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        重力加速度隨緯度變化的精確值

        2019-10-18 08:08:26廖蘊(yùn)瑩謝元棟
        物理通報(bào) 2019年10期
        關(guān)鍵詞:將式半軸赤道

        廖蘊(yùn)瑩 謝元棟

        (華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 511400)

        一般情況下,物理學(xué)中處理有關(guān)力學(xué)問題時(shí),取重力加速度g=9.80 m/s2,更粗略的計(jì)算甚至取g=10.0 m/s2.這種處理方法使求解問題簡(jiǎn)單方便,精確度也能達(dá)到要求.但實(shí)際上,盡管重力加速度隨緯度和高度變化不大,但還是有明顯的變化.也就是說,地球表面的重力加速度并不是處處都相等,誤差來源于兩個(gè)方面:一是地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生慣性離心力;二是地球不是嚴(yán)格的球體.前一種情況,教科書中有詳細(xì)討論[1,2],后一種情況則很少涉及.本文擬彌補(bǔ)這個(gè)缺陷.

        眾所周知,地球不是一個(gè)嚴(yán)格的球體,兩極半徑小,赤道半徑大.這使重力加速度g隨緯度的升高而增大的效應(yīng)更顯著.由于這個(gè)原因,各地實(shí)測(cè)的g也要比把地球當(dāng)成一個(gè)球體算出的值大.下面詳細(xì)討論重力加速度與緯度變化的函數(shù)關(guān)系.

        如圖1所示,可把地球看成是一個(gè)長(zhǎng)半軸為a=6 379 250 m,短半軸為b=6 356 755 m的旋轉(zhuǎn)橢球體,圍繞y軸做自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).地球不是一個(gè)嚴(yán)格的慣性系,其自轉(zhuǎn)的角速度為

        (1)

        其中T是地球自轉(zhuǎn)周期.

        圖1 地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)示意圖

        (2)

        而物體M的受力分析圖如圖2所示.

        圖2 物體M受力分析

        對(duì)于地面上的觀察者來說,物體受到兩個(gè)力:地球引力F和慣性離心力Ft.實(shí)際所觀察到的重力Mg是F和Ft的合力

        Mg=F+Ft

        (3)

        如果認(rèn)為地球是均勻的剛性球體,則F的值各地相同.但Ft的值隨緯度λ而變:

        Ft=MaΩ2cosλ

        (4)

        因此Mg的大小和方向都隨緯度λ而變,大小的變化反應(yīng)在重力加速度g隨λ的變化,方向的變化反應(yīng)在Mg的方向和引力F方向之間的夾角α隨λ的變化.下面我們來找出g和α隨λ變化的函數(shù)關(guān)系.

        將F,Ft和Mg之間的關(guān)系用如圖3所示的三角形來表示[2].

        從圖中可看出

        Ftsinλ=Mgsinα

        (5)

        Fsinλ=Mgsin (λ+α)

        (6)

        F=Mgcosα+Ftcosλ

        (7)

        圖3 F,Ft和Mg的關(guān)系

        而根據(jù)萬有引力定律

        (8)

        將式(4)代入式(5)得

        (9)

        由于α∝Ω2,故很小.則有sinα≈α,cosα≈1.

        聯(lián)立式(7)和式(8)得

        (10)

        (11)

        在赤道處,λ=α=0,g=g0,則根據(jù)式(11),可得

        (12)

        將式(12)代入式(11),則得出g隨λ變化的近似公式

        (g0+aΩ2)(1-e2sin2λ)-1-aΩ2cos2λ≈

        (13)

        把g0=9.758 8 m/s2代入式(13),于是得到g的近似公式

        g=9.780 3(1+0.010 5sin2λ)

        (14)

        根據(jù)式(14)算得g的數(shù)據(jù)如表1所示.

        表1 根據(jù)式(14)算得g的數(shù)據(jù)

        根據(jù)式(13)算得g的變化趨勢(shì)如圖4所示.

        圖4 根據(jù)式(13)算得g的變化趨勢(shì)

        根據(jù)式(13)算得g的變化快慢如圖5所示.

        由圖像可以得出結(jié)論,重力加速度g隨緯度λ的增加而增加.在赤道附近,重力加速度增長(zhǎng)得比較緩慢.隨著緯度的增加,重力加速度增長(zhǎng)變快.在緯度為45°時(shí),重力加速度增長(zhǎng)最快.在兩極附近,重力加速度增長(zhǎng)又變得比較緩慢.

        查閱資料得出[2],當(dāng)把地球看成是一個(gè)球體時(shí),重力加速度g1的近似公式為

        g1=9.780 3(1+0.005 3sin2λ)

        (14)

        圖5 根據(jù)式(13)算得g的變化快慢

        把式(14)所算得的g1與式(13)所算的g相比較,數(shù)據(jù)如表2所示.

        利用表2的數(shù)據(jù)與實(shí)際測(cè)量的重力加速度值進(jìn)行比較

        ①在赤道λ=0處,g的實(shí)測(cè)值g測(cè)=9.780 m/s2.

        表2 g1與g數(shù)據(jù)對(duì)比

        根據(jù)式(13)計(jì)算得

        g=9.780 3(1+0.010 5sin2λ)=9.780 3 m/s2.

        相對(duì)誤差為0.2%.

        根據(jù)式(14)計(jì)算得

        g1=9.780 3(1+0.005 3sin20)=9.780 3 m/s2

        相對(duì)誤差為0.2%.

        根據(jù)式(13)計(jì)算得

        相對(duì)誤差為0.02%.

        根據(jù)式(14)計(jì)算得

        相對(duì)誤差為0.5%.

        并把式(13)和式(14)作比較,如圖6所示,比較結(jié)果略有偏差.

        圖6 式(13)和式(14)所得結(jié)果對(duì)比圖

        結(jié)論:當(dāng)把地球當(dāng)作一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體而非球體時(shí),重力加速度隨著緯度的增加會(huì)變得更明顯.這個(gè)結(jié)果應(yīng)該更精確,是某些精確計(jì)算中需要考慮的修正.

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