摘要：基于拉格朗日描述的光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法（SPH）擅長(zhǎng)于處理自由面劇烈變化的水流現(xiàn)象，十分適合水利工程中泄洪等問(wèn)題的數(shù)值模擬。然而，SPH方法通常采用均勻分布的粒子對(duì)流體計(jì)算域進(jìn)行空間離散，對(duì)于工程問(wèn)題而言需要的粒子數(shù)量較多、計(jì)算量大。為了突破SPH方法在實(shí)際大規(guī)模計(jì)算中的適用范圍，采用C++和CUDA混合編程的技術(shù)，借助GPU實(shí)現(xiàn)了對(duì)SPH方法的并行加速。通過(guò)WES三圓弧段組成的光滑溢洪道過(guò)流問(wèn)題，驗(yàn)證了GPU加速的SPH方法的計(jì)算精度和可靠性，計(jì)算效率相對(duì)原始的SPH仿真過(guò)程提高了61.8倍。最后，將GPU加速的SPH方法應(yīng)用于水利工程的溢洪道泄流問(wèn)題，分別模擬了光滑溢洪道和臺(tái)階式溢洪道流動(dòng)特性，通過(guò)自由面的演化過(guò)程及泄流沿程截面上的速度分布狀態(tài)，對(duì)比分析了臺(tái)階對(duì)泄流現(xiàn)象的影響。

關(guān)鍵詞：光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法;GPU加速;臺(tái)階式溢洪道;消能率

中圖法分類(lèi)號(hào)：TV512

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.03.038

1研究背景

臺(tái)階式溢洪道是將傳統(tǒng)光滑溢洪道的泄流槽做成臺(tái)階式，水流在流經(jīng)臺(tái)階時(shí)與每級(jí)臺(tái)階均產(chǎn)生劇烈的碰撞，形成水流的旋滾及內(nèi)部的紊動(dòng)剪切作用，促使水流表面破碎，進(jìn)而能顯著增加溢洪道的泄流消能率，有助于減小下游消力池的規(guī)模[1-2]。所以，目前臺(tái)階式溢洪道在國(guó)內(nèi)外許多工程上得以應(yīng)用[3-5]。然而，水流與臺(tái)階之間的劇烈作用將對(duì)溢洪道的安全提出挑戰(zhàn)，有必要對(duì)臺(tái)階式溢洪道的流動(dòng)現(xiàn)象及機(jī)理進(jìn)行系統(tǒng)研究，以確保溢洪設(shè)施的安全。盡管世界各國(guó)水利工程技術(shù)人員對(duì)此流動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了大量的試驗(yàn)研究[6]，但受限于尺度效應(yīng)、測(cè)量手段、經(jīng)費(fèi)等原因，難以獲取流動(dòng)機(jī)理分析所必備的詳細(xì)數(shù)據(jù)。相較之下，采用數(shù)值模擬的手段對(duì)該泄流問(wèn)題進(jìn)行研究能夠得到豐富的可視化結(jié)果，故而深受研究人員的青睞[7-8]。

在既往的研究中，水利工作者多采用以有限體積法為代表的網(wǎng)格類(lèi)方法開(kāi)展溢洪過(guò)程中流場(chǎng)的數(shù)值模擬。此類(lèi)方法雖然通過(guò)與VOF、Level-set等自由面捕捉技術(shù)的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了對(duì)一系列水力學(xué)問(wèn)題的模擬，但仍難以真實(shí)再現(xiàn)自由面的翻卷、破碎、飛濺等劇烈流動(dòng)現(xiàn)象。近年來(lái)具有拉格朗日特性的SPH方法在自由表面流動(dòng)模擬中取得了較大進(jìn)展[9-10]，能夠較為真實(shí)地捕捉自由面的翻卷、破碎等非線性現(xiàn)象，并成功應(yīng)用于入水沖擊[11]、液艙晃蕩[12]、波浪與結(jié)構(gòu)物的相互作用等復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題[13]。由于臺(tái)階式溢洪道的泄流問(wèn)題與此類(lèi)問(wèn)題具有相似的特性，例如水流的翻滾、碰撞等，故而本文嘗試采用SPH方法對(duì)臺(tái)階式溢洪道的泄洪過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬。

傳統(tǒng)的SPH方法是通過(guò)粒子的運(yùn)動(dòng)來(lái)表示流動(dòng)現(xiàn)象，為了精確模擬強(qiáng)非線性變化的自由面，需要采用大量的粒子對(duì)流體空間進(jìn)行離散，同時(shí)需要采用較小的計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，故而對(duì)計(jì)算資源的消耗大，計(jì)算效率通常不高。近年來(lái)，GPU（GraphicsProcessingUnit，圖形處理器）硬件的計(jì)算核心數(shù)和存儲(chǔ)能力迅速提升，國(guó)外一些學(xué)者逐步采用基于GPU加速的技術(shù)來(lái)提高SPH方法的計(jì)算效率。例如，Crespo等[14]，Xia和Liang[15]，Mokos等[16]分別采用CUDA語(yǔ)言編寫(xiě)程序調(diào)用GPU硬件環(huán)境實(shí)現(xiàn)對(duì)SPH方法的加速計(jì)算，這些研究成果表明GPU對(duì)SPH方法計(jì)算效率的提高有明顯的幫助。然而，國(guó)內(nèi)在SPH方法中采用GPU加速技術(shù)的相關(guān)研究較少，本文將在此方面作初步嘗試，并應(yīng)用于水利工程中的溢洪道流動(dòng)問(wèn)題研究。

2SPH數(shù)值方法

2.1控制方程

本文基于拉格朗日描述的SPH方法進(jìn)行流場(chǎng)數(shù)值模擬.相應(yīng)流體控制方程為

公式

式中，ρ為流體密度，P為壓力，V為速度向量，g為重力加速度向量，y是運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)。式（1）和式（2）的時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)是以物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的形式給出的。在粒子法中，粒子的位置和其他物理量都是基于拉格朗日描述法表達(dá)的，因此不需要計(jì)算對(duì)流項(xiàng)。

2.2粒子作用模型

2.2.1核函數(shù)

在SPH方法中，需要借助核函數(shù)對(duì)空間任意場(chǎng)函數(shù)f（r）進(jìn)行近似積分表示：

公式

式中，r為任意粒子的空間矢量，r'為目標(biāo)粒子的空間矢量，Ω為r的積分域，h為積分域的光滑半徑，W（r-r'，h）為核函數(shù)。本文采用的核函數(shù)表達(dá)式如下：

公式

式中，q=r/h。

2.2.2密度模型

在SPH方法中，流體是弱可壓的，流體粒子的密度可通過(guò)其作用域內(nèi)所有粒子的密度作加權(quán)平均得到，這里的加權(quán)函數(shù)即為，上述核函數(shù)：

公式

式中，pi為粒子i的密度，mj為粒子j的質(zhì)量，rij為粒子i與j之間的距離。

2.2.3梯度模型

由于控制方程中存在壓力梯度項(xiàng)，本文SPH方法采用粒子模型形式的梯度表達(dá)式如下

公式

式中，Pi為粒子i的壓力。

2.3狀態(tài)方程

為實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)壓力的求解，本文SPH方法采用了描述弱可壓流體的狀態(tài)方程建立粒子壓力與流體密度間的關(guān)系：

公式

式中，ρo為參考密度，常數(shù)γ=7，系數(shù)B=ρoc2/γ，聲速c通常取流場(chǎng)最大速度的10倍。

3GPU加速在SPH方法中的實(shí)現(xiàn)

GPU在設(shè)計(jì)之初是為了滿足具有高度并行化特征的圖像處理工作，相較于CPU具備更多的計(jì)算核心。例如，普通的臺(tái)式電腦配備的CPU擁有8個(gè)計(jì)算核心，而配備的圖形顯卡則擁有，上千個(gè)計(jì)算核心，這些計(jì)算核心能并發(fā)執(zhí)行較多的任務(wù)，從而能使一臺(tái)普通電腦完成一臺(tái)高性能工作站的計(jì)算任務(wù)。

為了充分利用GPU設(shè)備的并行計(jì)算能力，需要對(duì)SPH計(jì)算程序進(jìn)行改進(jìn)，使之能夠同時(shí)調(diào)用CPU和GPU的異構(gòu)硬件資源。本文在SPH程序的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，采用C++語(yǔ)言編寫(xiě)主流程，采用CUDA語(yǔ)言（ComputeUnifiedDeviceArchitecture，通用并行計(jì)算架構(gòu)）調(diào)用GPU設(shè)備并發(fā)執(zhí)行計(jì)算任務(wù)，改造后的SPH計(jì)算流程如圖1所示。對(duì)于SPH方法，鄰居粒子的搜尋和粒子間相互作用力的計(jì)算是整個(gè)流程中計(jì)算量最大的模塊部分，由于該部分是顯示計(jì)算過(guò)程，非常適合采用并發(fā)任務(wù)執(zhí)行策略，故而本文將該部分計(jì)算任務(wù)分配于GPU設(shè)備端。同時(shí)，為了減少GPU設(shè)備和CPU之間數(shù)據(jù)通信帶來(lái)的計(jì)算延遲現(xiàn)象，本文將每個(gè)時(shí)間步內(nèi)粒子位置的更新任務(wù)同樣分配于GPU設(shè)備端。

4GPU加速的SPH方法數(shù)值驗(yàn)證

在采用SPH方法數(shù)值模擬臺(tái)階式溢洪道的流動(dòng)問(wèn)題之前，首先采用GPU加速對(duì)該方法的精度和效率進(jìn)行驗(yàn)證。本節(jié)對(duì)WES曲線（Xxl.85=2.0Hd0.85Y）表達(dá)的三圓弧光滑式溢流道的過(guò)流問(wèn)題進(jìn)行模擬，并基于Michels的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)本文GPU加速的SPH方法進(jìn)行驗(yàn)證[17]。

本文采用的WES光滑式溢流道模型如圖2所示。仿真時(shí)水的密度ρ=1000kg/m3，流體的運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)v=1.01x10-6m2/s，重力加速度g=9.81m/s2。采用粒子對(duì)圖中模型進(jìn)行空間離散，初始粒子間距l(xiāng)為0.04m，模型粒子總數(shù)為42.15萬(wàn)，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為0.0005s。本文的仿真工作均采用表1所示的計(jì)算環(huán)境。

圖3為利用SPH方法模擬得到的溢洪道上各水平位置處流體粒子的最大速度與實(shí)驗(yàn)測(cè)定流速的對(duì)比。其中，L表示相對(duì)壩頂?shù)乃骄嚯x，h為水面相對(duì)溢洪道的垂直距離。由圖可知，在整個(gè)溢洪道上，SPH方法得到的流速與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。基于此，SPH方法亦能夠獲得與實(shí)驗(yàn)一致的溢流水面形態(tài)，二者結(jié)果的對(duì)比如圖4所示。通過(guò)本文結(jié)果與Michels實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可知，SPH方法在處理此類(lèi)自由面問(wèn)題時(shí)具有較好的可靠性，可進(jìn)一步應(yīng)用于臺(tái)階式溢洪道流動(dòng)等水利問(wèn)題的數(shù)值模擬研究

本文分別在不調(diào)用和調(diào)用GPU加速的工況下開(kāi)展仿真模擬，兩種工況下計(jì)算5000個(gè)時(shí)間步的機(jī)器運(yùn)行時(shí)間如圖5所示，在SPH方法中采用GPU加速技術(shù)的計(jì)算效率相對(duì)無(wú)加速時(shí)提高了61.8倍。由此可見(jiàn)，在SPH方法不但能夠?qū)σ绾榈佬沽鲉?wèn)題進(jìn)行精確地模擬，通過(guò)結(jié)合GPU加速技術(shù)，還能夠顯著提高該方法的數(shù)值仿真效率，有助于SPH方法在工程問(wèn)題中的推廣應(yīng)用。

5臺(tái)階式溢洪道泄流問(wèn)題數(shù)值模擬

截至目前，水利工作者對(duì)溢洪道的泄流問(wèn)題開(kāi)展了較多的數(shù)值研究，但受到計(jì)算規(guī)模和效率的限制。采用SPH方法對(duì)該問(wèn)題研究時(shí)，通常在蓄水池處分配了較小的計(jì)算域，難以保持泄洪流動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定性。本文采用的GPU加速技術(shù)有助于提高SPH方法的計(jì)算規(guī)模和效率，故而可采用較寬的計(jì)算域?qū)υ撔沽鲉?wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬。

5.1計(jì)算模型及工況

為對(duì)比分析溢洪道泄流水動(dòng)力特性，本文分別開(kāi)展了光滑溢洪道和臺(tái)階式溢洪道的泄流數(shù)值模擬研究，兩種溢洪道的斜升角相同，二者幾何模型尺寸如圖6所示。模型左側(cè)為蓄水池，中部為過(guò)渡段及溢洪道，右側(cè)為出流區(qū)域，其中臺(tái)階式溢洪道共設(shè)置了10個(gè)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)和高分別為0.1m和0.05m。采用初始間距為0.005m的粒子對(duì)圖6幾何模型進(jìn)行空間離散，SPH方法的計(jì)算工況參數(shù)為：流體密度為1000kg/m3，運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)為1.01x10-6m2/s;粒子間距為0.0025m，粒子總數(shù)為275529，光滑長(zhǎng)度系數(shù)為1.0，時(shí)間步長(zhǎng)為0.00005s，模擬時(shí)長(zhǎng)為6s。

5.2數(shù)值結(jié)果及分析

本文首先采用GPU加速的SPH方法對(duì)光滑式溢洪道的溢流過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，并與無(wú)加速時(shí)的計(jì)算速度進(jìn)行了對(duì)比，兩者運(yùn)行的硬件環(huán)境如表1所示，運(yùn)行時(shí)間的對(duì)比如圖7所示。由該圖可見(jiàn)，在GPU加速狀態(tài)下對(duì)27.5萬(wàn)粒子數(shù)規(guī)模的溢流問(wèn)題進(jìn)行仿真，計(jì)算運(yùn)行時(shí)間相較無(wú)加速工況下單個(gè)CPU核心計(jì)算時(shí)間提高了73倍。

圖8為臺(tái)階式溢洪道和光滑溢洪道的自由水面演化過(guò)程，包括開(kāi)始泄流的瞬間、水流與溢洪道相互作用的初始階段、水流在溢洪道上的穩(wěn)定泄流階段等。由圖8可見(jiàn)，泄流開(kāi)始時(shí)刻（t=0.5s），兩種溢洪道的流態(tài)高度相似，上游水平堰頂?shù)乃罹鶠?.11m，水頭越過(guò)水平堰頂?shù)挠叶讼蛞绾榈佬沽?。在t=1.0s時(shí)刻，光滑溢洪道上的水流表面較為光順;在臺(tái)階式溢洪道上，水流因與臺(tái)階的碰撞而產(chǎn)生明顯的翻卷、融合現(xiàn)象，自由面的形狀粗糙。在t=2.0s和t=3.6s時(shí)，光滑溢洪道上水流的速度和自由面形態(tài)基本相似，泄流過(guò)程中溢洪道的底部水流速度相對(duì)，上部明顯增高，達(dá)到3.5m/s。該階段的泄流過(guò)程得到充分發(fā)展，流動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定。在t=2.0s時(shí)刻，更多的水流粒子沖擊到臺(tái)階上，并因局部的水流翻卷而形成大量的粒子聚集。在t=3.6s時(shí)刻，臺(tái)階式溢洪道上水流狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并形成水流截面上的流速分層現(xiàn)象，即臺(tái)階近壁面上流速較低，水流表面處速度較高，但溢洪道上水流最大速度為3.29m/s，低于光滑溢洪道上的流動(dòng)速度。

此外，在流動(dòng)的穩(wěn)定階段，臺(tái)階式溢洪道截面，上水面厚度相對(duì)光滑溢洪道上水面厚度較厚。通過(guò)兩種溢洪道上流動(dòng)狀態(tài)的定性對(duì)比可知，盡管本文模擬的溢洪道泄流高度較小，仍可觀測(cè)到階梯式溢洪道具有較好的泄洪消能作用。

圖9通過(guò)矢量圖的形式展示了臺(tái)階式溢洪道上流體粒子的運(yùn)動(dòng)速度?？梢?jiàn)，在各級(jí)臺(tái)階近壁面處均出現(xiàn)了渦旋。由圖10的局部放大矢量圖可見(jiàn)，臺(tái)階的整個(gè)夾角區(qū)域均由流體渦旋占據(jù)，夾角區(qū)域外側(cè)與光滑溢洪道上流動(dòng)狀態(tài)相似，流體質(zhì)點(diǎn)以滑移流的方式向下游運(yùn)動(dòng)，但在臺(tái)階，上滑移流和渦旋之間存在動(dòng)量的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而導(dǎo)致水流動(dòng)能的沿程耗散。

圖11為兩種溢洪道泄流的沿程水深對(duì)比。由圖可見(jiàn)，兩種溢洪道上游泄流段水深高度基本一致，均約為0.081m，表明其來(lái)流狀態(tài)相同。隨著向下游的泄流過(guò)程，溢洪道上的水深逐步降低。其中，光滑溢洪道上的水深沿程降低更為迅速，在x=0.9m處水深高度約為0.0397m;臺(tái)階式溢洪道上的水深沿程降低幅度相對(duì)較小，在x=0.9m處水深高度約為0.05426m。

圖12～13分別展示了光滑溢洪道和臺(tái)階式溢洪道不同沿程截面處沿水深方向的流體粒子速度分布。其中，光滑溢洪道上沿程流速逐步增加，各截面處在水深方向上近似保持相對(duì)恒定的流速，而臺(tái)階式溢洪道上沿程流速以及各截面沿水深方向上的流速均逐步增加。溢洪道的上半段（例如x=0.1～0.3m段），近臺(tái)階處流速較低，在水深d=0.02m處流速增大至較大值，水深d>0.02m處流速近似恒定。溢洪道的下半段（例如x=0.7～0.9m段），雖然近臺(tái)階處流速較低，但在較深的水深處（d>0.04m）流速才接近穩(wěn)定，這表明在溢洪道的下半段臺(tái)階內(nèi)的渦旋對(duì)水深的影響范圍更大。

為定量比較臺(tái)階式溢洪道的泄洪消能效果，本文通過(guò)消能率對(duì)兩種溢洪道的消能效果進(jìn)行比較。消能率η的計(jì)算公式如下：

公式

式中，E為溢洪道壩頂I-I截面處水流總能量，由流經(jīng)該截面處的流體粒子動(dòng)能與勢(shì)能之和組成;Ez為溢洪道壩下II-II截面處水流總能量。

表2對(duì)兩種溢洪道的消能率進(jìn)行了對(duì)比，本文采用的臺(tái)階式溢洪道雖然具有較小的壩體高度并設(shè)置了較少的臺(tái)階數(shù)量，但消能率仍達(dá)到了38.79%，是光滑式溢洪道的14.01%的消能率的2.77倍。美國(guó)Rice等[18]研究結(jié)論表明，臺(tái)階式溢洪道的能量損失是光滑溢洪道的能量損失的2～3倍，本文結(jié)果與該結(jié)論基本一致。

6結(jié)語(yǔ)

采用結(jié)合了GPU加速技術(shù)的SPH方法對(duì)臺(tái)階式溢洪道的泄流過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值研究。首先，通過(guò)對(duì)WES三圓弧段組成的光滑溢洪道標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了SPH方法的精度和效率。數(shù)值結(jié)果表明本文GPU加速的SPH方法獲得了與已發(fā)表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合的結(jié)果，同時(shí)計(jì)算效率相對(duì)原始的SPH仿真過(guò)程提高了61.8倍。隨后，對(duì)光滑溢洪道的泄流過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬。在GPU加速狀態(tài)下對(duì)27.5萬(wàn)粒子數(shù)規(guī)模的泄流問(wèn)題進(jìn)行仿真，計(jì)算運(yùn)行時(shí)間相較無(wú)加速工況下單個(gè)CPU核心計(jì)算時(shí)間提高了73倍，粒子數(shù)較多時(shí)GPU加速技術(shù)能夠更有效地提高SPH方法的計(jì)算效率。最后，對(duì)臺(tái)階式溢洪道的泄流過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值研究，并與光滑溢洪道的流動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了對(duì)比分析。通過(guò)自由面的演化過(guò)程可見(jiàn)，SPH方法能夠成功捕獲泄流過(guò)程水頭與臺(tái)階的沖擊、臺(tái)階上水體的翻卷等現(xiàn)象。通過(guò)水粒子的速度矢量圖可見(jiàn)，泄流過(guò)程中臺(tái)階上存在明顯的渦旋，渦旋和臺(tái)階外側(cè)滑移流之間的動(dòng)量交換使得泄流過(guò)程水流動(dòng)能的耗散。對(duì)比了兩種溢洪道的沿程水深變化以及各沿程截面處的流速分布情況。兩種溢洪道沿程水深均有所降低，但臺(tái)階式溢洪道的降低幅度較小。總之，本文作為初步嘗試，實(shí)現(xiàn)了SPH方法在臺(tái)階式溢洪道流動(dòng)問(wèn)題的應(yīng)用，并展示了GPU加速技術(shù)對(duì)于SPH方法計(jì)算速度提高的明顯效果。

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引用本文：王巍.GPU加速的SPH方法在溢洪道水流模擬中的應(yīng)用[J].人民長(zhǎng)江，2019，50（3）：216-221.

Application of GPU-based accelerated SPH method in flow simulation of spillway

WANG Wei

（Jilin Province Water Resource and Hydropouver Consultative Company，Changchun 130021，China）

Abstract：Smoothed particle hydrodynamics（SPH），a smooth particle dynamics method based on Lagrangian description isgood at numerical simulation of flood discharge with drastic changed free surface.However，the SPH method usually uses uniformly distributed particles to discretize the computational domain of the fluid in space.For engineering problems，the particlesnumbers and calculation complexity are large.In order to break through the application scope of SPH method in practical large-scale computing issues，the parallel acceleration of SPH method was realized by the mixed programming technology ofC++ andCUDA and the help of GPU hardware equipment.Through calculating the flow passing issue of smooth spillway composed of threearc segments of WES，the accuracy and reliability of GPU-based SPH method in this paper are verified.The computational efficiency is 61.8 times higher than that of the original SPH simulation process.Finally，the GPU-based accelerated SPH methodwas applied to the discharge simulation of hydraulic engineering，the flow characteristics of smooth spillway and stepped spillwaywere simulated respectively.By observing the variation process of the free surface and the velocity distribution along the dischargesection，the effect of the step on the discharge phenomenon is analyzed.

Key words：smoothed particle hydrodynamics;GPU acceleration;stepped spillway;energy dissipation ratio