吳揚(yáng)揚(yáng)

摘要：本文主要介紹了多項(xiàng)式曲面法的基本原理，然后分別采用一次、二次、三次多項(xiàng)式曲面法對(duì)具體區(qū)域的高程數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)對(duì)高程擬合的精度進(jìn)行對(duì)比和分析，總結(jié)多項(xiàng)式曲面高程擬合方法的應(yīng)用特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式曲面； 高程擬合；精度

GPS高程擬合是大地水準(zhǔn)面精化的主要內(nèi)容，是大地測(cè)量學(xué)研究的基本內(nèi)容。GPS高程擬合涉及到三類高程系統(tǒng)，分別為正高系統(tǒng)、正常高系統(tǒng)和大地高系統(tǒng)。正高是以大地準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，正常高是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，大地高是以參考橢球面為基準(zhǔn)的高程[1]。我國(guó)通常采用正常高系統(tǒng)。

正常高和大地高之間的差距叫做高程異常。大地高H、正常高h(yuǎn)和高程異常之間的關(guān)系為：

H=h+ε

（1） 本文主要結(jié)合具體算例，分別采用一次、二次、三次多項(xiàng)式曲面法進(jìn)行高程擬合，總結(jié)多項(xiàng)式曲面擬合方法的特點(diǎn)。

1 多項(xiàng)式曲面擬合法

多項(xiàng)式曲面擬合的數(shù)學(xué)模型為：

（2）

式中εi為i點(diǎn)的高程異常值，其坐標(biāo)為（ ）， （ ）為模型參數(shù)。式（2）對(duì)應(yīng)的誤差方程為：

（3）

其中 為已知聯(lián)測(cè)點(diǎn)i的高程異常值。如果有n個(gè)已知點(diǎn)，那么m次多項(xiàng)式可以改寫成矩陣形式：

（4）

其中m，n需滿足條件 ，令 ，在式（3.12）中，

， ，

，根據(jù)最小二乘原理可得：

（5）

根據(jù)式（5）求出模型參數(shù)后即可確定模型式（2），然后根據(jù)式（2）即可求出待求點(diǎn)的高程異常。

有時(shí)實(shí)際計(jì)算中為了保證計(jì)算的穩(wěn)定性，我們采用區(qū)域中心點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，y0）作為原點(diǎn)，用坐標(biāo)差來(lái)代替原始坐標(biāo)參與計(jì)算，即將模型表示成（△xi，△yi）的函數(shù)，其中 ， 。

常用的多項(xiàng)式曲面擬合方法有一次曲面擬合（平面擬合）、二次曲面擬合、三次曲面擬合。

2 算例分析

某區(qū)域大約50km2，該區(qū)域聯(lián)測(cè)了21個(gè)控制點(diǎn)，其正常高和大地高都是通過(guò)觀測(cè)計(jì)算獲得的，那么該區(qū)域的高程異常數(shù)據(jù)可以通過(guò)計(jì)算獲得。采用多項(xiàng)式曲面擬合法（一次，二次，三次）擬合該區(qū)域的控制點(diǎn)，針對(duì)區(qū)域內(nèi)的9個(gè)點(diǎn)，10個(gè)點(diǎn)，11個(gè)點(diǎn)，12個(gè)點(diǎn)，13個(gè)點(diǎn)作為參加擬合的已知的控制點(diǎn)，其余的點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，計(jì)算各自的內(nèi)符合精度和外符合精度，因?yàn)槿吻婺Ｐ偷谋匾獥l件是10個(gè)點(diǎn)，所以三次曲面模型不參與9個(gè)點(diǎn)和10個(gè)點(diǎn)的擬合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。

綜合上述各表可以看出，對(duì)于該區(qū)域來(lái)說(shuō)，相比一次曲面擬合法和二次曲面擬合法，多項(xiàng)式三次曲面擬合法的內(nèi)符合精度和外符合精度較高，高程異常的殘差比較小，擬合效果會(huì)更好。

3結(jié)束語(yǔ)

已知控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)的選擇對(duì)于擬合精度有著一定的影響，從本文算例各表的比較中可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的不同對(duì)內(nèi)符合精度和外符合精度的影響。測(cè)區(qū)中聯(lián)測(cè)GPS水準(zhǔn)點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際測(cè)區(qū)的大小，測(cè)區(qū)內(nèi)控制點(diǎn)的密度情況而決定，但布設(shè)的點(diǎn)數(shù)不能少于選用計(jì)算模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。多項(xiàng)式曲面高程擬合方法根據(jù)區(qū)域的具體情況選擇適合的次數(shù)，高程擬合的精度可以達(dá)到厘米級(jí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉大杰，施一民.全球定位系統(tǒng)（GPS）的原理與數(shù)據(jù)處理.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2006，15～16

[2] 劉誼，汪民主.GPS高程二次曲面擬合及其程序[J].礦山測(cè)量，2004，（2）：12～14

[3] 鄭紅曉，雷偉偉.二次曲面擬合法在區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用[J].鐵道勘察，2008，（2）：24～27

（作者簡(jiǎn)介：沈陽(yáng)市勘察測(cè)繪研究院有限公司）