陳愛斌，張釗源

（中南林業(yè)科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410004）

1 背 景

數(shù)值分析（numerical analysis）是研究分析用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)計(jì)算問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對(duì)象，為計(jì)算數(shù)學(xué)的主體部分。計(jì)算數(shù)學(xué)會(huì)把這門課擴(kuò)充為數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解等多門更加深入的課程，但對(duì)于非數(shù)學(xué)類理工科學(xué)生，數(shù)值分析僅單設(shè)一門課，內(nèi)容主要包括插值法、曲線擬合、數(shù)值積分、數(shù)值微分、解線性方程組的直接方法、解線性方程組的迭代法、非線性方程求根、常微分方程的數(shù)值解法等。

隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展、普及以及新型數(shù)值軟件的不斷開發(fā)，特別是人工智能應(yīng)用的不斷擴(kuò)展，數(shù)值分析對(duì)自然科學(xué)和工程、技術(shù)科學(xué)的影響越來越大。在國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，許多重大項(xiàng)目如水壩、飛機(jī)、船舶、橋梁建筑的建設(shè)、油田勘探、氣象預(yù)報(bào)以及人口預(yù)測、宏觀經(jīng)濟(jì)管理等都離不開數(shù)值分析?，F(xiàn)在，不論是在高科技領(lǐng)域還是在一些傳統(tǒng)學(xué)科領(lǐng)域，數(shù)值計(jì)算均是不可缺少的環(huán)節(jié)，它已經(jīng)成為科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員都應(yīng)當(dāng)掌握的知識(shí)和工具，成為智能+各行各業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。目前理工科院校人工智能專業(yè)大都為學(xué)生開設(shè)了數(shù)值分析（或稱“數(shù)值計(jì)算方法”“計(jì)算方法”）課程。

2 數(shù)值分析課程的特點(diǎn)

數(shù)值分析課程和其他的課程不一樣，它有著一些非常獨(dú)特的課程特點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)這些特點(diǎn)的了解，可以讓人工智能專業(yè)的學(xué)生對(duì)數(shù)值分析課程有一個(gè)整體的印象，一定程度上能夠消除學(xué)生對(duì)這門課程學(xué)習(xí)的壓力。

2.1 章節(jié)的獨(dú)立性

人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容主要包括插值法、曲線擬和、數(shù)值積分、數(shù)值微分、解線性方程組的直接方法、解線性方程組的迭代法、非線性方程求根、常微分方程的數(shù)值解法等，各類教材都是將這些內(nèi)容各設(shè)一章，但不同教材各章的先后順序不完全相同，這一點(diǎn)與其他課程是很不相同的，原因就是數(shù)值分析的以上教學(xué)內(nèi)容之間具有相對(duì)獨(dú)立性，也就是說它們之間沒有前續(xù)和后續(xù)之分，先講哪個(gè)內(nèi)容后講哪個(gè)內(nèi)容是不受影響的。數(shù)值分析課程的這一特點(diǎn)讓學(xué)習(xí)者不會(huì)有太大的學(xué)習(xí)壓力，因?yàn)槿绻銓?duì)某一章內(nèi)容還沒有完全學(xué)好，不會(huì)影響你學(xué)習(xí)其他部分內(nèi)容。

2.2 章節(jié)的漸進(jìn)性

數(shù)值分析每一章的小節(jié)安排都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是首先給出這一問題的初步解決方法，然后從算法的時(shí)間復(fù)雜度和算法的收斂性等方面對(duì)算法進(jìn)行不斷地優(yōu)化。以數(shù)值積分為例，首先會(huì)給出非等分求積節(jié)點(diǎn)的機(jī)械型求積公式，然后講解等距求積節(jié)點(diǎn)的牛頓－柯特斯求積公式，先介紹幾種低階的求積公式，然后介紹復(fù)化求積公式，最后在介紹變步長的求積公式的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出龍貝格求積公式，這是一個(gè)求積精度不斷提高的過程。

3 人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程的特點(diǎn)

從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度出發(fā)，數(shù)值分析課程一般是由公式定理開始，從研究相關(guān)問題的定義、性質(zhì)再到定理證明與應(yīng)用。但是人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程主要目的在于應(yīng)用數(shù)值分析已有的理論來解決各行各業(yè)工程實(shí)際中的相關(guān)問題，其教學(xué)也就有不同的特點(diǎn)。

3.1 重應(yīng)用，輕理論

針對(duì)智能+的各個(gè)交叉學(xué)科，往往拿到手的只是通過實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，目的是利用數(shù)值分析對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、驗(yàn)證，最后得到指導(dǎo)工程實(shí)踐的一些結(jié)論，這就是工科數(shù)值分析的任務(wù)。對(duì)于人工智能專業(yè)本科生，應(yīng)用才是目的，學(xué)習(xí)過程中只需要掌握數(shù)值分析的方法、算法，至于這些方法、算法是如何推導(dǎo)過來的，甚至是基于什么定理定義等都不是很重要。同時(shí)相對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，人工智能專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，對(duì)一些數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)和分析的進(jìn)行深刻理解還存在一些困難。因此，人工智能專業(yè)的數(shù)值分析教學(xué)大可不必強(qiáng)調(diào)相關(guān)定理的證明，主要側(cè)重于算法的講解，包括算法的思想、算法的實(shí)現(xiàn)以及算法的不斷改進(jìn)，而對(duì)于相關(guān)的定理，只需要強(qiáng)調(diào)其用途以及應(yīng)用該定理時(shí)的限定條件等。

3.2 鮮明的專業(yè)性

人工智能專業(yè)的數(shù)值分析課程不能像普通數(shù)學(xué)專業(yè)一樣講授，而是要結(jié)合各專業(yè)特點(diǎn)進(jìn)行講解。講授過程中的一些例題和課后習(xí)題要盡可能來源于各專業(yè)的工程實(shí)際，而不是純數(shù)學(xué)問題。例如給學(xué)生講曲線擬合時(shí)，我們結(jié)合自行車車道的合理設(shè)計(jì)，所采用的數(shù)據(jù)是來自9 條街道的自行車車道的寬度和自行車與行駛中的汽車之間的平均距離，讓學(xué)生用最小二乘法對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并求當(dāng)自行車與行駛中的汽車之間的平均最小安全距離為2m 時(shí)，最小自行車道寬度。只有像這樣緊密結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)實(shí)踐進(jìn)行講解，才能提高學(xué)生的聽課興趣，并且所授內(nèi)容也更容易被學(xué)生理解。

4 人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程的教學(xué)改革建議

4.1 結(jié)合相關(guān)工程類專業(yè)背景，加強(qiáng)人工智能專業(yè)數(shù)值分析教材建設(shè)

在我們的十多年工科數(shù)值分析教學(xué)過程中，先后采用了多本教材，如李慶揚(yáng)的《數(shù)值分析》（清華大學(xué)出版社）[1]，王能超的《數(shù)值分析簡明教程》（華中科技大學(xué)出版社）[2]，鄧建軍的《計(jì)算方法》（西安交通大學(xué)出版社）[3]和劉師少的《計(jì)算方法》（科學(xué)出版社）[4]等。這些教材有的偏重于數(shù)學(xué)理論，有的雖然內(nèi)容適合工科學(xué)生，但與工科專業(yè)相關(guān)工程應(yīng)用結(jié)合不強(qiáng)。真正適合人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程教學(xué)的教材一定要從教學(xué)內(nèi)容選擇上偏重工程應(yīng)用、算法講解和算法實(shí)現(xiàn)，在教學(xué)例題和課后習(xí)題方面緊密結(jié)合相關(guān)各工科專業(yè)的工程實(shí)踐問題，這樣不僅增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)值應(yīng)用能力，還可以提高學(xué)習(xí)趣味性。例如在設(shè)計(jì)曲線擬合的例題或習(xí)題時(shí)，可以結(jié)合實(shí)際工程問題設(shè)計(jì)如下。

在設(shè)計(jì)道路前，往往會(huì)統(tǒng)計(jì)并預(yù)測道路的交通量，以此為依據(jù)確定所設(shè)計(jì)路段的道路等級(jí)和結(jié)構(gòu)層厚度。表1 是一段道路的交通量統(tǒng)計(jì)，試對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，并預(yù)測2020 年的交通量。

4.2 強(qiáng)化人工智能專業(yè)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)

人工智能專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析歸根到底是要?jiǎng)邮纸鉀Q工程實(shí)踐中的實(shí)際問題，因此該門課程的教學(xué)必須強(qiáng)調(diào)實(shí)際動(dòng)手能力的訓(xùn)練。雖然數(shù)值分析的相關(guān)算法均有成熟的代碼資源，但是如果學(xué)生每學(xué)完一種算法能夠通過自己編程實(shí)現(xiàn)的話，對(duì)該算法的理解肯定會(huì)更加深刻，以后應(yīng)用起來也才能舉一反三。人工智能專業(yè)學(xué)生基本上都有Python 語言編程基礎(chǔ)，學(xué)生用Python 語言實(shí)現(xiàn)所有相關(guān)算法，并可以更加熟練地掌握Python 編程。例如用Python 實(shí)現(xiàn)高斯消元法時(shí)，因?yàn)橐玫骄仃囎龊瘮?shù)的參數(shù)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)關(guān)于矩陣變量傳遞的問題，怎樣像C 語言一樣進(jìn)行數(shù)值傳遞呢？最后會(huì)發(fā)現(xiàn)利用matrix 內(nèi)置的method copy 可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能。

表1 某道路交通量統(tǒng)計(jì)表 輛/日

目前人工智能專業(yè)的數(shù)值分析課安排的實(shí)踐教學(xué)學(xué)時(shí)較少，建議在以后的培養(yǎng)方案中適當(dāng)增加實(shí)踐教學(xué)學(xué)時(shí)，萬一沒有安排實(shí)踐課時(shí)，任課老師也要適時(shí)布置一些實(shí)踐動(dòng)手的作業(yè)讓學(xué)生自行完成。

4.3 改革人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程考試方式

人工智能專業(yè)的課程考試可以形式多樣，不一定都用理論試卷進(jìn)行閉卷考試。在我們的數(shù)值分析教學(xué)實(shí)踐中采用了多種形式的考試，有理論考試，也有在理論考試試卷中安排1～2 道編程題目，例如“利用Python 語言編程實(shí)現(xiàn)矩陣的克洛特分解，寫出相應(yīng)的程序或程序段”，通過這類題目可以考查學(xué)生使用Python 等語言解決工程計(jì)算問題的能力。

此外還可以采用開卷考試的形式，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)、分析并解答一個(gè)工程實(shí)踐問題，例如“請(qǐng)結(jié)合工程實(shí)踐自己設(shè)計(jì)一道曲線擬合問題，并選取教材中的一種計(jì)算方法對(duì)該問題進(jìn)行分析和求解”。由于數(shù)值分析涉及的算法比較多，可以將學(xué)生分成多個(gè)小組，分別針對(duì)插值、曲線擬合、數(shù)值積分、數(shù)值微分、解線性方程組、非線性方程求根、常微分方程的數(shù)值解法等每個(gè)課程內(nèi)容模塊，在廣泛查閱資料的基礎(chǔ)上，給出一道來源于工程專業(yè)實(shí)踐的問題，并要求對(duì)該問題進(jìn)行分析，選擇一種算法進(jìn)行求解并得到結(jié)果。這種考試方式可以提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

5 結(jié) 語

針對(duì)數(shù)值分析課程的教學(xué)已經(jīng)有很多討論和教學(xué)實(shí)踐[5-6]，我們給出的以上分析和教學(xué)改革建議均來源于自己多年的教學(xué)實(shí)踐，雖然不可避免地會(huì)存在部分不妥之處，但希望我們的這些分析和建議能夠給從事人工智能專業(yè)數(shù)值分析課程教學(xué)的老師們和直接學(xué)習(xí)數(shù)值分析的眾多工科類學(xué)生們一些啟發(fā)。