王金妮,劉進(jìn)靜

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

眾所周知,一維可壓縮等熵Euler方程組為:

其中ρ(x,t)≥0,u(x,t)分別表示流體的密度和速度,表示壓力,γ>1為絕熱指數(shù).當(dāng)賦予方程組(1)如下的初值:

其中 (ρ±,u±)均是常數(shù),則 Riemann問題 (1)-問題 (2)的解包含激波、稀疏波和真空[1-2],在這兩種非線性波中,僅稀疏波能夠與真空連接.

本文考慮當(dāng)Euler方程組(1)稀疏波解的一端與真空連接時(shí),如下一維可壓縮等熵Navier-Stokes方程組的零耗散極限:

其中?>0為常黏性系數(shù).

隨著黏性的消失,黏性流的解強(qiáng)收斂到對(duì)應(yīng)無(wú)黏流的解,這類問題即為零耗散極限問題,它是可壓縮黏性流體中一類十分重要且具有開放性的問題.當(dāng)無(wú)黏流不包含奇性時(shí),可由經(jīng)典標(biāo)量方法得到零耗散極限,而當(dāng)無(wú)黏流包含奇性如激波和真空時(shí),零耗散極限問題富有挑戰(zhàn)性.對(duì)于可壓縮等熵Navier-Stokes方程組,文獻(xiàn)[3]首先考慮了包含初始層且Euler方程組的解是單個(gè)激波的情形,證明了隨著黏性的消失,方程的解趨于黏性激波,基于上述結(jié)果,文獻(xiàn)[4]證明了在沒有初始層的情況下,當(dāng)Euler方程組包含稀疏波解且不包含真空時(shí),可壓縮等熵Navier-Stokes方程組稀疏波解的零耗散極限,且得到一致收斂率.若Euler方程組(1)的初值只在無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)真空,文獻(xiàn)[5]利用補(bǔ)償緊致性的方法得到了方程組(3)的黏性消失極限.關(guān)于兩個(gè)激波復(fù)合的情形可以參考文獻(xiàn)[6-7].對(duì)于非等熵Navier-Stokes方程組的零耗散極限也有了豐富的研究成果[8-13],特別地,文獻(xiàn)[10]考慮了可壓熱傳導(dǎo)Navier-Stokes方程組激波解的零耗散極限問題;文獻(xiàn)[13]對(duì)于稀疏波與接觸間斷波疊加的情形進(jìn)行了研究.此外,對(duì)于如下黏性雙曲守恒律也已經(jīng)有了一些有意義的成果:

文獻(xiàn)[14]利用匹配漸近展開方法研究了激波的黏性消失極限,后來(lái)此結(jié)果被文獻(xiàn)[15]推廣到包含初始層的情形.文獻(xiàn)[16]在BV空間中研究了解的黏性消失極限問題,隨后,文獻(xiàn)[17-18]對(duì)這一結(jié)果進(jìn)行了改進(jìn)和推廣.

近年來(lái),文獻(xiàn)[19]研究了當(dāng)Euler方程組(1)的解為2-稀疏波+真空時(shí),Navier-Stokes方程組(3)的零耗散極限,并對(duì)方程組(1)賦予Riemann初值:

且得到連接真空狀態(tài) (0,u1)到 (ρ+,u+)的 2-稀疏波 (ρr2,mr2=ρr2ur2):

其中mr2表示動(dòng)量,分別表示方程組(1)的特征值和2-Riemann不變量.然后 Huang等人對(duì)與真空連接的2-稀疏波 (ρr2,mr2)進(jìn)行截?cái)嗵幚?并且構(gòu)造了 Navier-Stokes方程組 (3)的一列解,當(dāng)黏性?→0時(shí)此列解收斂于與真空連接的2-稀疏波(ρr2,mr2),并得到一致收斂率估計(jì).另外,關(guān)于黏性依賴于密度的Navier-Stokes方程解的零耗散極限也已經(jīng)有許多學(xué)者研究,具體可參見文獻(xiàn)[20-21].

事實(shí)上,探究當(dāng)稀疏波與真空連接時(shí)Navier-Stokes方程組(3)的解的零耗散極限關(guān)鍵之一在于如何控制稀疏波中由真空引起的退化,本文將利用流近似方法[22-23]控制退化.從物理學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,流體是分子結(jié)構(gòu)不抵抗外部剪切力的物質(zhì),即使是最小的力也會(huì)引起流體粒子的變形;從數(shù)學(xué)上講,很小的力可以看作是力學(xué)上的流擾動(dòng),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)合理的擾動(dòng)可以用來(lái)控制流體的某些動(dòng)力學(xué)行為,因此,流近似可以用來(lái)控制真空附近的退化.

首先,本文對(duì)Euler方程組(1)進(jìn)行流擾動(dòng),即得到擾動(dòng)Euler方程組:

其中密度ρ≥2ν,ν>0為依賴于黏性?的參數(shù).本文將選取ν=?a|ln?|,其中a由下文(15)式給出.當(dāng)ν→0時(shí),上述方程組形式上變?yōu)镋uler方程組(1).事實(shí)上,方程組(6)是嚴(yán)格雙曲型的,它有兩個(gè)互異的特征值:

即這兩個(gè)特征場(chǎng)都是真正非線性的.此外,i-Riemann不變量定義為

解 Riemann問題 (6),問題 (2),可以得到兩類基本波解,即激波 (S1,S2)和稀疏波 (R1,R2),(更多相關(guān)細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn) [22]).因此能夠得到 5種結(jié)構(gòu)的解 (見圖 1),特別地,當(dāng) (u+,ρ+)∈V(u?,ρ?)時(shí),Riemann解包含 2個(gè)稀疏波和 1個(gè)常密度狀態(tài) (ρ=2ν).通過對(duì)比發(fā)現(xiàn),Riemann問題 (1),問題 (2)的解包含真空狀態(tài),而Riemann問題(6),問題(2)的解已不包含真空狀態(tài).換言之,已經(jīng)控制了稀疏波中真空引起的退化.

圖1 方程組(6)Riemann解的結(jié)構(gòu)

本文僅考慮2-稀疏波.如果給方程組(6)賦予Riemann初值:

即左狀態(tài)為常密度,那么連接 (2ν,u?)到 (ρ+,u+)的 2-稀疏波解

由顯示解公式可知當(dāng)ν→0時(shí),2-稀疏波 (ρν,mν)收斂于由 (4)式和 (5)式定義的 (ρr2,mr2).因此有下面的引理:

引理 1.1存在一個(gè)常數(shù)ν0∈(0,1),使得對(duì)ν∈(0,ν0],t>0有:

然后,本文利用 Burgers方程對(duì)2-稀疏波 (ρν,mν)進(jìn)行光滑逼近,構(gòu)造其近似稀疏波.

下面敘述本文的主要結(jié)論:

定理 1.1設(shè)由(4)式和(5)式定義的是Euler方程組(1)的一端與真空連接的2-稀疏波解,且給方程組(3)賦予初值(27),則存在適當(dāng)小的正常數(shù)?0>0,對(duì)任意的?∈(0,?0),可以構(gòu)造方程組(3)的一列光滑全局解滿足:

且當(dāng)?→0時(shí),(ρ?,m?)(x,t)逐點(diǎn)收斂到 (ρr2,mr2)(x,t)(除點(diǎn) (0,0)外).

進(jìn)一步,對(duì)于任意給定的常數(shù)h>0,存在一常數(shù)Ch>0(不依賴于?),成立:

注1.1(i)本文介紹了另一種方法,即運(yùn)用流近似方法研究一維可壓縮等熵Navier-Stokes方程組的零耗散極限.通過以上的分析,可以發(fā)現(xiàn)定理1.1中關(guān)于?的收斂率與文獻(xiàn)[19]中得到的收斂率不同.

(ii)L2(R)表示定義在R上的平方可積實(shí)值函數(shù)空間,且范數(shù)記為||·||:=||·||L2.

(iii)Hk(R)表示常用的 Sobolev空間,且范數(shù)記為||·||k,特別地,||·||0=||·||.

近年來(lái)，鋰離子電池的應(yīng)用已經(jīng)逐漸擴(kuò)展到汽車、家電、電動(dòng)自行車、儲(chǔ)能等領(lǐng)域。2014年，中國(guó)鋰離子電池產(chǎn)量達(dá)52.87億只，占全球總產(chǎn)量比重達(dá)到71.2%， 2018年預(yù)計(jì)全國(guó)鋰電池產(chǎn)量達(dá)到121億只，增速22.86%。國(guó)內(nèi)鋰離子電池產(chǎn)業(yè)進(jìn)入快速成長(zhǎng)階段，成為全球主要的鋰離子電池生產(chǎn)國(guó)和消費(fèi)國(guó)。

(iv)C表示不依賴于?和時(shí)間t的正常數(shù).

本文剩余內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分利用無(wú)黏 Burgers方程對(duì) 2-稀疏波 (ρν,mν)進(jìn)行光滑逼近;第三部分給出定理1.1的證明.

2 近似稀疏波

受到文獻(xiàn) [4,19,24]中部分思想的啟發(fā),本節(jié)將利用 Burgers方程建立關(guān)于擾動(dòng)Euler方程(6)稀疏波解的一些必要估計(jì),特別要構(gòu)造一個(gè)光滑稀疏波,使其能夠很好地逼近 2-稀疏波 (ρν,mν).

考慮無(wú)黏Burgers方程的Riemann問題:

當(dāng)w?

參照文獻(xiàn)[4,19,24],2-稀疏波(ρν,mν)可由下面的Burgers方程進(jìn)行光滑逼近:

其中δ>0是待定小常數(shù).注意到,方程組(19)存在唯一的光滑全局解

引理2.1的證明參見文獻(xiàn)[4,19],這里不再證明.

3 定理1.1的證明

本節(jié)將證明這篇文章的主要結(jié)論.記 Navier-Stokes方程組 (3)的解為 (ρ?,u?),為簡(jiǎn)便起見,省去(ρ?,u?)的上標(biāo),即用 (ρ,u)表示方程組 (3)的解.賦予方程組 (3)如下的光滑初始值

把(28)式-(29)式代入方程組(3),并結(jié)合方程組(26)得到

引理 3.1重構(gòu)問題(30)-問題(32)存在唯一全局解(?,ψ)∈X(0,τ1),并且存在某個(gè)充分小的?0>0,使得當(dāng)0

其中a由方程組(15)給出,因此

隨后的分析中,作出先驗(yàn)假設(shè)

其中a由方程組 (15)給出,[0,τ1(?)]表示解存在的時(shí)間區(qū)間且τ1(?)依賴于?.容易發(fā)現(xiàn)若??1,則ν≥2?a成立.根據(jù)先驗(yàn)假設(shè)(37),得到

其中C1,C2是不依賴于?的正常數(shù).

分析發(fā)現(xiàn)一旦得到引理3.1,可立即得到定理1.1.另外,方程(30)-方程(32)解的局部存在定理是標(biāo)準(zhǔn)的,本文不再陳述.[0,∞]上的解可由解的局部存在性和一些先驗(yàn)估計(jì)得到,因此這篇文章的主要任務(wù)就是得到如下的先驗(yàn)估計(jì):

引理 3.2(先驗(yàn)估計(jì)) 設(shè) (?,ψ)∈X(0,τ1(?))是重構(gòu)問題 (30)-問題 (32)的解,其中τ1(?)表示解存在的最大時(shí)間且滿足先驗(yàn)假設(shè)(37),則存在充分小的常數(shù)?0>0,使得當(dāng)0

接下來(lái)證明引理3.2,證明主要分三步進(jìn)行.

證明(I)給方程(31)乘ψ得到

即完成了引理3.2的證明.

據(jù)此可以斷言τ1(?)=∞.事實(shí)上,如果τ1(?)<∞,則可再次利用解在時(shí)間τ=τ1(?) 的局部存在性,找到另一時(shí)間τ1(?)<τ2(?) 使得解在 [0,τ2(?)]內(nèi)滿足 (37)式,這與引理3.2中τ1(?)是最大時(shí)間矛盾.因此,當(dāng)?較小但固定時(shí),可以把局部解延拓至全局解.最后,證明定理1.1.

定理 1.1的證明根據(jù)引理1.1,引理2.2,引理3.1及ν=?a|ln?|,δ=?a,則對(duì)任意給定的常數(shù)h>0,存在不依賴于?的常數(shù)Ch>0,使得