陳 鵬 章 青 黃 磊

天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津，300350

0 引言

大型結(jié)構(gòu)物提升系統(tǒng)中的提升塔架是提升系統(tǒng)中需要鋼材最多、安全性要求最高的部件，因此，通過優(yōu)化設(shè)計得到滿足安全性要求、輕量化的提升塔架具有實際意義。

Kriging模型作為一種代理模型技術(shù)，可以替代復(fù)雜費時的分析模型，相較于響應(yīng)面模型和徑向基函數(shù)模型具有無偏估計、平滑效應(yīng)和響應(yīng)快等特點，適用于解決參數(shù)個數(shù)少于8的復(fù)雜非線性問題，已廣泛應(yīng)用于機械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計等領(lǐng)域[1-2]。相較于靜態(tài)Kriging模型，通過不斷加點的動態(tài)Kriging模型具有更高的模型精度。加點準(zhǔn)則主要有最小預(yù)測點(minimizing the predictor，MP)加點準(zhǔn)則和期望提高(expected improvement，EI)加點準(zhǔn)則。MP加點準(zhǔn)則在每次迭代的最優(yōu)解處進行加點，盡管模型最優(yōu)解附近的局部精度不斷提高，但該加點準(zhǔn)則易使迭代收斂于局部最優(yōu)解；EI加點準(zhǔn)則在計算得到的EI最大值處進行加點[3]，模型全局精度得以提高，但最優(yōu)解附近的局部精度不易得到保證。

人工蜂群算法是由KARABOGA[4]于2005年提出的一種智能全局優(yōu)化算法，最初僅用于無約束優(yōu)化問題的求解。隨后KARABOGA等[5]于2011年通過引入Deb規(guī)則選擇蜜源，根據(jù)可行解的適應(yīng)度與不可行解的背離值來計算觀察蜂選擇蜜源的概率，并用來處理帶約束的優(yōu)化問題。目前Deb規(guī)則已廣泛應(yīng)用于帶約束優(yōu)化問題的求解[6]。

本文針對MP加點準(zhǔn)則和EI加點準(zhǔn)則的不足，綜合考慮代理模型的全局精度和最優(yōu)解附近的局部精度，提出了一種雙加點動態(tài)Kriging模型，基于該模型和人工蜂群算法對提升塔架進行了優(yōu)化設(shè)計，并將該模型的優(yōu)化結(jié)果與仿真模型、靜態(tài)Kriging模型和基于傳統(tǒng)加點準(zhǔn)則的動態(tài)Kriging模型的優(yōu)化結(jié)果進行了對比分析。

1 優(yōu)化問題描述

提升塔架是大型結(jié)構(gòu)物提升系統(tǒng)中的重要支撐部件，主要由兩組共4個支撐架組成，每個支撐架由主支撐架和斜支撐架組成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，支撐架固定在地基上，塔頂橫梁連接2個相鄰的支撐架，液壓提升器固定在塔頂橫梁上。

圖1 提升塔架結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of hoist tower

為提高優(yōu)化設(shè)計效率，考慮動載系數(shù)和載荷分布系數(shù)，因提升塔架具有對稱結(jié)構(gòu)，故本文僅對1個支撐架進行仿真分析。提升塔架材料為Q235，提升塔架的總質(zhì)量為21 708 kg，其提升總質(zhì)量為1 000 t，得到的分析結(jié)果見圖2，其中，最大應(yīng)力的絕對值為128.193 MPa。

圖2 提升塔架初始分析結(jié)果Fig.2 Initial analysis results of hoist tower

為降低提升系統(tǒng)的制造和運輸成本，需在保證最大應(yīng)力不變的條件下，以主支撐架的主立柱截面寬度W1L、橫柱長度D1及橫柱截面寬度W1D、斜支撐截面寬度W1XZ和斜支撐架的主立柱截面寬度W2L、橫柱長度D2及橫柱截面寬度W2D、斜支撐截面寬度W2XZ以及主支撐架與斜支撐架之間的夾角θ為設(shè)計變量，以提升塔架的總質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)進行多參數(shù)帶約束優(yōu)化設(shè)計。

2 全局敏感性分析

全局敏感性分析是指分析各參數(shù)的變化對輸出變量影響的敏感程度，通過全局敏感性分析可進行各參數(shù)敏感性排序，將非敏感參數(shù)設(shè)為固定值可降低優(yōu)化問題的維度，以簡化優(yōu)化問題[7]。

2.1 Sobol指數(shù)法

基于方差的Sobol指數(shù)法是一種定量的全局敏感性分析方法[8]，其基本思想是將模型分解為單個參數(shù)和任意兩個參數(shù)組合的函數(shù)，通過計算單個參數(shù)方差和任意兩個參數(shù)組合的方差對總方差的影響來確定參數(shù)的總體敏感程度與參數(shù)之間的相互影響程度。通常，結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中設(shè)計變量和目標(biāo)函數(shù)之間的具體函數(shù)關(guān)系未知，需采用基于蒙特卡羅方法的Sobol指數(shù)法進行全局敏感性分析。

假設(shè)設(shè)計空間參數(shù)個數(shù)為m，通過拉丁超立方試驗設(shè)計在設(shè)計空間內(nèi)取樣兩次，每次抽取n個樣本點，并得到A、B兩個樣本矩陣：

(1)

(2)

用矩陣B的第i列替換矩陣A的第i列，得到矩陣Ci；用矩陣A的第i列替換矩陣B的第i列，得到矩陣Di，其表達式分別如下：

(3)

(4)

將矩陣中每組設(shè)計參數(shù)代入仿真模型中進行仿真分析，從而得到相應(yīng)響應(yīng)值，并可通過如下公式計算得到各參數(shù)敏感性指標(biāo)：

(5)

(6)

(7)

則設(shè)計空間參數(shù)xi的主效應(yīng)指標(biāo)可表示為

(8)

設(shè)計空間參數(shù)xi的全效應(yīng)指標(biāo)可表示為

(9)

2.2 敏感性指標(biāo)求解

選取設(shè)計變量初始值的-30%～30%作為初始設(shè)計空間，通過拉丁超立方試驗設(shè)計得到參數(shù)敏感性分析樣本數(shù)據(jù)，利用ANSYS軟件仿真分析得到相應(yīng)響應(yīng)值，并代入式(8)、式(9)，從而得到各參數(shù)敏感性指標(biāo)，見表1，相應(yīng)的主效應(yīng)圖為圖3。

由全局敏感性指標(biāo)計算結(jié)果和主效應(yīng)圖可知，參數(shù)W1D、W1L、D1和θ的敏感性較強，可選取上述4個參數(shù)作為后續(xù)優(yōu)化的設(shè)計變量。這將降低優(yōu)化問題的維數(shù)，使優(yōu)化問題得以簡化，優(yōu)化效率得以提高。

表1 全局敏感性指標(biāo)計算結(jié)果

(a)相對于最大應(yīng)力

3 基于雙加點動態(tài)Kriging模型和人工蜂群算法的提升塔架優(yōu)化設(shè)計

3.1 雙加點動態(tài)Kriging模型

Kriging代理模型的數(shù)學(xué)表達式如下：

(10)

其中，β為回歸系數(shù)，ft(x)β表示回歸模型，是一個確定成分，通常用多項式表示，是全局近似的模擬；z(x)表示一個隨機過程，是局部偏差近似的模擬，z(x)滿足如下統(tǒng)計特征：

(11)

式中，E為期望；var表示方差；cov表示協(xié)方差；σ為標(biāo)準(zhǔn)差；R(θ,x(i),x(j))表示以θ為參數(shù)的樣本點x(i)與x(j)之間的相關(guān)函數(shù)。

基于樣本點建立Kriging模型時，使真實值和估計值之間的估計方差最小，即可得到具有無偏估計和最小估計方差的Kriging模型，進而得到設(shè)計空間任意一點的響應(yīng)值和相應(yīng)估計方差。

通常，由初始樣本點建立得到的靜態(tài)Kriging模型的全局精度較低，最優(yōu)解處的局部精度更加難以得到保證。針對這一問題，本文提出了一種基于雙加點準(zhǔn)則的動態(tài)Kriging模型。雙加點準(zhǔn)則的表述如下：在每次優(yōu)化迭代時分別判斷最優(yōu)解和預(yù)測誤差最大值處的樣本點是否與樣本空間中的樣本點重復(fù)，若兩點均重復(fù)則此次迭代放棄向樣本空間加點，否則就將相應(yīng)點加入到樣本空間中，并調(diào)用ANSYS仿真程序計算新加入的樣本點處的真實響應(yīng)值，從而形成新的樣本空間，并重建Kriging模型。

優(yōu)化過程中，采用雙加點更新準(zhǔn)則對初始Kriging模型進行多次動態(tài)更新，從而可得到全局精度、局部精度和最優(yōu)解處局部精度均有大幅提高的雙加點動態(tài)Kriging模型。

3.2 基于雙加點動態(tài)Kriging模型和人工蜂群算法的提升塔架優(yōu)化流程

結(jié)合雙加點動態(tài)Kriging模型和人工蜂群優(yōu)化算法，對大型結(jié)構(gòu)物提升系統(tǒng)中的提升塔架進行了優(yōu)化設(shè)計，其總體優(yōu)化流程見圖4。

圖4 提升塔架總體優(yōu)化流程圖Fig.4 Optimization flow chart of hoist tower

3.2.1確定設(shè)計變量取值范圍和優(yōu)化模型

根據(jù)全局敏感性分析結(jié)果，將參數(shù)D1、W1L、W1D和θ作為提升塔架優(yōu)化設(shè)計的設(shè)計變量，各參數(shù)的取值范圍見表2。

表2 設(shè)計變量取值范圍

以提升塔架的質(zhì)量m為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，最大應(yīng)力σmax為約束條件，從而可得到提升塔架優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(12)

3.2.2建立初始Kriging模型

在設(shè)計空間內(nèi)，基于拉丁超立方試驗設(shè)計進行了30次抽樣，并利用MATLAB軟件中的DACE工具箱，選取二次多項式模型作為回歸模型，選取高斯函數(shù)作為相關(guān)模型，建立了4個設(shè)計變量分別與最大應(yīng)力、質(zhì)量之間的Kriging模型，并得到了初始Kriging模型和精度，見表3。

表3 初始Kriging模型和精度

通過測試集檢驗建立的模型精度，將復(fù)相關(guān)系數(shù)R2作為模型全局精度評價指標(biāo)，相對最大絕對誤差εRMA作為模型局部精度評價指標(biāo)。R2越接近于1表明模型全局精度越高，εRMA越接近于0表明模型局部精度越高[9]。R2和εRMA的計算表達式分別如下：

(13)

(14)

3.2.3利用人工蜂群算法優(yōu)化求解

(1)通過拉丁超立方試驗設(shè)計初始化蜜源位置(蜂群大小為200，蜜源數(shù)為100)，并得到分布相對均勻的蜜源。

(2)通過初始Kriging模型預(yù)測各蜜源位置的目標(biāo)函數(shù)值，記錄預(yù)測誤差，計算相應(yīng)適應(yīng)度值，分別得到目標(biāo)函數(shù)值矩陣、預(yù)測誤差矩陣和適應(yīng)度矩陣。適應(yīng)度計算表達式如下：

(15)

式中，fi為第i個蜜源處的模型預(yù)測值；ffit,i為第i個蜜源的適應(yīng)度值；abs(fi)為fi的絕對值。

(3)雇傭蜂階段。在各蜜源附近搜索新蜜源，其表達式如下：

vij=xij+Rand(xij-xkj)

(16)

式中，vij為新蜜源；j為均勻分布的隨機整數(shù)，表示參數(shù)序號；xkj為隨機選擇不與xij重復(fù)的蜜源,k為不同于i的隨機選擇指數(shù)；Rand(·)為[-1,1]之間的隨機數(shù)。

利用初始Kriging模型預(yù)測新蜜源位置目標(biāo)函數(shù)值，記錄預(yù)測誤差，并計算相應(yīng)適應(yīng)度值。依據(jù)Deb規(guī)則[4]判斷新蜜源是否優(yōu)于原蜜源，Deb規(guī)則表述如下：①可行解優(yōu)于不可行解；②可行解中適應(yīng)度大的解優(yōu)于適應(yīng)度小的解；③不可行解中約束背離值小的解優(yōu)于約束背離值大的解。其中，不可行解的約束背離值為最大應(yīng)力響應(yīng)值與允許的最大應(yīng)力值之差。

若新蜜源優(yōu)于原蜜源，則替換原蜜源，并更新相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值矩陣、預(yù)測誤差矩陣和適應(yīng)度矩陣。

計算蜜源變異概率，其計算表達式如下：

(17)

式中，N是蜜源個數(shù)；viol,i為第i個蜜源的約束背離值。

(4)觀察蜂階段。對于任意一個蜜源i，觀察蜂有概率Pi在其附近，利用式(16)找到一個新蜜源，通過Deb規(guī)則選擇蜜源，若新蜜源優(yōu)于原蜜源，則替換原蜜源，并更新相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值矩陣、預(yù)測誤差矩陣和適應(yīng)度矩陣。

(5)偵查蜂階段。超過限制次數(shù)(限制次數(shù)為 100)而沒發(fā)生變異的蜜源對應(yīng)的雇傭蜂變?yōu)閭刹榉?，并在設(shè)計空間中依據(jù)下式隨機產(chǎn)生一個新蜜源：

(18)

通過Kriging模型預(yù)測新蜜源位置的目標(biāo)函數(shù)值，記錄預(yù)測誤差，計算相應(yīng)適應(yīng)度值，并更新相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值矩陣、預(yù)測誤差矩陣和適應(yīng)度矩陣。

(6)基于上文所提出的雙加點準(zhǔn)則重建Kriging模型。

(7)不斷重復(fù)步驟(3)～步驟(6)，直到獲得最優(yōu)解。

3.3 優(yōu)化結(jié)果對比分析

經(jīng)過783次迭代、152次基于雙加點準(zhǔn)則的動態(tài)加點后，共計182個樣本點，并得到了如下最優(yōu)解：D1=1 750 mm、W1L=279.64 mm、W1D=225.66 mm、θ=0.37 rad、σmax=128.19 MPa、m=13 162 kg，最終Kriging模型和精度見表4。

在最大應(yīng)力不變的條件下，優(yōu)化后的提升塔架質(zhì)量減小了39.37%。由表3和表4中優(yōu)化前后的Kriging模型精度可知，經(jīng)過基于雙加點準(zhǔn)則的動態(tài)迭代更新后，最大應(yīng)力Kriging模型的全局精度提高了14.35%、局部精度提高了31.26%；質(zhì)量Kriging模型全局精度提高了14.66%，局部精度提高了34.98%。

表4 最終Kriging模型和精度

(19)

由表5可知，所有基于Kriging模型的優(yōu)化效率相較于仿真模型的優(yōu)化效率，均有大幅度提高；雙加點動態(tài)Kriging模型相較于相同樣本數(shù)的靜態(tài)Kriging模型，其最大應(yīng)力Kriging模型的全局精度提高了5.55%、局部精度提高了14.62%，質(zhì)量Kriging模型的全局精度提高了5.58%、局部精度提高了19.56%，最大應(yīng)力Kriging模型和質(zhì)量Kriging模型在最優(yōu)解處模型預(yù)測值相對真實響應(yīng)值的誤差明顯減小；雙加點動態(tài)Kriging模型相較于基于MP加點準(zhǔn)則和EI加點準(zhǔn)則的動態(tài)Kriging模型，其全局精度、局部精度和最優(yōu)解處局部精度均得到了一定改善。

表5 優(yōu)化結(jié)果對比

4 結(jié)論

(1)通過基于方差的Sobol指數(shù)法進行了全局敏感性分析，設(shè)計變量個數(shù)由9個減少為4個，降低了優(yōu)化問題維數(shù)，優(yōu)化問題得以簡化,優(yōu)化效率得以提高。

(2)優(yōu)化后，最大應(yīng)力為128.19 MPa、提升塔架質(zhì)量為1316 2 kg，在最大應(yīng)力不變的條件下，提升塔架質(zhì)量減小了39.37%。

(3)基于雙加點動態(tài)Kriging模型相較于仿真模型，優(yōu)化設(shè)計效率得到大幅提高。

(4)雙加點動態(tài)Kriging模型相較于靜態(tài)Kriging模型、基于MP加點準(zhǔn)則和EI加點準(zhǔn)則的動態(tài)Kriging模型，具有更高的全局精度、局部精度和最優(yōu)解處局部精度。