趙清海, 張洪信, 蔣榮超, 華青松, 袁 林

(1.青島大學 電動汽車智能化動力集成技術國家地方聯合工程研究中心，山東 青島 266071;2.青島大學 機電工程學院，山東 青島 266071)

以拓撲優(yōu)化技術為代表的先進結構設計方法在結構優(yōu)化領域起到關鍵的引領作用。相較于尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化，拓撲優(yōu)化應用于概念設計階段，層次更高且更為復雜，其優(yōu)化結果為后續(xù)詳細設計提供參考，對結構的性能以及成本等均起著決定性的影響[1]。

傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化是在確定性條件下進行結構設計，然而由于工藝差異、材料非均質等因素導致材料屬性具有不確定性；同時由于制造誤差、裝配偏差等致使幾何尺寸具有不確定性；且由于行駛工況時變性、運行環(huán)境多變性等引起載荷工況具有不確定性。在這些不確定性因素影響下，結構性能勢必會出現較大波動，甚至發(fā)生破壞與失效[2-4]。因此考慮不確定性條件的拓撲優(yōu)化設計方法具有重要的研究價值。

不確定性拓撲優(yōu)化設計通常分為兩種：可靠性拓撲優(yōu)化設計[5-6]與穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計[7-8]?？煽啃酝負鋬?yōu)化側重安全性，獲得滿足約束條件失效概率下的最優(yōu)設計方案；穩(wěn)健拓撲優(yōu)化側重穩(wěn)定性，降低性能對不確定性因素的敏感度。目前，穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計已成為國內外學者研究的熱點之一。依據不確定性變量的數學描述，穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計又可分為兩大類：非概率型與概率型[9-10]。Thore等[11]采用最不利工況法，研究非概率型載荷不確定性對應力約束下結構柔度最小化問題的影響。Zhao等[12]分別利用蒙特卡洛法與矩分解法，進行集中載荷與分布載荷不確定性的穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計。Martinez-Frutos等[13]結合GPU并行計算方法與稀疏網格技術進行滿足載荷隨機場分布特征的穩(wěn)健拓撲優(yōu)化研究。付志方等[14]提出了載荷不確定性條件下周期性結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化數學模型。Holmberg等[15]等提出廣義納什均衡博弈理論進行橢圓概率分布載荷不確定性的穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計。

上述文獻研究大都基于單材料進行穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計，多材料結構較少涉及。然而，隨著3D增材打印技術的出現，多材料結構加工制造成為可能[16-18]。目前多材料拓撲優(yōu)化設計方法分為以下幾類：均勻化/變密度法；相場法；水平集法以及組合優(yōu)化法等。Sigmund等[19]探討基于變密度法的三材料拓撲優(yōu)化數學模型，但構建材料插值模型較為復雜。Wang等[20]建立彩色水平集數學模型，將多材料拓撲優(yōu)化轉為求解Hamilton-Jacobi偏微分方程組，但優(yōu)化結果往往取決于初始設置。在此基礎上，Wang等[21]提出一種多材料水平集拓撲優(yōu)化模型，能夠有效避免“冗余相”的產生，通過提高解的收斂性有效降低初值依賴性。Zhou等[22]提出相場模型，建立基于廣義Cahn-Hilliard型偏微分方程的多材料拓撲優(yōu)化數學模型，計算效率同樣受到考驗。Tavakoli等[23]結合變密度法與交替相激活算法，將多材料拓撲優(yōu)化分解為內層兩相拓撲優(yōu)化子問題模型，外層進行各材料設計變量耦合，導致模型計算量較大。

基于此，本文針對多材料結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化方法進行研究，構建多材料插值模型，并考慮載荷工況的不確定性。采用有序各向同性微結構材料懲罰模型法(Ordered-Solid Isotropic Microstructures with Penalization, Ordered-SIMP)表征多材料插值模型?？紤]載荷不確定性分別為隨機變量與隨機場分布，針對載荷滿足隨機場分布時，通過K-L展開將載荷隨機場離散化為有限個隨機變量加權和，進而采用稀疏網格數值積分方法進行穩(wěn)健設計矩估計，將多材料穩(wěn)健拓撲優(yōu)化轉化為求解多工況加權多目標確定性多材料拓撲優(yōu)化設計問題。

1 多材料結構拓撲優(yōu)化問題描述

在給定位移、載荷邊界條件和體積或質量約束條件下，以獲得結構最佳性能(如：結構剛度最大化、特征值最大化或散熱弱度最小化)為目標函數，尋求多種材料的用量、空洞構型以及在設計空間的最佳材料分布方案，即為多材料拓撲優(yōu)化設計[24]。通過對設計區(qū)域進行網格劃分，多材料拓撲優(yōu)化轉化為獲取網格單元填充何種材料或空洞設計問題，多材料設計區(qū)域示意圖如圖1所示。

圖1 表征3種材料及空洞的設計區(qū)域

2 基于Ordered-SIMP方法的多材料結構插值模型

常用的變密度法材料插值模型有SIMP法與RAMP法[25-26]。SIMP方法引入0-1區(qū)間連續(xù)變化的單元設計變量，建立材料屬性(如：彈性模量、導熱系數)與設計變量之間的非線性函數關系，通過控制設計變量取值決定單元取舍，實現材料最佳布局。SIMP法具有形式簡單，易于實現敏度推導等優(yōu)點。對于單材料設計問題，表達式為

E(xe)=(xe)pE0xe∈[0,1]

(1)

式中:xe為單元相對密度，即設計變量；p為懲罰因子；E為插值后材料彈性模量；E0為實體材料的彈性模量。

對于多材料結構設計，首先將各材料的彈性模量、密度進行歸一化處理，使材料屬性轉化為無量綱的相對值，描述為

(2)

引入比例系數AE與平移系數BE，建立基于Ordered-SIMP的多材料插值模型為

(3)

圖2 基于Ordered-SIMP的多材料插值模型

Fig.2 Multi-material interpolation model based on Ordered-SIMP

3 多材料結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化模型

對于穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計，所涉及變量一般分為確定性變量與不確定性變量。其中，確定性變量x，即為多材料結構拓撲優(yōu)化設計變量；不確定性變量ξ為載荷工況，考慮服從一定的概率分布?；诟怕收撆c數理統(tǒng)計理論，典型的度量結構性能穩(wěn)健性的指標有：均值與標準差。因此，建立多材料結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化數學模型如下

(4)

式中:w為權重因子，w∈[0,1]；K、U與F分別為結構剛度矩陣、位移矢量與結構載荷；ve為單元體積；V0與f分別為設計區(qū)域總體積與體積比；Ne為單元總數；xmax與xmin分別為設計變量的上下限；μc(x,ξ)與σc(x,ξ)分別為結構柔度c(x,ξ)的均值和標準差，分別表示如下

(5)

(6)

式中，p(ξ)為ξ聯合概率密度函數。結構柔度的均值和標準差相對于設計變量xe的敏度分別表示為

(7)

(8)

4 載荷工況隨機場離散化

載荷工況的不確定性可采用隨機變量或隨機場來表征。對于存在空間關聯性的分布載荷滿足高斯隨機場模型時，可通過K-L變換將隨機場轉化為有限個不相關的隨機變量在相應權重下的累加和[27]。

定義連續(xù)空間域Ω的二維載荷隨機場為ξ(θ,χ)，其中，θ為空間坐標，定義為θ=(θ1,θ2)；χ標記為隨機坐標；則隨機場的K-L展開可描述為

(9)

式中，e(θ)為均值；λi與fi(θ)分別為第i階特征值和正交特征向量，滿足Fredholm積分方程

(10)

式中，C(θ1,θ2)為隨機場的協(xié)方差。ui(χ)為互不相關的隨機變量，滿足如下條件

(11)

式中，δij為Kronecker-delta函數，滿足i=j時δij=1，其它為0。獨立正交隨機變量ui(χ)定義為

(12)

當K-L展開應用于隨機場ξ(θ,χ)離散時，定義d維隨機向量ξ(θ)，其元素映射于ξ(θ,χ)中d個觀測值。則載荷隨機場的K-L展開定義為

(13)

式中，e為d個觀測點處隨機場均值；λi與fi分別為相關矩陣C的第i階特征值和正交特征函數，可由下式求解[28]

Cfi=λifi

(14)

式中，相關矩陣C定義為

C=

(15)

在實際問題中，通常用從最大特征值依次降低的前幾階特征值相對應的隨機變量來近似反映隨機過程的主要概率特征，取前M項，設置M<

(16)

式中，當s足夠接近于1時，隨機場可有效的通過降維K-L展開來表征[29-30]。

5 稀疏網格數值積分方法

以Smolyak準則為基礎的稀疏網格方法，其基本思想是利用一維配置點的特殊張量積操作進行線性組合來構建多維求積公式[31-34]。其優(yōu)勢體現在：配置點數目被限制在一定的范圍之內，自動去除對計算精度貢獻較小的節(jié)點。將稀疏網格應用于穩(wěn)健設計進行統(tǒng)計矩估計，基于嵌套分層原理，定義一維層間差分格式為

(17)

對含有d維載荷隨機變量的性能函數c，構建具有l(wèi)-水平(l≥1)精度的稀疏網格數值積分格式為

(18)

式中:?代表張量積運算符；|k|為多維指標之和(|k|=k1+,…,+kd)。對應的稀疏網格配置點集合定義為

(19)

wi=

(20)

稀疏網格中配置點的數目為

(21)

通過調整水平精度l值，可有效提高稀疏網格積分精度?；贜ewton-Cotes積分法則，構建Clenshaw-Curtis型稀疏網格HT∈[-1,1]，定義一維配置點為

(22)

配置點序列為

(23)

相應的權值計算為

(24)

采用稀疏網格數值積分方法進行多材料結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計的目標函數均值和標準差求解，計算表達式如下

(25)

(26)

目標函數均值與標準差相對于設計變量的靈敏度計算為

(27)

(28)

6 多材料結構設計變量更新

目前結構拓撲優(yōu)化設計的數值求解算法分為：優(yōu)化準則法(Optimality Criteria, OC)、數學規(guī)劃算法(Mathematical Programming, MP)與智能優(yōu)化算法。其中，OC算法具有收斂速度快，計算規(guī)模與設計變量的數目無關等優(yōu)點[38-39]。本文選取OC算法進行多材料拓撲優(yōu)化設計變量求解。

OC算法依據庫恩-塔克(Kuhn-Tucker，K-T)條件作為優(yōu)化設計準則[40]，引入拉格朗日乘積因子，建立多材料拓撲優(yōu)化設計變量迭代格式

(29)

式中:k為迭代次數；η為阻尼系數，取值為0.5；move(k)為正的移動限值，定義為

move(k)=max(α(k)move0,mmin)

(30)

(31)

式中，λ1為拉格朗日乘子，通過半分法計算得到。

在優(yōu)化迭代過程中，收斂準則根據設計變量相對變化率來判定，定義為

(32)

7 多材料穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計算法

綜上所述，采用Ordered-SIMP方法進行多材料拓撲優(yōu)化設計變量表征，同時借助K-L變換將載荷隨機場進行離散化，通過稀疏網格數值積分方法進行穩(wěn)健設計矩估計，進而將多材料穩(wěn)健拓撲優(yōu)化轉化為求解一組多材料多工況加權多目標確定性拓撲優(yōu)化設計。在計算過程中，采用OC算法進行設計變量更新，為了獲得良好的優(yōu)化結果，采用傳統(tǒng)的靈敏度過濾方法，抑制數值不穩(wěn)定性問題。多材料結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計，具體步驟描述如下：

步驟1 多材料設計變量x與相關設置初始化。

步驟2 采用K-L變換將載荷隨機場ξ(θ)離散化為有限個隨機變量ui(θ)(i=1,2,…,d)。

步驟4 優(yōu)化循環(huán)開始(loop=1)

步驟5 輸出多材料結構拓撲構型。

8 數值算例

借助二維數值算例驗證所提方法的有效性，算例1與2分別考慮載荷為隨機變量與隨機場分布時，對多材料拓撲優(yōu)化結果的影響。

算例1如圖3所示L型平板結構，設計區(qū)域幾何尺寸為L=60，頂端固定，右上端點位置處受垂直向下的集中載荷F作用，分析情況如下：①確定性載荷工況，幅值為1；②不確定性載荷工況，其中幅值與相位為兩個獨立的隨機變量。相位θ滿足連續(xù)均勻分布，分布區(qū)間為[-3π/4,-π/4]；幅值滿足正態(tài)分布，均值和標準差分別為1和0.30。結構體積分數約束為20%。材料參數設置如表1所示。

圖3 L型平板設計區(qū)域

表1 三種材料參數設置

設計區(qū)域離散為6 400(80×80)個平面四邊形單元，對于穩(wěn)健設計目標柔度的均值與標準差權系數分別設置為0.5。將載荷幅值與相位以及相應的權值通過Clenshaw-Curtis型稀疏網格進行計算，配置點與權值信息如圖4所示。設置不同材料組合方案，(1)方案I：材料A、材料B、材料C與孔洞；(2)方案II：材料A、材料C與孔洞；(3)方案III：材料B、材料C與孔洞；(4)方案IV：材料C與孔洞。確定性設計與穩(wěn)健設計最優(yōu)拓撲材料分布方案如圖5所示。

由計算結果可知，針對不同材料組合方案，所提方法能有效獲得多材料結構確定性設計與穩(wěn)健設計材料分布構型，表明所提方法的有效性。與確定性設計相比較，穩(wěn)健設計獲得不同拓撲構型，特別是在結構左上區(qū)域，出現材料填充增添載荷傳遞路徑，這是由于穩(wěn)健設計所考慮載荷工況的相位發(fā)生變化，結構需承受水平方向的載荷分力作用。因此，針對載荷工況不確定性問題，穩(wěn)健設計所得結果具有更加良好的穩(wěn)定性。

(a) 配置點分布

(b) 權值分布

圖4 稀疏網格配置點與權值信息(d=2；l=4；No=65)

Fig.4 Sparse grid points and weights information (d=2;l=4; No=65)

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(1) 方案I:材料A、材料B、材料C與孔洞

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(2) 方案II：材料A、材料C與孔洞

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(3) 方案III：材料B、材料C與孔洞

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(4) 方案IV：材料C與孔洞

圖5 多材料穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計結果

Fig.5 Results of robust topology optimization for multi-materials

對于多材料結構，不同材料組合條件下各材料分布方案具有差異性，這是由于各材料的EN與ρN值不同導致。以Case I為例，在多材料拓撲優(yōu)化設計過程中，在彈性變形由大到小設計區(qū)域，分別由材料A、B、C與Void依次進行填充，同時結構受到材料體積約束的限制。

多材料結構拓撲優(yōu)化設計目標函數均值與標準差迭代曲線如圖6所示(以Case I為例)。結果表明，所提確定性拓撲優(yōu)化設計與穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計方法具有良好的收斂性，且收斂速度與材料的組合數目無關，這是由于算法的收斂設置。同時，確定性設計得到的結構目標柔度的均值與標準差均高于穩(wěn)健設計所獲得結構柔度的均值與標準差，所提多材料結構穩(wěn)健設計方法具有良好的魯棒性。充分證明了所提方法的有效性。

圖6 柔度均值與標準差隨迭代次數的變化曲線(Case I)

Fig.6 The iterative history of the mean and standard deviation of compliance(Case I)

算例2如圖7所示簡支梁結構，設計空間為120×40的平面四邊形區(qū)域，底部兩端進行位移約束，頂端施加均布載荷，針對以下兩種載荷工況進行探討：①載荷工況滿足確定性條件，幅值為1；②載荷工況滿足不確定性條件，服從隨機場分布，均值為1，標準差為0.3。隨機場的協(xié)方差滿足關系式

(32)

圖7 簡支梁設計空間

將設計空間離散為4 800(120×40)個平面四邊形單元，材料的體積約束設定為0.3。設置三種不同的三材料組合方式，密度與彈性模量的歸一化關系曲線如圖8所示。

對于穩(wěn)健設計目標函數均值與標準差的權重系數分別設置為0.5，對于載荷工況隨機場，采用K-L展開離散化為三個隨機變量，表示為

(33)

式中，μF為載荷均值。借助稀疏網格數值積分方法，獲得三個隨機變量離散配置點空間分布，如圖9所示。確定性拓撲優(yōu)化設計與穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計結果如圖10所示。

由于結構的設計區(qū)域、垂向位移約束以及載荷工況均具有左右對稱特征，因此確定性設計與穩(wěn)健設計拓撲構型具有對稱性。但隨機場載荷條件下的材料分布較確定性載荷條件發(fā)生明顯的變化，主要集中在結構中間下部填充桿狀材料，這是由于穩(wěn)健設計時不同幅值情況下多載荷工況影響相互疊加造成的。當載荷發(fā)生變動時，結構整體承載更加穩(wěn)健，表明穩(wěn)健設計的必要性。同時可得到所提出的多材料拓撲優(yōu)化設計方法能有效獲得多材料分布構型。針對不同的材料組合方案，該模型均具有良好的適用性。

圖8 三種多材料組合方案

圖9 配置點空間(d=3；l=4；No=177)

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(1) 方案I

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(2) 方案 II

(a) 確定性設計

(b) 穩(wěn)健設計

(3) 方案 III

圖10 多材料穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計結果

Fig.10 Results of robust topology optimization for multi-materials

多材料結構拓撲優(yōu)化過程均值與標準差迭代曲線如圖11所示。針對載荷工況確定性與不確定性條件，所提方法均能快速收斂到穩(wěn)定解，表明多材料結構拓撲優(yōu)化方法的有效性。同時可以看出，當考慮目標函數穩(wěn)健性時，結構柔度的均值與標準差一般低于確定性載荷條件下計算獲得的結構柔度均值與標準差，充分證明所提方法的穩(wěn)健性。

(a) 均值

(b) 標準差

Fig.11 The iterative history of the mean and standard deviation of compliance

9 結 論

針對多材料結構、載荷不確定性條件下的穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計問題進行研究。主要結論描述如下：

(1) 基于變密度理論的有序各向同性微結構材料懲罰模型法Ordered-SIMP，給出多材料結構設計變量模型描述?；诖?，搭建考慮目標函數均值與標準差的多材料穩(wěn)健拓撲優(yōu)化數學模型。

(2) 針對載荷工況滿足隨機場分布，采用K-L變換將載荷隨機場離散化為有限個獨立正交隨機變量的加權和，進而借助稀疏網格數值積分方法，將穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計轉化為求解一組多工況加權確定性拓撲優(yōu)化設計問題。

(3) 應用兩個典型算例，驗證算法的有效性和穩(wěn)定性，結果表明：算法設置簡便，且拓撲構型邊界清晰，易于實現多材料結構設計，且能夠快速收斂到穩(wěn)定解。

(4) 相較于確定性設計，穩(wěn)健設計多材料結構構型發(fā)生明顯的變化，材料分布合理，結構具有良好的穩(wěn)健性。所提方法為實現多材料結構穩(wěn)健拓撲優(yōu)化設計提供一種新的思路，具有良好的工程應用價值。