夏源騁

摘 要：本文從小波分析的提出背景、具體變換過程、小波特性再到其具體應(yīng)用等方面對連續(xù)性小波變化進(jìn)行了立體形象的介紹。小波的最大優(yōu)勢在于可以對序列的時域和頻域同時進(jìn)行分析，因此能迅速而又準(zhǔn)確地求解出序列的完整特性。

關(guān)鍵詞：小波變化;時域分析;頻域分析

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常常有項目同時涉及多個頻段，或者在同一時段中有多個項目，總的來說，經(jīng)濟(jì)事件序列是不同頻率分量的集合體。為了對這些序列進(jìn)行分析，過去人們往往采用傅里葉分析法，這也是現(xiàn)在國際上最常用的方法之一。但是傅里葉分析法只能對序列的頻域進(jìn)行分析，而忽略了時域的性質(zhì)。但近些年來，有學(xué)者提出一種名為連續(xù)性小波分析的方法，這種分析方法能同時對序列的時域和頻域進(jìn)行分析，從而使連續(xù)小波成為分析業(yè)務(wù)周期的有力工具。本文接下來就將對這種分析方法做簡要介紹，筆者希望可以通過這篇文章來實現(xiàn)三個主要目標(biāo)：（1）提出與連續(xù)小波變換相關(guān)的理論結(jié)果的總結(jié);（2）描述如何在實踐中實施這種變換;（3）推廣小波分析提供的時頻框架的多重和部分相關(guān)概念。

傅里葉分析法忽略了序列在時域方面的特性，正是由于序列時域信息的缺失，就使得在短暫的時間延遲后序列的結(jié)構(gòu)變化難以判斷。而小波分析法以時間序列的頻譜特性的估計值作為時間的函數(shù)，揭示了時間序列的不同周期分量如何隨時間變化。小波變換的一個主要優(yōu)點就是能夠?qū)r間序列進(jìn)行自然局部分析：小波可以延伸到一個長函數(shù)來測量低頻運動，也可以壓縮成一個短函數(shù)來測量高頻運動。這樣就實現(xiàn)了對序列的時域和頻域同時進(jìn)行分析的目標(biāo)。

那么連續(xù)小波變換的過程到底是怎樣的呢？先是從母波開始，通過簡單的縮放和平移來獲得子波，在這個過程中可以通過控制變量來控制變換的寬度和位置，還可以限制在所選范圍內(nèi)的積分，執(zhí)行原始系列的帶通濾波。據(jù)筆者所知，除了Aguiar-Conraria等人（2008）和Aguiar-Conraria和Soares（2011）沒有人使用反演公式作為帶通濾波器。

小波分析法也分為很多種，其中一種是廣義莫爾斯小波，它能較為精確地分析時域和頻域的變化，但它無法將小波中的分量規(guī)模大小轉(zhuǎn)換為頻率，這是因為峰值頻率與其中心瞬時頻率不同，也不同于能量頻率。對于需要考慮峰值頻率的經(jīng)濟(jì)學(xué)家來說，這是這種小波分析法的明顯缺點。不過根據(jù)筆者考證，世界上還沒有分析方法能做到小波中的分量規(guī)模大小的轉(zhuǎn)換，故這個缺點也沒那么打眼。

小波還可以研究不同時間序列之間的同步性，在這個分析過程中最重要的是選擇包含幅度和相位信息的相應(yīng)變換的小波，因此，能同時顯示幅度和相位的復(fù)數(shù)小波成為最佳選擇。復(fù)數(shù)分析小波不僅能夠捕獲結(jié)構(gòu)斷裂和瞬態(tài)關(guān)系，它們還可以區(qū)分同時發(fā)生但在不同頻率中發(fā)生的不同關(guān)系。

小波變化小波變化的準(zhǔn)確性往往是將小波先歸一化后再來檢驗，在歸一化檢驗方面，目前還沒有一種方法能對小波的相位差進(jìn)行良好的統(tǒng)計檢驗。因此，筆者認(rèn)為索性就不對小波的相位差進(jìn)行顯著性檢驗，而是通過檢查其一致性意義來補(bǔ)充。

小波應(yīng)用極為廣泛，它在對GNP的分析、對股票市場的分析、對油價的分析都發(fā)揮了巨大的作用，以對股票市場的分析為例，我們收集FTSE AllShare（英國），標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)（美國）和DAX（德國）價格指數(shù)的月度數(shù)據(jù)，并評估了三種不同股票市場指數(shù)之間的協(xié)調(diào)性，通過小波一致性和相位差分析來研究兩個時間序列之間的同步。從結(jié)果中發(fā)現(xiàn)看到標(biāo)普指數(shù)和富時指數(shù)以及標(biāo)普指數(shù)和DAX指數(shù)之間的小波相干性，而且很明顯地，紐約和倫敦有更多的地區(qū)具有更高的一致性。如果有讀者關(guān)注1980年和1990年在更高頻段（14年）的幾十年時，這一點尤為明顯。這些結(jié)果也與國外學(xué)著Rua和Nunes（2008）的結(jié)論一致，他們還判斷得到，在過去的四十年中，美國和英國的股票市場具有高度的共同性。

小結(jié)：（1）小波分析能夠輕松捕獲在時間和頻率上不穩(wěn)定的瞬態(tài)周期，這是傳統(tǒng)的傅立葉分析難以提取的;（2）交叉小波可以捕獲不同頻率下兩個時間序列之間的瞬態(tài)關(guān)系;（3）通過更高階的一致性可以檢驗小波分析法的準(zhǔn)確程度。

參考文獻(xiàn)：

[1] Luis Aguiar-Conraria， The Continuous Wavelet Transform A Primer， [C]， 2011

[2] Maria Joana Soares， The Continuous Wavelet Transform moving beyond uni and bivariate analysis， [C]， 2012.2.11