景 云， 劉應(yīng)科， 郭思冶

(北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院， 北京 100044)

中國國家鐵路集團(tuán)有限公司逐漸試行“一日一價(jià)”的定價(jià)策略。未來鐵路定價(jià)應(yīng)對(duì)整個(gè)運(yùn)輸市場進(jìn)行研究，依據(jù)市場的變化動(dòng)態(tài)調(diào)整票價(jià)，使鐵路定價(jià)策略更加符合市場規(guī)律。

旅客的出行選擇行為分析是了解運(yùn)輸市場最重要的手段，國內(nèi)外眾多學(xué)者采用應(yīng)用最廣泛的Logit模型研究出行行為。Jong等[1]建立Logit模型分析荷蘭汽車和鐵路旅客的規(guī)定偏好數(shù)據(jù)。張航等[2]建立高速鐵路旅客出行時(shí)間選擇Logit模型，對(duì)合理分配高速鐵路運(yùn)輸能力、提高綜合收益、滿足旅客運(yùn)輸需求進(jìn)行研究。但Logit模型對(duì)出行者有限理性考慮不足。

Schmidt等[3]提出第三代前景理論(Third-generation Prospect Theory，PT3)。楊志勇等[4]建立了基于前景理論的動(dòng)態(tài)路徑選擇模型，以出行者的到達(dá)時(shí)刻為參考點(diǎn)，利用貝葉斯更新規(guī)則更新行程時(shí)間，再結(jié)合個(gè)人主觀概率，對(duì)參考點(diǎn)再次進(jìn)行更新和調(diào)整。Luca等[5]應(yīng)用累積前景理論模擬出行者在危險(xiǎn)路徑選擇時(shí)的行為，并對(duì)駕駛模擬器和出行模擬器收集的靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。第三代前景理論計(jì)算較為復(fù)雜。

近年來國內(nèi)外學(xué)者將動(dòng)態(tài)定價(jià)策略應(yīng)用在交通領(lǐng)域。羅利等[6]研究了連續(xù)時(shí)間下兩個(gè)平行航班聯(lián)合定價(jià)問題，利用隨機(jī)控制理論建立模型，制定了動(dòng)態(tài)最優(yōu)定價(jià)策略及其時(shí)間閾值。Zhang等[7]以航空收益管理問題為背景，分析旅客的選擇行為，描述旅客的選擇概率，構(gòu)建針對(duì)航空容量控制問題的模型與算法，為航空公司提出一套容量控制策略。李博等[8]在分析旅客時(shí)間敏感性、價(jià)格敏感性及出發(fā)時(shí)段偏好的基礎(chǔ)上，將旅客進(jìn)行細(xì)分，以兩列列車整體期望收益最大為目標(biāo)，建立離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)規(guī)劃聯(lián)合定價(jià)模型，為高速鐵路多列車動(dòng)態(tài)定價(jià)提供理論依據(jù)。錢丙益等[9]對(duì)我國鐵路利用動(dòng)態(tài)定價(jià)進(jìn)行了理論探討，最大化客運(yùn)專線期望收益。

本文將第三代前景理論與Logit模型結(jié)合用于分析乘客出行行為，將隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃用于鐵路動(dòng)態(tài)定價(jià)策略，依據(jù)最大凹向包絡(luò)理論提出一種求解算法。

1 基于前景理論的出行方式選擇概率函數(shù)

1.1 第三代前景理論基礎(chǔ)

在前景理論中，個(gè)體決策前會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)階段,分別是編輯階段和評(píng)價(jià)階段，其中評(píng)價(jià)階段的價(jià)值函數(shù)為

( 1 )

式中：ΔL為結(jié)果相對(duì)于參考點(diǎn)的收益或損失，參考點(diǎn)是指第三代前景理論中，在計(jì)算前景值時(shí)，某一類人群對(duì)于一種因素的心理預(yù)期值；L≥0表示收益，L<0表示損失；α、β為風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)；λ為損失規(guī)避系數(shù)，反映決策者對(duì)待損失規(guī)避的程度。

1.2 基于前景理論的感知效用函數(shù)

本文重點(diǎn)研究時(shí)間、費(fèi)用、舒適度3個(gè)因素。將鐵路旅客分為n種類型，用集合C={C1,C2,…,Cn}表示，j=1，2，…，n，旅客的消費(fèi)水平按照j升序排列。

根據(jù)Kanhenman等[10]提出的前景值計(jì)算公式，旅客在時(shí)間因素上的前景值為

?i=1,2,…,m?j=1,2,…,n

( 2 )

旅客的舒適度前景值為

?i=1,2,…,m?j=1,2,…,n

( 3 )

旅客費(fèi)用因素的前景值為

?i=1,2,…,mj=1,2,…,n

( 4 )

對(duì)旅客而言，不同的影響因素的重要程度不同，因此權(quán)重也不同，旅客的感知效用值應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)化后的前景值乘以其權(quán)重，表達(dá)式為

?i=1,2,…,m?j=1,2,…,n

( 5 )

列車類型Ai對(duì)第j種類型旅客的綜合感知效用Vij為

( 6 )

1.3 有限理性Logit選擇概率函數(shù)

根據(jù)Logit模型的效用函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合第三代前景理論得到的效用值，旅客的總感知效用Uij可以表達(dá)為

Uij=Vij+εij

( 7 )

式中：εij為不可感知、難以量化的效用部分及計(jì)量誤差造成的影響。

( 8 )

式中：μ為比例參數(shù)，可通過市場問卷調(diào)查得到，本文取μ=10。

假設(shè)共有m個(gè)列車類型選項(xiàng)，將航空記為第m+1種類型，其票價(jià)固定不變。用V(m+1)j表示選擇航空出行的旅客的可觀測效用感知部分，m+1個(gè)概率函數(shù)相加之和等于1，即

P1j+P2j+…+Pmj+P(m+1)j=1

( 9 )

因此，第j種類型的旅客選擇列車類型Ai的概率為

(10)

在整個(gè)客運(yùn)市場中，所有類型的旅客對(duì)列車類型Ai的選擇概率為

(11)

式中：cj為鐵路客運(yùn)市場中每種類型旅客占總鐵路旅客的比例，當(dāng)客運(yùn)市場中任意列車類型Ai的價(jià)格提高，都會(huì)導(dǎo)致其選擇概率降低。

2 多鐵路客運(yùn)列車類型聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)策略模型

2.1 問題分析

假設(shè)在預(yù)售期內(nèi)有若干名乘客進(jìn)行票價(jià)購買，在對(duì)m種列車進(jìn)行聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)時(shí)，根據(jù)模型計(jì)算出每種列車的閾值，當(dāng)?shù)陀陂撝禃r(shí)，列車Ai的票價(jià)按照既定的折扣價(jià)進(jìn)行銷售，當(dāng)高于閾值時(shí)，列車Ai剩余車票恢復(fù)原價(jià)進(jìn)行銷售。

2.2 聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)策略模型構(gòu)建

(12)

式中：s為t時(shí)刻的座位數(shù)；γ為售出票數(shù)；xi為相應(yīng)的票價(jià)；vt-1(s-γ)為在下一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的期望收益值。

根據(jù)bellman方程[13]，t時(shí)刻列車Ai的座位數(shù)剩余為s，從該時(shí)刻開始至售票結(jié)束，鐵路部門的最大期望收益為

(13)

式中：rs為可選票價(jià)的集合。

無論座位數(shù)剩余多少，當(dāng)銷售時(shí)間截止時(shí)，其vt(s)均為零，即當(dāng)t=0時(shí)，最大期望收益v0(s)=0；當(dāng)座位數(shù)變?yōu)?，即表示所有車票售出完畢，此時(shí)最大期望收益也為零，即當(dāng)s=0時(shí)，最大期望收益vt(s)=0。

當(dāng)只針對(duì)某類型的列車時(shí)，該列車類型的最大期望收益wt(s)是整個(gè)鐵路運(yùn)營部門最大期望收益,計(jì)算為

(14)

式中：r(θ)為該類型列車的票價(jià)集合；θ為該類型列車的總座位數(shù)。

同樣，上式約束條件與式(13)約束條件相同。

2.3 聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)策略模型求解

結(jié)合式(11)的選擇概率，有如下的關(guān)系式

(15)

期望收益vt(s)和旅客對(duì)各列車類型Ai的選擇概率Pt(xi)近似表達(dá)為

(16)

式中：0≤β≤1。

(17)

(18)

文獻(xiàn)[14]中說明最大凹向包絡(luò)理論可應(yīng)用于時(shí)間連續(xù)、單路段、多級(jí)票價(jià)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)定價(jià)問題，即最優(yōu)價(jià)格僅能從給定價(jià)格集的子集中取得，應(yīng)用最大凹向包絡(luò)計(jì)算出來的最優(yōu)定價(jià)和最大期望收益值。對(duì)于n種列車，每種列車有兩個(gè)價(jià)格，可選方案有n2種，將方案處理后放于集合中，根據(jù)最大凹向包絡(luò)原理的定義，將價(jià)格方案集進(jìn)行精簡之后的子集仍然包含最優(yōu)價(jià)格集，即最優(yōu)價(jià)格子集并沒有發(fā)生變化。因此，應(yīng)用最大凹向包絡(luò)計(jì)算出來的最優(yōu)定價(jià)和最大期望收益值就是全局最優(yōu)值。

本文基于此理論性質(zhì)，在得到市場中旅客的選擇概率后，對(duì)聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)策略模型進(jìn)行近似求解，其計(jì)算流程為

Step1將不同價(jià)位對(duì)應(yīng)的閾值進(jìn)行遍歷，結(jié)合旅客到達(dá)概率分布，依次仿真出鐵路運(yùn)營部門收入，將收益值最大的閾值作為單列車的最優(yōu)閾值策略。

3 實(shí)例分析

3.1 北京—上海交通概況及動(dòng)態(tài)票價(jià)分析

通過市場調(diào)查可以得知，京滬線日?？土飨鄬?duì)比較平穩(wěn)。假設(shè)在某正常一天的預(yù)售期內(nèi)，一共有20 000個(gè)乘客進(jìn)行購買車票的行為。根據(jù)市場調(diào)查所得的結(jié)果，選取了京滬線上3種最常見的列車，各種運(yùn)輸方式的信息統(tǒng)計(jì)見表1。

表1 4種運(yùn)輸方式的信息統(tǒng)計(jì)

表1中，列車最高價(jià)為二等座票價(jià)，每種列車有兩種價(jià)格，例如，復(fù)興號(hào)有448元和560元兩個(gè)價(jià)格。航空的票價(jià)是在原價(jià)的基礎(chǔ)上的5折左右，本文取600元，本文將只針對(duì)鐵路列車的二等座進(jìn)行折扣分析，折扣為8折。

針對(duì)京滬線的動(dòng)態(tài)票價(jià)定價(jià)模型，變量如下

A={A1,A2,A3}表示在京滬線上存在3種鐵路客運(yùn)方式，其中A1為復(fù)興號(hào)高鐵列車，A2為和諧號(hào)高鐵列車，A3為動(dòng)車組，A4為航空客運(yùn)整體。

C={C1,C2,C3}表示在京滬線上存在3種消費(fèi)程度的旅客，其中C1為高消費(fèi)旅客，C2為中端消費(fèi)旅客，C3為低端消費(fèi)旅客。

c={c1,c2,c3}表示不同消費(fèi)程度的旅客的比例，其中c1為高消費(fèi)旅客的比例，c2為中消費(fèi)旅客的比例，c3為低消費(fèi)旅客的比例。

X={x1,x2,x3}表示3種客運(yùn)列車的不同價(jià)格策略，其中xi為某列車Ai的票價(jià)。

T={t1,t2,t3}表示3種列車的前景理論中的時(shí)間因素，其中ti為某列車Ai的時(shí)間因素。

G={g1,g2,g3}表示種列車的前景理論中的舒適度因素，其中g(shù)i為某列車Ai的舒適度因素。

3.2 旅客出行方式選擇概率確定

3.2.1 計(jì)算3種影響因素的感知效用值

為了得到更加詳細(xì)的旅客出行數(shù)據(jù)，于2018年6月對(duì)京滬通道內(nèi)的旅客進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查地點(diǎn)為北京南站、首都國際機(jī)場，本次調(diào)查有效問卷共272份，根據(jù)調(diào)查內(nèi)容，京滬客流中3類旅客的比例分別為c={c1=0.2,c2=0.6,c3=0.2}。

由問卷統(tǒng)計(jì)出鐵路旅客心理參考值信息及權(quán)重，結(jié)果見表2。

表2 各影響因素的心理參考信息

根據(jù)式( 3 )～式( 7 )，將旅客的價(jià)格因素前景值計(jì)算并且標(biāo)準(zhǔn)化處理，可以得到鐵路旅客的3種影響的感知效用值，結(jié)果見表3。

表3 旅客感知效用

3.2.2 旅客出行方式選擇概率計(jì)算

計(jì)算出這8種不同價(jià)格策略下的旅客選擇概率，結(jié)合各消費(fèi)層次旅客的不同比例，可以得到不同客運(yùn)方式的選擇需求概率，在本文中將得到的結(jié)果視為不同客運(yùn)方式的市場比例。在這8種策略下，所有列車的總選擇概率變化見圖1。

3.3 多列車聯(lián)合定價(jià)策略分析

基于最大凹向包絡(luò)理論最優(yōu)解性質(zhì)求解，對(duì)最終結(jié)果取整數(shù)值。得到最終的聯(lián)合定價(jià)策略見表4。

表4 聯(lián)合定價(jià)策略結(jié)果

如表4所示，在對(duì)這3類車進(jìn)行聯(lián)合定價(jià)時(shí)，復(fù)興號(hào)的閾值為6 600座，和諧號(hào)閾值為10 188座，動(dòng)車組的閾值為1 080座。結(jié)合所調(diào)查的線路實(shí)際情況，復(fù)興號(hào)的閾值即為復(fù)興號(hào)總座位數(shù)，因此復(fù)興號(hào)無須降價(jià)，當(dāng)和諧號(hào)的剩余座位數(shù)大于10 188時(shí)，將票價(jià)定為440元，當(dāng)動(dòng)車組的剩余座位數(shù)大于680時(shí)，將票價(jià)定為344元。當(dāng)這3種列車剩余座位數(shù)小于其對(duì)應(yīng)的閾值，對(duì)應(yīng)的列車即恢復(fù)原價(jià)。

將該結(jié)果與未按照動(dòng)態(tài)定價(jià)策略的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分別比較其每種類型列車的收益、總收益、上座率。見圖2、圖3。

由圖2、圖3可知：

(1) 實(shí)行動(dòng)態(tài)定價(jià)策略，和諧號(hào)和動(dòng)車組的上座率與收益均增加，由于復(fù)興號(hào)的受歡迎程度，導(dǎo)致其無須降價(jià)，原因在于在價(jià)格和和諧號(hào)列車幾乎相同的情況下，其在時(shí)間和舒適度上相對(duì)于和諧號(hào)均有優(yōu)勢(shì)。

(2) 復(fù)興號(hào)在實(shí)行動(dòng)態(tài)定價(jià)策略后，上座率依舊為100%，說明市場對(duì)其需求較大，可以開行更多的復(fù)興號(hào)，以此滿足市場需求。

(3) 實(shí)行動(dòng)態(tài)定價(jià)策略，可以有效的從整個(gè)運(yùn)輸市場中吸引更多的乘客選擇鐵路出行，在本文中，則主要從航空運(yùn)輸市場吸引乘客選擇鐵路出行。

4 結(jié)束語

本文基于第三代前景理論以及Logit模型，對(duì)客運(yùn)市場乘客行為進(jìn)行分析，制定預(yù)售期不同階段的票額，通過算例，并與現(xiàn)有方案進(jìn)行對(duì)比，本文的聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，可以提高鐵路列車的總上座率，并且提高鐵路部門的收入，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。本研究為中國鐵路動(dòng)態(tài)定價(jià)提供了一種新方法，但針對(duì)本文建立的多列車聯(lián)合動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，只考慮了京滬線的首發(fā)終到站的售票情況，未能考慮中間站的售票情況，并且在實(shí)際的購票行為中影響因素很多，需要長期統(tǒng)計(jì)才可精確獲得，今后將進(jìn)一步研究多站點(diǎn)及更加符合實(shí)際購票行為的鐵路動(dòng)態(tài)定價(jià)問題。