)過一個(gè)幺正變換即可恢復(fù)出要傳送的的量子態(tài)α|0〉+β|1〉.具體操作見表1.

Table 1 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表1 量子測量的結(jié)果和相應(yīng)的幺正變換

Fig.1 Quantum teleportation for |β00〉圖1 關(guān)于|β00〉的量子隱形傳態(tài)

線路圖中的M1,M2即為Alice測得的經(jīng)典信息,Bob只需進(jìn)行幺正變換既可恢復(fù)出量子態(tài)|ψ〉.考慮|β01〉作為量子通道,按照第1個(gè)方案的操作步驟,各個(gè)階段的量子態(tài)分別如下.

Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果做相應(yīng)的幺正變換,具體操作見表2.

Table 2 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表2 量子測量的結(jié)果及相應(yīng)的幺正變換

其實(shí)現(xiàn)線路如圖2所示.

Fig.2 Quantum teleportation for |β01〉圖2 關(guān)于|β01〉的量子隱形傳態(tài)

考慮|β10〉作為量子通道,按照第1個(gè)方案的操作步驟,各個(gè)階段的量子態(tài)分別如下.Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果做相應(yīng)的幺正變換,具體操作見表3.

Table 3 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表3 量子測量的結(jié)果及相應(yīng)的幺正變換

Fig.3 Quantum teleportation for |β10〉圖3 關(guān)于|β10〉的量子隱形傳態(tài)

考慮|β11〉作為量子通道,按照第1個(gè)方案的操作步驟,各個(gè)階段的量子態(tài)分別如下.

Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果做相應(yīng)的幺正變換,具體操作見表4.

Table 4 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表4 量子測量的結(jié)果及相應(yīng)的幺正變換

其實(shí)現(xiàn)線路如圖4所示.

Fig.4 Quantum teleportation for |β11〉圖4 關(guān)于|β11〉的量子隱形傳態(tài)

通過上述演算和圖示,我們發(fā)現(xiàn)了4種不同的EPR態(tài)對應(yīng)線路中量子通道的類型參數(shù)與接收者進(jìn)行的幺正變換之間的對應(yīng)關(guān)系,并設(shè)計(jì)出如圖5所示的通用線路.

Fig.5 Universal circuit for single-qubit quantum teleportation圖5 單比特量子隱形傳態(tài)通用線路

從圖5中線路可以看出,當(dāng)給定線路中m和n賦值之后,通用線路就變?yōu)?種EPR態(tài)作為量子信道的量子隱形傳態(tài)的其中一種.此線路中,接收者進(jìn)行的操作是具有4個(gè)參數(shù)的矩陣,參數(shù)值由制備出的EPR類型和測量結(jié)果決定.觀察此線路還可以發(fā)現(xiàn),無論制備中心制備出哪種類型的EPR態(tài),只要根據(jù)制備出來的EPR類型輸入m,n的值,最后再根據(jù)測量結(jié)果輸入M1,M2的值,即可完成信息的傳送.

2 任意兩粒子量子態(tài)的隱形傳送方案

首先考慮任意兩比特量子隱形傳態(tài).因?yàn)槊看蝹魉鸵槐忍匦畔⒍夹枰粋€(gè)EPR態(tài),并且在測量階段EPR態(tài)會(huì)發(fā)生塌縮無法再繼續(xù)使用,所以需要傳送多少比特的信息,相應(yīng)地就需要制備多少個(gè)EPR態(tài).

如果Alice的測量結(jié)果分別是|10〉1,1x和|01〉2,2x,則粒子1y和2y將會(huì)塌縮到量子態(tài)b|00〉1y,2y+a|01〉1y,2y?d|10〉1y,2y?c|11〉1y,2y上,Alice把測量結(jié)果告訴Bob,Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果將粒子1y通過Z門、粒子2y通過X門,此時(shí),量子態(tài)為:a|00〉1y,2y+b|01〉1y,2y+c|10〉1y,2y+d|11〉1y,2y.對其他測量結(jié)果進(jìn)行類似操作,最終會(huì)恢復(fù)出待傳量子信息.通過Mathematica仿真實(shí)驗(yàn)得到的線路圖如圖6所示.

圖6中的1、2表示待傳送量子比特,3、5分別表示1x比特、1y比特,4、6分別表示2x比特、2y比特.對這個(gè)線路輸入任意未知量子態(tài):

Fig.6 Two-qubit quantum teleportation圖6 兩比特量子隱形傳態(tài)

經(jīng)過這個(gè)線路如果能夠恢復(fù)出這個(gè)量子態(tài),則證明這個(gè)實(shí)現(xiàn)線路是正確的,通過Mathematica進(jìn)行仿真,結(jié)果見表5.

Table 5 Results of quantum measurement and corresponding transmission probability表5 量子測量的結(jié)果及相應(yīng)的操作概率

Table 5 Results of quantum measurement and corresponding transmission probability (Contiuned)表5 量子測量的結(jié)果及相應(yīng)的操作概率(續(xù))

通過表5我們可以發(fā)現(xiàn),Alice共有16種測量結(jié)果,而每一種結(jié)果最終都恢復(fù)出量子態(tài):

3 任意N 粒子量子態(tài)的通用量子隱形傳送方案

現(xiàn)在,我們把任意兩粒子量子態(tài)的隱形傳態(tài)推廣到傳送任意N粒子量子態(tài)的情形.假設(shè)待傳送的量子態(tài)為

Alice和Bob共享的量子通道為n對EPR糾纏態(tài):

此時(shí),輸入線路的初始態(tài)為

我們將初始態(tài)展開進(jìn)行重新組項(xiàng),發(fā)現(xiàn)初始態(tài)可以重新表示為

為了實(shí)現(xiàn)信息的量子隱形傳送,Alice需要將自己擁有的粒子分別通過n個(gè)受控非門和n個(gè)Hadamard門,然后進(jìn)行投影測量.此時(shí),系統(tǒng)的量子態(tài)變?yōu)?/p>

Fig.7 N-qubit quantum teleportation圖7 N 比特量子隱形傳態(tài)

如果把這個(gè)任意N比特量子隱形傳態(tài)線路與單比特量子通用線路進(jìn)行結(jié)合,以隨機(jī)的EPR態(tài)作為量子通道,我們就可以設(shè)計(jì)出傳送任意N粒子量子比特的通用線路.其實(shí)現(xiàn)線路如圖8所示.

Fig.8 Universal circuit for N-qubit quantum teleportation圖8 N 比特量子隱形傳態(tài)的通用線路

首先,我們先把兩比特量子隱形傳態(tài)的通用線路設(shè)計(jì)完成(如圖9所示).

Fig.9 Universal circuit for two-qubit quantum teleportation圖9 兩比特量子隱形傳態(tài)的通用線路

此線路中有4個(gè)參數(shù)m1,n1,m2,n2,此時(shí),如果我們預(yù)期制備兩個(gè)糾纏態(tài)|β00〉作為量子通道,此時(shí)EPR制備中心出錯(cuò),假設(shè)制備結(jié)果為|β10〉1x,1y和|β10〉2x,2y,那么我們只需要根據(jù)制備出的結(jié)果輸入相應(yīng)的參數(shù)即可.這里的m1=0,n1=1,m2=1,n2=0.當(dāng)我們輸入對應(yīng)的參數(shù)值之后,此時(shí)的通用線路也就等價(jià)于下面一般情況下的量子隱形傳態(tài)了(如圖10所示).

Fig.10 Two-qubit quantum teleportation圖10 兩比特量子隱形傳態(tài)

此時(shí),Bob只需對手中的量子態(tài)進(jìn)行相應(yīng)的酉變換,即可得到最終待傳的量子態(tài).

4 結(jié) 論

本文從數(shù)學(xué)的角度分析了單比特量子隱形傳態(tài)EPR信道與接收者量子操作門之間的聯(lián)系,理論上提出一種通用線路,并把它推廣到任意N量子比特隱形傳送通用線路.此通用線路的優(yōu)點(diǎn)在于,它可以避免因EPR制備中心制備出錯(cuò)誤的EPR態(tài)造成的信息傳輸失敗問題.在N量子比特通用線路中,接收者對每個(gè)比特信息都進(jìn)行相同的矩陣操作如果把這個(gè)矩陣看作通用門,那么無論EPR制備中心制備出何種EPR類型,接收者只需根據(jù)制備出的EPR類型和測量結(jié)果輸入相應(yīng)參數(shù)值m,n,M1,M2,即可完成信息傳送.

本文提出的通用線路的意義在于抵制EPR信道制備出錯(cuò),可以在EPR制備中心出錯(cuò)的情況下順利完成信息傳輸.下一步工作是對其他更多的線路進(jìn)行改進(jìn),提高線路的糾錯(cuò)及抗干擾能力.