王慧

摘 要：以經(jīng)典M/M/c排隊(duì)模型為基礎(chǔ)，把非搶占優(yōu)先權(quán)策略與單重休假、不耐煩顧客策略相結(jié)合，構(gòu)建一個(gè)更實(shí)際的模型。研究?jī)深愵櫩蛿?shù)和系統(tǒng)狀態(tài)的三維馬爾科夫鏈。然后運(yùn)用矩陣幾何解的方法，求解的系統(tǒng)分布，進(jìn)而給出主要的系統(tǒng)指標(biāo)表達(dá)式。最后通過(guò)構(gòu)建效益函數(shù)來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，從而得到使系統(tǒng)狀態(tài)處于最優(yōu)的參數(shù)。

關(guān)鍵詞：非搶占優(yōu)先權(quán)；單重休假；不耐煩顧客；矩陣幾何解

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.32.098

0 引言

現(xiàn)實(shí)生活中依據(jù)顧客的優(yōu)先級(jí)別對(duì)顧客進(jìn)行服務(wù)的現(xiàn)象很普遍，例如醫(yī)院的急診病人，銀行的VIP用戶。顧客有優(yōu)先級(jí)別，但服務(wù)不具有搶占性。Haviv討論了一類顧客在進(jìn)入系統(tǒng)后被隨機(jī)賦予不同優(yōu)先級(jí)的排隊(duì)模型。Marks探討了搶占及非搶占優(yōu)先權(quán)M/M/1排隊(duì)模型的穩(wěn)態(tài)分布。Wang等討論了多服務(wù)臺(tái)下的優(yōu)先權(quán)排隊(duì)模型，重點(diǎn)研究了高優(yōu)先級(jí)顧客的等待時(shí)間以及相關(guān)影響因素。劉楠等研究了帶有不耐煩顧客的M/M/m排隊(duì)系統(tǒng)的顧客損失率問(wèn)題。馬占友等分析了帶搶占優(yōu)先權(quán)和同步多重工作休假的M/M/c排隊(duì)模型，分析了模型過(guò)程，并求出相應(yīng)的指標(biāo)。Gao等分析了帶有負(fù)顧客和不耐煩顧客的可變服務(wù)率的可修排隊(duì)系統(tǒng)。王艷玲研究了帶有不耐煩顧客的部分服務(wù)臺(tái)同步單重休假排隊(duì)系統(tǒng)，求得了系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡條件下的穩(wěn)態(tài)分布，條件排隊(duì)顧客數(shù)和顧客條件等待時(shí)間的分布。申利民等研究了只允許部分服務(wù)臺(tái)進(jìn)入休假狀態(tài)的M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)，在同步單休假策略下，給出了穩(wěn)態(tài)指標(biāo)分布，證明了已知服務(wù)臺(tái)全忙條件下的隨機(jī)分解結(jié)果。金順福等構(gòu)建了具有自適應(yīng)服務(wù)率和多重工作休假的二維連續(xù)時(shí)間馬爾科夫隨機(jī)模型，運(yùn)用矩陣幾何解，從系統(tǒng)節(jié)能水平和用戶請(qǐng)求平均延遲方面評(píng)估虛擬機(jī)調(diào)度策略的性能。

1 模型分析

本文主要研究帶不耐煩顧客和單重休假的非搶占優(yōu)先權(quán)M/M/c排隊(duì)模型，系統(tǒng)中顧客分為兩個(gè)級(jí)別，II類顧客較I類顧客有更高的優(yōu)先類別。其中，I類顧客空間容量不限量，II類顧客容量為d（dc）。該模型具體描繪如下：

（1）假設(shè)系統(tǒng)中有兩類顧客，記為I類顧客和II類顧客，且到達(dá)時(shí)間間隔T1、T2分別服從參數(shù)為λ1和λ2（λ1， λ2>0）的指數(shù)分布，即

（2）I類顧客和II類顧客的服務(wù)時(shí)間S1、S2分別服從參數(shù)為μ1和μ2（μ1，μ2>0）的指數(shù)分布，即

（3）當(dāng)服務(wù)完所有顧客且系統(tǒng)中無(wú)顧客等待時(shí)，服務(wù)臺(tái)進(jìn)入一次休假。休假結(jié)束后發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中已有顧客，就開始進(jìn)入忙期，若沒有，服務(wù)員就進(jìn)入閑期，直到有顧客到達(dá)時(shí)，開始一個(gè)新的忙期。休假時(shí)間服指數(shù)分布，參數(shù)為θ，記為V，即

（4）當(dāng)系統(tǒng)處于休假期間或當(dāng)所有服務(wù)臺(tái)被II類顧客占用時(shí)，II類顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均等待時(shí)間會(huì)延長(zhǎng)，故變得不耐煩。規(guī)定II類顧客從進(jìn)入系統(tǒng)到離開的這段等待時(shí)間為W，服從負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)為ν，即

（5）在此排隊(duì)模型中，II類顧客擁有優(yōu)先類別但當(dāng)I類顧客正在服務(wù)時(shí)，II類顧客不得搶占打斷I類顧客的服務(wù)。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)II類顧客大于d（dc）時(shí)，新到的II類顧客消失。

假設(shè)L1（t）、L2（t）分別表示I類顧客和II類顧客在t時(shí)刻的顧客數(shù)，J（t）表示系統(tǒng)服務(wù)狀態(tài)。令

2 性能指標(biāo)

根據(jù)上述分析，我們可以得到I類顧客、II類顧客的平均隊(duì)長(zhǎng)，II類顧客中途退出的概率，系統(tǒng)處于休假的概率等性能指標(biāo)。

（1）I類顧客的平均隊(duì)長(zhǎng)為：

3 數(shù)值例子

在實(shí)際探究中發(fā)現(xiàn)，一般系統(tǒng)指標(biāo)與參數(shù)之間存在某種關(guān)聯(lián)。本節(jié)利用Matlab編寫程序，給出參數(shù)，用圖表描繪系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)性能指標(biāo)的影響，令λ1=6，μ1=4，θ=2，d=10，μ2=2。

4 社會(huì)最優(yōu)策略

在本節(jié)，我們將依據(jù)實(shí)際構(gòu)造社會(huì)效益函數(shù)，來(lái)對(duì)比分析兩類顧客的均衡行為，并給出系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)。我們定義Rs為服務(wù)完一位顧客后的利潤(rùn)，CS服務(wù)一個(gè)顧客的成本，Cb表示一個(gè)II類顧客中途退出對(duì)系統(tǒng)造成的損失。則系統(tǒng)的社會(huì)利益Us可以表示為：

MS=μSRS-λSEWSCS-CbPC

其中EWS=（EL1/λ1+EL2/λ2）/2，λS=λ1+λ2/2，μS=μ1+μ2/2。通過(guò)上式，假設(shè)高優(yōu)先類顧客的潛在服務(wù)率為λ2=ξ，將其最優(yōu)服務(wù)率定為λ2*=argmax0<λ2<ξMS。

圖3 λ2和c對(duì)MS的影響

圖3反映了在μ1=6，μ2=4，Rs=20，CS=2，λ1=6，Cb=40時(shí)，λ2和c對(duì)MS的影響，可知當(dāng)c不變時(shí)，λ2變大時(shí)，MS先增大后減小。當(dāng)λ2固定時(shí)，c越大對(duì)應(yīng)的MS越大。由圖可得，當(dāng)c=3時(shí)，λ2=5.1可以使MS達(dá)到最大；當(dāng)c=4時(shí)，λ2=7.7可以使MS達(dá)到最大；當(dāng)c=5時(shí)，λ2=9.5可使MS達(dá)到最大。

5 結(jié)論

本文研究了帶非搶占優(yōu)先權(quán)的M/M/c排隊(duì)模型，結(jié)合不耐煩顧客和休假策略，建立了更切合實(shí)際的排隊(duì)模型。用矩陣幾何解的方法得到兩類顧客穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)長(zhǎng)、服務(wù)臺(tái)休假的概率等重要性能指標(biāo)。最后使用Matlab刻畫出參數(shù)改變對(duì)性能指標(biāo)的影響，并通過(guò)構(gòu)造社會(huì)效益函數(shù)，得到使系統(tǒng)到達(dá)最優(yōu)的服務(wù)率。

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