季鑫盛　劉寧寧　楊超　王巖松　郭輝

摘要：為改善齒輪傳動(dòng)性能，分析某二級(jí)減速器齒輪的靜強(qiáng)度、載荷分布和傳遞誤差，發(fā)現(xiàn)其低速齒輪副的載荷分布偏載和傳遞誤差相對(duì)較大。選取遺傳算法V2，結(jié)合Romax Designer，對(duì)比分析幾種齒廓修形與齒向修形的組合方式，其中最好的修形方式是將齒向鼓形修形和齒向斜度修形相結(jié)合。采取該方式對(duì)齒輪副進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后低速齒輪副的傳遞誤差比修形前減小92.41%，齒輪載荷分布得到改善，低速齒輪副的單位載荷降低，齒輪副的可靠性和使用壽命均提高。齒輪修形優(yōu)化后的減速器傳動(dòng)更平穩(wěn)，振動(dòng)和噪聲減小。

關(guān)鍵詞：二級(jí)減速器; 齒形修形; 遺傳算法; 齒向鼓形; 齒向斜度

中圖分類號(hào)：U463.212;TP391.72

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

Performance analysis and modification optimization design

on driving motion of twostage reducer gear

JI Xinsheng LIU Ningning YANG Chao WANG Yansong GUO Hui

（School of Mechanical and Automotive Engineering Shanghai University of Engineering Science

Shanghai 201620 China）

Abstract：

To improve the transmission performance of gears the static strength load distribution and transmission error of a twostage reducer are analyzed. It is found that the load distribution imbalance and transmission error of the lowspeed gear pair are large. Several optimization method combinations of involute modification and lead modification are compared and analyzed using genetic algorithm V2 combing with Romax Designer. The results show that the best optimization method is the combination of lead crown modification and lead slope modification. The gear pair is optimized using this combination. The transmission error of the optimized lowspeed gear pair is reduced by 92.41%. The gear load distribution is improved. The unit load of the lowspeed gear pair is reduced. The reliability and service life of the gear pair are improved. The reducer is more stable after the gear modification optimization which can reduce vibration and noise.

Key words：

twostage reducer; gear profile modification; genetic algorithm; lead crown; lead slope

0?引?言

在當(dāng)前機(jī)械領(lǐng)域中，齒輪傳動(dòng)是使用最多、應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)之一。齒輪傳動(dòng)具有傳遞精確、平穩(wěn)性好、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)效率高、瞬時(shí)傳動(dòng)比恒定、傳動(dòng)比大，以及使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)。[12]由于齒輪副實(shí)際生產(chǎn)加工和裝配存在一定誤差，齒輪嚙合受力產(chǎn)生變形，使得齒輪的性能和使用壽命降低。[35]齒輪修形可以提高齒輪嚙合性，減少嚙合沖擊，有效改善載荷分布，提高齒輪的使用壽命和承載極限，降低工作噪聲。[6]齒輪修形優(yōu)化過(guò)程非常復(fù)雜，需要經(jīng)驗(yàn)豐富的設(shè)計(jì)者進(jìn)行大量計(jì)算。

有限元法是比較流行的修形方法之一，很多學(xué)者和工程人員基于有限元法研究齒輪修形工作。劉輝等[7]提出最佳齒面三維修形計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)與之配套的修形設(shè)計(jì)軟件;袁亞洲等[8]將二次曲線與正弦曲線組合為新的優(yōu)化曲線，對(duì)齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化;李瑞亮等[9]根據(jù)Romax Wind載荷分布分析，確定風(fēng)電齒輪修形量，得到理想的修形效果;鄧慶斌等[10]基于Romax Designer對(duì)變速器齒輪展開修形優(yōu)化，

對(duì)比分析齒面接觸疲勞強(qiáng)度、傳遞誤差、齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面載荷分布情況，認(rèn)為微觀幾何參數(shù)對(duì)齒輪壽命和總成NVH具有一定影響;唐進(jìn)元等[11]使用Romax和Kisssoft進(jìn)行齒形優(yōu)化設(shè)計(jì);周金松等[12]將目標(biāo)決策矩陣與Romax相結(jié)合，對(duì)齒輪進(jìn)行修形，可增強(qiáng)齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性。

為改善某二級(jí)齒輪減速器的傳動(dòng)性能，選取遺傳算法V2，結(jié)合Romax Designer，分析比較幾種修形優(yōu)化方式，并選擇最佳優(yōu)化方式進(jìn)行修形。修形后低速齒輪副的傳遞誤差顯著減小，齒輪載荷分布明顯改善。

1?齒輪傳遞誤差和修形優(yōu)化

1.1?傳遞誤差的產(chǎn)生

傳遞誤差是造成齒輪振動(dòng)和噪聲的主要原因，分析傳遞誤差也是齒輪動(dòng)力學(xué)分析的關(guān)鍵內(nèi)容之一。在20世紀(jì)70年代，SMITH首次提出傳遞誤差這一概念。若主動(dòng)輪以絕對(duì)穩(wěn)定的角速度進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，則從動(dòng)輪也應(yīng)以此狀態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng);否則，若從動(dòng)輪位置與設(shè)定值出現(xiàn)偏差，則從動(dòng)輪會(huì)產(chǎn)生位置偏離，即出現(xiàn)傳遞誤差。[13]

在無(wú)制造公差、不考慮齒輪受力變形的理想狀態(tài)下，在嚙合過(guò)程中兩齒輪間接觸點(diǎn)的長(zhǎng)度始終相等，即

θ1r1=θ2r2 （1）

式中：θ1為小齒輪理論轉(zhuǎn)動(dòng)角度;θ2為大齒輪理論轉(zhuǎn)動(dòng)角度;r1為小齒輪半徑;r2為大齒輪半徑。

在實(shí)際情況下，由于存在加工誤差和嚙合齒面剛度變化，導(dǎo)致式（1）左右不相等，即傳遞誤差難以避免。傳遞誤差主要指實(shí)際位移與理論位移之間的差值。大齒輪實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度為

θ′=θ2+Δθ2（2）

式中：Δθ2為大齒輪實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度與理論轉(zhuǎn)動(dòng)角度之間的偏差。

因此，傳遞誤差可表示為

TE=θ′r2-θ1r1（3）

1.2?傳遞誤差的主要影響因素和改善措施

齒輪傳遞誤差主要由齒輪加工、孔與軸配合間隙偏心和軸自身偏心等因素造成。各個(gè)齒輪誤差與傳動(dòng)鏈誤差疊加后可得到整體傳動(dòng)鏈誤差。[1]有效提升齒輪的制造和安裝精度，可以充分提高齒輪的承載性能和動(dòng)力學(xué)性能。一方面，提高制造和安裝精度勢(shì)必要付出更大的成本;另一方面，齒輪運(yùn)行受各種復(fù)雜因素的綜合影響，如相關(guān)零部件的變形、齒輪本身的變形、工作溫度的變化等，單靠提高精度很難消除不利影響。因而，在提高制造安裝精度的同時(shí)，對(duì)齒輪進(jìn)行合理修形，可以有效提高齒輪的承載能力和動(dòng)力性能。[14]

1.3?齒輪修形優(yōu)化

根據(jù)齒輪修形方向的差異，可以將其分為齒廓修形和齒向修形2種。齒廓修形指順著漸開線齒廓方向?qū)嘄X進(jìn)行修形（見圖1），主要包括齒根修形、齒頂?shù)菇?、齒廓斜度修形和齒頂修緣等;齒向修形指順著齒寬方向?qū)嘄X進(jìn)行修整（見圖2），主要包括齒向鼓形修形、齒向斜度修形和齒端修薄等。齒端修薄又可分為齒端拋物線修薄和齒端線性修薄2種。目前，齒向鼓形修形和齒端修薄應(yīng)用最廣泛。

在通常情況下，齒輪修形的目的主要包括以下幾個(gè)方面：（1）減少齒輪嚙入和嚙出時(shí)的沖擊，減少振動(dòng)和噪聲;（2）減少偏載，使齒面受載盡量均勻，提高齒輪的承載能力;（3）改善齒面嚙合的潤(rùn)滑狀態(tài)，充分提升其抗膠合能力;（4）減小齒面相對(duì)滑動(dòng)率和傳遞誤差。

2?遺傳算法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

2.1?遺傳算法的特點(diǎn)

遺傳算法是在進(jìn)化論、群體遺傳學(xué)說(shuō)和物種選擇學(xué)說(shuō)等理論支持下創(chuàng)建而來(lái)的。其核心思想是模擬自然界中的遺傳法則和生物進(jìn)化理論，從而形成過(guò)程探索最佳解的基本算法。[15]

遺傳算法適應(yīng)性強(qiáng)、系統(tǒng)優(yōu)化效果好、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，能在后期的不斷發(fā)展中逐漸成熟。遺傳算法不僅有進(jìn)化計(jì)算的全部特征，也有自身獨(dú)有的特點(diǎn)：（1）探索過(guò)程不受函數(shù)連續(xù)性的約束，也無(wú)須必備優(yōu)化函數(shù)導(dǎo)數(shù)的要求;（2）主要采用群體搜索方式，具有較高的隱含并行性，能夠充分提升整體計(jì)算速度;（3）屬于自適應(yīng)搜索技術(shù)的一種，變異、選擇和交叉等過(guò)程都通過(guò)概率方式進(jìn)行操作，不僅能提升整個(gè)搜索的靈活性，也有助于提升獲得最優(yōu)解的能力;（4）將函數(shù)值作為搜索的目的信息，對(duì)函數(shù)形態(tài)無(wú)任何要求，在擴(kuò)充性與普適性方面表現(xiàn)良好;（5）適合大規(guī)模復(fù)雜性問(wèn)題的優(yōu)化。[16]

2.2?遺傳算法優(yōu)化過(guò)程

優(yōu)化問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)描述為

minF=f（x1，x2，…，xm）

s.t.gj（X）≤0，j=1，2，…，m

hk（X）=0，k=1，2，…，m

xi，L≤xi≤xi，U，i=1，2，…，m

（4）

式中：X={x1 x2 … xn}為設(shè)計(jì)變量;F為目標(biāo)函數(shù);gj（X）為不等式約束;hk（X）為等式約束;下標(biāo)中的L表示下限，U表示上限。

遺傳算法優(yōu)化的基本運(yùn)算過(guò)程[17]見圖3。

（1）初始化。設(shè)置計(jì)數(shù)器t=0、最大進(jìn)化代數(shù)為T，隨機(jī)產(chǎn)生M為初始群體P（0）。

（2）個(gè)體評(píng)價(jià)。計(jì)算群體P（0）的個(gè)體適應(yīng)度。

（3）選擇運(yùn)算。將選擇算子用于群體，選擇操作主要在適應(yīng)度評(píng)估基礎(chǔ)上進(jìn)行。

（4）交叉運(yùn)算。將交叉算子用于群體。

（5）變異運(yùn)算。將變異算子用于群體。

在選擇、交叉、變異等運(yùn)算后，獲得群體P（t）的下代新群體P（t+1）。

（6）終止條件判斷。如果t=T，在此過(guò)程中獲得的最大適應(yīng)度即為最優(yōu)解，計(jì)算終止。

遺傳算法優(yōu)化的參數(shù)設(shè)計(jì)見表1。

3?仿真模型的建立和分析

某減速器傳動(dòng)齒輪屬于斜齒圓柱齒輪，精度等級(jí)為ISO 7級(jí)，基本參數(shù)見表2。

齒輪材料為合金鋼，熱處理方式為表面滲碳后淬火。齒輪運(yùn)行工況為：輸入功率7 kW，輸入轉(zhuǎn)速2 000 r/min，預(yù)期壽命10 000 h，工作溫度70 ℃。運(yùn)用Romax Designer構(gòu)建減速器的三維分析模型，模型包含齒輪、軸和軸承等，見圖4。

對(duì)初始模型進(jìn)行仿真，主要分析靜強(qiáng)度和齒輪箱傳遞誤差。靜強(qiáng)度分析主要有彎曲強(qiáng)度校核、齒面載荷分布和接觸強(qiáng)度校核等。齒輪失效形式多樣，最常見的是輪齒過(guò)度彎曲疲勞而折斷，或者齒面過(guò)度疲勞出現(xiàn)點(diǎn)蝕等。因此，彎曲疲勞強(qiáng)度校核和接觸疲勞強(qiáng)度校核為必要的分析內(nèi)容。優(yōu)化前各齒輪最大應(yīng)力結(jié)果與對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)見表3。低速級(jí)齒輪副的左側(cè)齒面是工作接觸面，高速級(jí)齒輪副的右側(cè)齒面是工作接觸面。高、低速齒輪副的接觸安全系數(shù)均大于臨界值1，完全能夠滿足設(shè)計(jì)需求。此外，高、低速齒輪副彎曲應(yīng)力的安全系數(shù)也較大，說(shuō)明具有較大安全裕量，能夠充分滿足強(qiáng)度要求，無(wú)須進(jìn)行優(yōu)化。

修形優(yōu)化前高、低速齒輪副傳遞誤差分別見圖5和6。高速（輸入）齒輪副順嚙合線方向的最大位移為2.62 μm，最小位移為2.44 μm，最大值與最小值的差為0.18 μm，即傳遞誤差為0.18 μm;同理，低速級(jí)齒輪副的傳遞誤差為1.04 μm。

修形優(yōu)化前低速（輸出）齒輪副的齒面載荷分布見圖7和8。齒面載荷分布出現(xiàn)偏載現(xiàn)象，低速大、小齒輪的最大單位載荷均出現(xiàn)在齒輪同一側(cè)，齒輪副的法向載荷約為215 N·m。為避免齒頂或齒根出現(xiàn)較大的單位載荷，可以通過(guò)修形，使較大的單位載荷位于齒寬的中部。

4?齒輪修形優(yōu)化

對(duì)低速小齒輪運(yùn)用Romax Designer齒輪微觀幾何工具進(jìn)行修形，選擇遺傳算法V2，算法參數(shù)選取參考經(jīng)驗(yàn)值，設(shè)置種群規(guī)模為50、20代進(jìn)化、交叉概率為0.2、變異概率為0.3。

分別以齒廓鼓形與齒廓斜度、齒廓鼓形與齒向斜度、齒向鼓形與齒廓斜度和齒向鼓形與齒向斜度等4種優(yōu)化修形方法，對(duì)低速小齒輪展開優(yōu)化。在同樣工況下，分別對(duì)減速箱傳動(dòng)系統(tǒng)模型進(jìn)行傳遞誤差分析，結(jié)果見表4。由此可知：優(yōu)化方法4修形后低速級(jí)齒輪副的傳遞誤差從修形前的1.040 0減小到0.078 9，減小92.41%。因此，采用優(yōu)化方法4進(jìn)行低速小齒輪修形優(yōu)化，得到三維齒向修形曲面，見圖9。

修形優(yōu)化后，低速齒輪副的傳遞誤差見圖10，齒面接觸載荷分布見圖11和12。

由此可以看出：低速齒輪副最大單位長(zhǎng)度載荷出現(xiàn)在齒輪齒寬的中部，齒輪偏載問(wèn)題獲得顯著改善;修形后單位長(zhǎng)度的載荷約為180 N·m，比優(yōu)化前降低35 N·m，同比降低16.28%。

5?結(jié)?論

結(jié)合Romax Designer對(duì)二級(jí)減速器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行靜強(qiáng)度分析和傳遞誤差分析，發(fā)現(xiàn)低速齒輪副齒面載荷分布偏載和傳動(dòng)誤差相對(duì)較大。以傳遞誤差為優(yōu)化目標(biāo)，選擇遺傳算法V2對(duì)二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行齒輪微觀幾何修形優(yōu)化，得到以下結(jié)論：

（1）對(duì)比分析幾種修形優(yōu)化方式，采取最佳方法對(duì)二級(jí)減速器齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化。修形后，低速齒輪副傳遞誤差降低92.41%，這不僅能充分提升齒輪動(dòng)力學(xué)性能，而且可以有效抑制振動(dòng)和噪聲。

（2）修形前、后低速齒輪副的單位載荷分別為215和180 N·m，載荷分布得到明顯改善。修形后，齒面受力更加均勻，齒輪實(shí)際壽命增大。

（3）與傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)公式法齒輪修形相比，本文采用的修形方法可以快速有效地對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，修形方案可靠有效，為輪齒優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一種方便快捷的方法。

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