徐洪飛,黃章進(jìn),宋 鵬,2

1(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,合肥 233027)

2(洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)通信學(xué)院,洛桑 瑞士 1015)

從上個(gè)世紀(jì)80年代第一家3D打印設(shè)備公司誕生到現(xiàn)在,隨著材料與工藝技術(shù)的不斷進(jìn)步,3D打印技術(shù)愈發(fā)成熟并逐漸流行起來(lái).方便個(gè)人定制、適用于任意形狀、快速成型等突出優(yōu)點(diǎn)使3D打印有力的推動(dòng)了個(gè)性化產(chǎn)品的設(shè)計(jì)制造[1]、機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[2]、三維重建[3]等領(lǐng)域的發(fā)展.

盡管3D打印機(jī)器越來(lái)越普及,打印材料的價(jià)格依然遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)制造方式所用的原料,如常用的光敏樹(shù)脂材料價(jià)格高達(dá)2000元/千克.這一定程度上制約了3D打印技術(shù)的發(fā)展和推廣.因此,如何有效降低模型的實(shí)際打印體積,節(jié)約打印成本是3D打印技術(shù)面臨的一個(gè)重要挑戰(zhàn)[4,5].針對(duì)節(jié)材打印這一問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外研究者提出了許多解決方案.Wang等[6]受到建筑中的桁架結(jié)構(gòu)啟發(fā)提出一種“蒙皮-鋼架”的輕質(zhì)結(jié)構(gòu),并基于該結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型的優(yōu)化.這種方法能在有效降低打印成本同時(shí),保證打印結(jié)果滿足各種約束條件,如物理強(qiáng)度、平衡性等.Lu等[7]受到自然界中的一種介觀結(jié)構(gòu)——蜂窩結(jié)構(gòu)的啟發(fā),提出一種內(nèi)部掏空優(yōu)化方法.該方案基于應(yīng)力分布來(lái)對(duì)模型空間進(jìn)行自適應(yīng)Voronoi分割得到大小不同的Voronoi單元,通過(guò)掏空Voronoi單元構(gòu)造出類似于蜂窩的內(nèi)部結(jié)構(gòu).其優(yōu)化結(jié)果也能夠一定程度上降低打印體積,同時(shí)有著很好的物理強(qiáng)度.Zhang等[8]受到物體的中軸和骨骼結(jié)構(gòu)的啟發(fā),提出一種中軸樹(shù)結(jié)構(gòu)作為物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)型.這種結(jié)構(gòu)型主要由中軸結(jié)構(gòu)、邊界框架以及一組連接桿件這三部分組成.徐文鵬等[9]借鑒傳統(tǒng)漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,給出一種拓?fù)鋬?yōu)化算法.Zhang與徐文鵬的方法都很好地反應(yīng)了模型受力的傳遞路線并且大幅節(jié)省了材料的使用.

另外,考慮到打印出的模型在現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景下可能受到的各種外力,在節(jié)省材料的同時(shí),也要保證模型結(jié)構(gòu)的力學(xué)穩(wěn)定性,使得打印結(jié)果滿足一定的強(qiáng)度要求.這一方面可以通過(guò)采用具有更好力學(xué)性能的材料進(jìn)行打印,如具有點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的新型復(fù)合材料[10,11];另一方面則可以對(duì)模型做進(jìn)行幾何結(jié)構(gòu)優(yōu)化.本文主要討論后者.在打印模型之前對(duì)模型進(jìn)行準(zhǔn)確的力學(xué)穩(wěn)定性判斷,并對(duì)存在強(qiáng)度問(wèn)題的部位進(jìn)行合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以歸結(jié)為模型的強(qiáng)度優(yōu)化問(wèn)題[4,5].對(duì)此類問(wèn)題 Stava等[12]給出一種解決方案,該方案通過(guò)自動(dòng)檢測(cè)薄弱區(qū)域并對(duì)模型進(jìn)行內(nèi)部挖洞、局部加厚以及加支撐這三種方式來(lái)提高模型的強(qiáng)度,調(diào)整后的模型可以承受用戶指定的載荷.Zhou等[13]依據(jù)模型的幾何特征和材料屬性直接計(jì)算出模型的最不利載荷,同時(shí)識(shí)別出模型上最容易被破壞的區(qū)域.Zhao等[14]提出了一種使用厚度參數(shù)來(lái)構(gòu)造滿足給定力學(xué)穩(wěn)定性約束的殼模型的方法.該方法依據(jù)模型的邊界面和用戶指定的外力,根據(jù)應(yīng)力約束來(lái)優(yōu)化厚度參數(shù)以擠出內(nèi)外表面,最終構(gòu)造出滿足約束的殼模型.

上述研究成果在節(jié)材打印、強(qiáng)度優(yōu)化方面取得了很好的效果,為本文提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)和參考.同時(shí),我們注意到,節(jié)材打印的相關(guān)研究[6-8]都采用了一些特定的結(jié)構(gòu)型式來(lái)生成內(nèi)部稀疏的空間結(jié)構(gòu),以此來(lái)減小打印體積.這樣帶來(lái)的一個(gè)問(wèn)題是模型中會(huì)存在著大量的懸空結(jié)構(gòu),如Lu等[7]的蜂窩結(jié)構(gòu)、Zhang等[8]的中軸樹(shù)結(jié)構(gòu).這種模型需要使用無(wú)需支撐的打印技術(shù)如3DP、SLS或者使用可溶解的支撐材料才能打印完成,一定程度上提高了打印的硬件門檻和操作難度.而關(guān)于強(qiáng)度優(yōu)化的相關(guān)研究[12-14]均是通過(guò)對(duì)模型做變形來(lái)解決的,雖然能有效的提高模型強(qiáng)度,但會(huì)導(dǎo)致模型外觀的變化,影響使用體驗(yàn).

針對(duì)當(dāng)前研究中存在的上述兩個(gè)問(wèn)題,本文提出一種基于應(yīng)力分布的殼模型構(gòu)造優(yōu)化方案.本方案首先構(gòu)造出均勻厚度的初始?xì)つＰ?然后進(jìn)行基于應(yīng)力分布的殼模型優(yōu)化迭代,得到具有極小體積的殼模型.經(jīng)過(guò)多組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,優(yōu)化后模型的體積為原模型的17.2%～24.4%,節(jié)材效果顯著.此外,本文方案生成的殼模型還具有如下優(yōu)點(diǎn):不改變模型的外觀;使用普通的桌面級(jí)打印設(shè)備即可打印,如最常見(jiàn)的FDM打印機(jī);添加的支撐材料方便去除.

1 優(yōu)化方案概述

給定一個(gè)待打印的實(shí)心三維模型M,使用打印材料m,指定載荷F,屈服強(qiáng)度σy,最小打印厚度tmin.本文所要解決的問(wèn)題是如何通過(guò)優(yōu)化M的幾何形狀來(lái)減小模型的打印體積.同時(shí),需要滿足如下約束條件,模型的外觀不變、在載荷的作用下不發(fā)生屈服,以及模型的最小厚度tm不低于最小打印厚度.所以優(yōu)化問(wèn)題可以描述為:

其中,第一個(gè)約束條件為屈服強(qiáng)度約束條件,用來(lái)保證模型可以承載指定的載荷而不發(fā)生破壞.依據(jù)第四強(qiáng)度理論設(shè)置,即當(dāng)構(gòu)件各部位的von Mises等效應(yīng)力(見(jiàn)第2節(jié))的最大值σmax達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度σy時(shí),材料就會(huì)開(kāi)始屈服,發(fā)生塑性形變,外力撤銷后無(wú)法恢復(fù)原來(lái)形狀.

針對(duì)上述優(yōu)化問(wèn)題,本文給出一種基于應(yīng)力分布的殼模型構(gòu)造優(yōu)化方案,概述如下:首先構(gòu)造與M對(duì)應(yīng)的均勻厚度空殼模型M0,對(duì)M0進(jìn)行應(yīng)力分析,如果不滿足屈服強(qiáng)度約束,則均勻增加M0的厚度,直到滿足約束為止;然后基于M0的應(yīng)力分布情況,自適應(yīng)地調(diào)整Mi各位置的厚度得到Mi+1,直到迭代結(jié)果Mk達(dá)到某個(gè)約束條件時(shí)停止,Mk-1即是具有極小打印體積的優(yōu)化后的殼模型.由于模型外觀不變,即模型的外表面R不變 (注:外表面R圍成實(shí)心模型M),因此優(yōu)化殼的厚度也就等價(jià)于優(yōu)化內(nèi)表面S的形狀.

2 應(yīng)力分析

應(yīng)力描述了連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部各部分之間相互作用力的強(qiáng)度,在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中將其定義為單位面積所承受的作用力.本文的殼模型構(gòu)造優(yōu)化方案一方面借助應(yīng)力分析結(jié)果指導(dǎo)迭代過(guò)程,調(diào)整模型厚度,另一方面也使用應(yīng)力分布信息驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果,判斷是否還可以繼續(xù)優(yōu)化.

由于絕大多數(shù)桌面級(jí)3D打印機(jī)僅支持塑料(PLA、ABS、尼龍等)作為打印材料,因此本文只考慮塑性材料作為打印材料的情況.對(duì)塑性材料的屈服情況的判斷,一般使用材料力學(xué)的第四強(qiáng)度理論[15].該理論認(rèn)為引起材料屈服破壞的主要因素是畸變能密度,其強(qiáng)度條件見(jiàn)公式 (2),其中σ1、σ2、σ3為主應(yīng)力,σy為材料的屈服強(qiáng)度.

von Mises是一種屈服準(zhǔn)則,表示在一定的變形條件下,當(dāng)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的等效應(yīng)力達(dá)到某一值時(shí),該點(diǎn)就開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài),產(chǎn)生屈服.屈服準(zhǔn)則的值即為von Mises等效應(yīng)力,計(jì)算公式如下:

由式(2)、式(3)可知,von Mises等效應(yīng)力遵循第四強(qiáng)度理論,所以本文使用von Mises等效應(yīng)力來(lái)度量模型各個(gè)部位的應(yīng)力水平,并通過(guò)與材料的屈服強(qiáng)度進(jìn)行比較來(lái)判斷模型是否發(fā)生屈服.

為了給構(gòu)件必要的強(qiáng)度儲(chǔ)備,材料力學(xué)中引入了許用應(yīng)力[15]的概念,即將材料的屈服強(qiáng)度除以一個(gè)大于1的安全因數(shù)n,作為構(gòu)件應(yīng)力不可超過(guò)的值,通常對(duì)于塑性材料n取1.1～2,此時(shí)屈服強(qiáng)度條件約束為:

同理,本文取不大于1的安全系數(shù)s1作為屈服強(qiáng)度的系數(shù),則引入安全系數(shù)的屈服強(qiáng)度約束條件為:

本文中使用PLA材質(zhì)時(shí)將s1設(shè)置為0.7,使用PC-ABS材質(zhì)時(shí)將s1設(shè)置為1(為了與文獻(xiàn)[7]中Lu方案進(jìn)行對(duì)比).若想給模型更高的強(qiáng)度儲(chǔ)備,可以將s1設(shè)置為更小的值(一般不小于0.5).此外,為了消除打印機(jī)的打印誤差帶來(lái)的影響,本文還引入了最小打印厚度對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)s2,實(shí)驗(yàn)中將s2設(shè)為1.2.至此,引入了安全系數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題表示為:

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)模型應(yīng)力分布的高效準(zhǔn)確計(jì)算,本文借助機(jī)械設(shè)計(jì)軟件SolidWorks的Simulation工具包進(jìn)行基于有限元的靜力分析.依次進(jìn)行模型的四面體化,物理環(huán)境的配置(包括所受外力F,材料屬性m,固定位置等),以及基于有限元的靜力分析.最后將四面體化的結(jié)果和應(yīng)力分布結(jié)果導(dǎo)出,作為模型優(yōu)化程序的輸入.圖1展示了此應(yīng)力分析步驟的工作流程.需要說(shuō)明的是,雖然此工具能夠得到精確程度較高的應(yīng)力分布結(jié)果,但計(jì)算效率不高,本文中所有模型的應(yīng)力分析時(shí)間在 3～10 min/次.

3 殼模型的構(gòu)造與優(yōu)化

3.1 均勻厚度殼模型的構(gòu)造

利用三維建模軟件創(chuàng)建的待打印模型往往只有一個(gè)封閉的外表面R,該外表面一般由一組三角面片連接組成.因此如果不對(duì)模型進(jìn)一步處理,直接打印會(huì)得到一個(gè)實(shí)心的模型,材料耗費(fèi)會(huì)非常大.所以一般在打印前需要對(duì)模型進(jìn)行空殼處理,即計(jì)算出一層內(nèi)表面用來(lái)與外表面共同構(gòu)成封閉的空殼模型.對(duì)于凸多面體,可以直接將外表面頂點(diǎn)沿著法線方向向內(nèi)偏置一段距離來(lái)得到內(nèi)表面.但對(duì)于一般非凸多面體,簡(jiǎn)單的向內(nèi)偏置外表面會(huì)導(dǎo)致三角面片的自交.Jung等[16]提出的自交檢查和去除方法可以消除三角面片自交的情況,但殼模型卻不再厚度可控.為此,本文采用了基于模型體素化表示的等值面提取算法來(lái)構(gòu)造內(nèi)表面(見(jiàn)算法1).

圖1 應(yīng)力分析流程

算法1.基于體素化的均勻厚度殼模型構(gòu)造算法輸入:模型外表面R,指定厚度為t.輸出:模型內(nèi)表面S (與R圍成均勻厚度殼模型(S,R)).1.以a為邊長(zhǎng),體素化R所在包圍盒,得到一組體素,記為Voxel.2.FOR每個(gè)在Voxel中的體素vox.3.判斷vox相對(duì)R的位置(分為內(nèi)部,外部,相交).4.以R為邊界,Voxel中體素為離散元素構(gòu)建有向距離場(chǎng)Dc.5.以0.25a為邊長(zhǎng),構(gòu)建細(xì)粒度有向距離場(chǎng)Df.6.取Dc中具有距離值t/a的一層體素Voxelc.7.FOR每個(gè)在Voxelc中的體素voxc.8.獲取8個(gè)頂點(diǎn)在Df中的距離.9.對(duì)Voxelc應(yīng)用Marching Cubes算法[17]提取內(nèi)表面S.10.RETURN S.

圖2展示了算法1的相關(guān)流程.此算法不但可以避免三角面片自交,還能夠提取出過(guò)渡非常平滑的內(nèi)表面,見(jiàn)圖2(c).需要說(shuō)明的是,在算法1第2、3行的實(shí)現(xiàn)上,本文采用了由粗到細(xì)的體素化方式進(jìn)行加速,大幅提升了算法效率.為了得到足夠精細(xì)的內(nèi)表面,需要保證體素尺寸足夠小,因此就需要處理數(shù)目龐大的體素,以尺寸為10×20×15 cm3的Kitten模型為例,若體素邊長(zhǎng)為1 mm,則需要計(jì)算 3e9個(gè)體素的位置,這涉及到大量的相交檢測(cè)判斷.在 Intel Core i5-4590@ 3.30 GHz 平臺(tái)下,直接的對(duì)細(xì)粒度的體素進(jìn)行位置判斷的平均耗時(shí)為1.9分鐘.為了減少時(shí)間消耗,我們采用由粗到細(xì)的體素化方式進(jìn)行加速.具體做法是,先進(jìn)行粗粒度的體素化,體素邊長(zhǎng)設(shè)為 4 mm.對(duì)這些大體素進(jìn)行位置判斷,刪除在模型外部的大體素,由模型內(nèi)部的大體素細(xì)分出的小體素(邊長(zhǎng)1 mm)一定在模型內(nèi)部,所以只需對(duì)那些由模型邊界上的大體素細(xì)分出的小體素進(jìn)行位置判斷,從而大大減少了相交檢測(cè)判斷次數(shù).且所有在模型內(nèi)部或邊界上的邊長(zhǎng)1 mm的小體素的相對(duì)位置均被正確判斷,不會(huì)影響到有效信息的完整性.使用這個(gè)新的方式對(duì)該模型進(jìn)行處理,平均耗時(shí)縮短為15秒,為優(yōu)化前的13.2%,效率提升明顯.

3.2 基于應(yīng)力分布的殼模型構(gòu)造與優(yōu)化

為了保證模型打印完成之后具有一定的力學(xué)穩(wěn)定性(即可以承受給定的載荷),需要模型上各單元的von Mises等效應(yīng)力不超過(guò)材料的屈服強(qiáng)度.所以當(dāng)模型簡(jiǎn)單處理為均勻厚度的殼模型時(shí),為保證所有單元的應(yīng)力值在安全范圍內(nèi),對(duì)于那些本身應(yīng)力值較低的區(qū)域需要和應(yīng)力值高的區(qū)域具有相同厚度.這會(huì)導(dǎo)致材料的浪費(fèi).這一問(wèn)題在應(yīng)力分布不均的模型身上會(huì)突顯出來(lái).故而對(duì)于算法1構(gòu)造出的均勻厚度模型,需要進(jìn)一步去調(diào)整內(nèi)表面形狀,最大限度的減小模型體積.

本文提出一種基于應(yīng)力分布自適應(yīng)調(diào)整內(nèi)表面形狀的方法.具體做法是讓頂點(diǎn)沿著法線方向外擴(kuò),應(yīng)力大的頂點(diǎn)具有較小外擴(kuò)速度,應(yīng)力小的頂點(diǎn)具有較大外擴(kuò)速度.圖3給出了基于此方法進(jìn)行一次內(nèi)表面頂點(diǎn)外擴(kuò)的示意.其中頂點(diǎn)a,b具有較小應(yīng)力,頂點(diǎn)c,d具有較大應(yīng)力,外擴(kuò)后的形狀如圖3(c)所示.

圖2 均勻厚度殼模型的構(gòu)造流程

圖3 基于應(yīng)力外擴(kuò)頂點(diǎn)

基于以上思路,我們給出每次迭代時(shí)頂點(diǎn)v的外擴(kuò)距離計(jì)算公式,見(jiàn)式(7).其中,do為頂點(diǎn)v到模型外表面的距離,σv為v的應(yīng)力值,s1、s2分別為屈服強(qiáng)度、最小打印厚度的安全系數(shù)(見(jiàn)第2節(jié)).公式第一項(xiàng)用來(lái)保證最小打印厚度約束,第二項(xiàng)用來(lái)計(jì)算頂點(diǎn)在當(dāng)前應(yīng)力情況下的外擴(kuò)距離,其中p用來(lái)控制每次外擴(kuò)的最大距離.

基于式(7),我們提出基于應(yīng)力分布的殼模型構(gòu)造與優(yōu)化算法,見(jiàn)算法2.

算法2.基于應(yīng)力分布的殼模型構(gòu)造與優(yōu)化算法輸入:外表面R,屈服強(qiáng)度σy,最小打印厚度tmin.輸出:殼模型(S,R),S為構(gòu)造的內(nèi)表面.1.對(duì)R進(jìn)行體素化并構(gòu)建距離場(chǎng)Dc、Df.2.利用Marching Cubes算法按厚度t提取S0.3.WHILE (S0,R)最大應(yīng)力 σmax＞s1σy.4.t←t+t0.5.利用Marching Cubes算法按厚度t提取S0.6.WHILE (Si,R)最大應(yīng)力 σmax≤s1σy.

7.FOR 每個(gè)Si上的頂點(diǎn)v.8.利用式(7)計(jì)算外擴(kuò)距離dv.9.IF dv==0.10.BREAK.11.FOR 每個(gè)Si上的頂點(diǎn)v 12.沿頂點(diǎn)法線方向向外移動(dòng)dv距離.13.對(duì)Si應(yīng)用算法1按厚度0提取Si+1.14.i←i+1.images/BZ_111_1362_1506_1382_1531.png15.IFdv==0.16.S←Si.17.ELSE 18.S←Si-1.19.RETURN (S,R).images/BZ_111_1378_1812_1399_1837.png

算法2分為兩個(gè)階段:前5行進(jìn)行均勻厚度殼模型的迭代構(gòu)造;后面則是進(jìn)行基于應(yīng)力的殼模型的迭代優(yōu)化.此算法可以構(gòu)造出具有極小體積的非均勻厚度殼模型,從而大幅減少打印材料的成本.

注意這里得到的不是具有全局最小體積值的模型.因?yàn)樵诿看握{(diào)整內(nèi)表面時(shí),各頂點(diǎn)移動(dòng)方向均是向模型外部,模型體積單調(diào)減小,而載荷保持不變,各單元的應(yīng)力會(huì)逐漸增大,直到某一單元的應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度時(shí)為止.若此時(shí)允許那些達(dá)到屈服強(qiáng)度約束的頂點(diǎn)向內(nèi)移動(dòng),使得其應(yīng)力回到屈服強(qiáng)度約束之下,則可以固定這些頂點(diǎn),繼續(xù)向外擴(kuò)展其他頂點(diǎn),這會(huì)進(jìn)一步減少模型體積.然而這種增加頂點(diǎn)移動(dòng)自由度的做法會(huì)極大地增加算法的復(fù)雜程度,考慮到每次迭代過(guò)程中應(yīng)力分析耗時(shí)較大的特點(diǎn),如此進(jìn)行下去會(huì)非常耗時(shí),可行性不強(qiáng).因此,本文優(yōu)化算法不允許頂點(diǎn)向內(nèi)移動(dòng),而是讓?xiě)?yīng)力較小的頂點(diǎn)具有較大的外擴(kuò)速度,好處是可以很快收斂生成具有極小體積的殼模型,保證方案的可用性.

3.3 算法實(shí)例分析

這里以Kitten模型為例,展示算法2的迭代過(guò)程與優(yōu)化效果.初始Kitten模型包圍盒尺寸為6.5×10×6 cm3,最小打印厚度為1 mm,施加載荷為 1000 N,這里使用的打印材料是PLA,其相關(guān)物理屬性見(jiàn)表1.另外,式(4)中相關(guān)系數(shù)為:s1=0.7,s2=1.2,p=0.002.

表1 打印材料屬性參數(shù)

首先構(gòu)造均勻厚度殼模型,初始厚度為5 mm.然后對(duì)其進(jìn)行應(yīng)力分析(見(jiàn)圖4).上方箭頭表示載荷,底部箭頭表示模型的固定位置.此時(shí)最大應(yīng)力為22.7 MPa,小于屈服強(qiáng)度約束s1σy(=49 MPa).

圖4 均勻厚度殼模型的von Mises 應(yīng)力分布

接著對(duì)初始?xì)つＰ瓦M(jìn)行優(yōu)化迭代,得到最終結(jié)果.圖5展示模型優(yōu)化過(guò)程中剖面的變化.結(jié)合圖4中的應(yīng)力分布信息,可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后模型在初始應(yīng)力較高的區(qū)域(方框標(biāo)識(shí)),厚度較大,在應(yīng)力較低的區(qū)域(圓圈標(biāo)識(shí)),厚度較小.圖6展示了優(yōu)化過(guò)程中體積、應(yīng)力的變化,可見(jiàn)隨著模型體積的降低,模型的平均應(yīng)力在逐漸增加,直至模型的最大應(yīng)力超過(guò)屈服強(qiáng)度約束.經(jīng)計(jì)算,優(yōu)化后Kitten模型的體積為輸入模型的22.4%,節(jié)材效果顯著.

圖5 模型Kitten的優(yōu)化過(guò)程

4 實(shí)驗(yàn)與討論

本文算法由一個(gè)待打印的實(shí)心3D網(wǎng)格模型開(kāi)始,對(duì)其進(jìn)行內(nèi)殼模型的構(gòu)造,并基于應(yīng)力分布進(jìn)行內(nèi)殼優(yōu)化,最終得到的內(nèi)表面與輸入的外表面圍成體積極小的殼模型.本文的實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows操作系統(tǒng),處理器為Intel Core i5-4590 @ 3.30 GHz,內(nèi)存為8 GB.本文算法2的殼模型優(yōu)化部分需要迭代5～9次得到最終結(jié)果,而每次迭代時(shí)應(yīng)力分析過(guò)程是影響算法速度的瓶頸,一般在3～10分鐘/次.本文進(jìn)行的所有實(shí)驗(yàn)中優(yōu)化時(shí)間最多為1.5小時(shí),平均為35分鐘.為了充分驗(yàn)證算法的有效性,我們?cè)趯?duì)多個(gè)經(jīng)典模型進(jìn)行優(yōu)化.圖7和表2展示了優(yōu)化結(jié)果的信息.從表2中模型的優(yōu)化數(shù)據(jù)來(lái)看,使用本文算法優(yōu)化后殼模型的體積僅為輸入模型的17.2%～24.4%,大幅降低了材料的用量.

圖7 初始?xì)つＰ偷膽?yīng)力分布與最終優(yōu)化結(jié)果

表2 模型的優(yōu)化數(shù)據(jù)

我們與同樣基于應(yīng)力分布的Lu等在文獻(xiàn)[7]中提出的節(jié)材優(yōu)化方案做了3組對(duì)比.兩個(gè)方案均使用PCABS作為打印材料,屈服強(qiáng)度約束取41 MPa.對(duì)比情況見(jiàn)表3和圖8.可以發(fā)現(xiàn),Lu等方案的優(yōu)化結(jié)果雖然具有較小的最大應(yīng)力,但模型體積為原來(lái)的26.0%～43.6%,遠(yuǎn)高于本文的19.8%～24.4%.這主要因?yàn)長(zhǎng)u等方案的優(yōu)化結(jié)果受到蜂窩結(jié)構(gòu)這種特定內(nèi)部結(jié)構(gòu)型式的限制,無(wú)法進(jìn)一步減小模型體積.

表3 與Lu等[7]方案的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖8 Lu等[7]方案結(jié)果(左)與本文結(jié)果(右)

我們使用基于FDM打印技術(shù)的3DTALK MINI打印機(jī)打印制造了3組PLA材質(zhì)的優(yōu)化模型及剖面(見(jiàn)圖9).模型高度均為9～10 cm.打印優(yōu)化模型需要3～3.6小時(shí),打印剖面模型需要1.4～2小時(shí).在模型底部預(yù)留小孔,方便打印完成之后使用工具取出打印支撐.為了驗(yàn)證優(yōu)化后模型的力學(xué)穩(wěn)定性,本文使用英斯特朗電子動(dòng)靜態(tài)疲勞試驗(yàn)機(jī)對(duì)打印出的模型進(jìn)行壓力測(cè)試,見(jiàn)圖10.以Bimba模型為例,觀察機(jī)器數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)給出的折線圖10(b)可以發(fā)現(xiàn),隨著壓力的增加,模型形變大小呈線性增長(zhǎng),并在載荷達(dá)到1000 N時(shí),形變?yōu)?.2 mm.這說(shuō)明模型處在彈性形變狀態(tài),沒(méi)有發(fā)生屈服,表明優(yōu)化結(jié)果模型可以承受指定載荷而不被破壞.

圖9 優(yōu)化模型的打印結(jié)果

圖10 模型受力測(cè)試

5 結(jié)論與展望

本文針對(duì)3D打印領(lǐng)域中的材料節(jié)省問(wèn)題提出了一種基于應(yīng)力分布的殼模型構(gòu)造優(yōu)化算法.該算法能夠生成體積極小的非均勻厚度殼模型.在初始?xì)つＰ偷臉?gòu)造過(guò)程中,先將模型體素化表示,采用由粗到細(xì)的體素化方式加速體素相對(duì)位置的判斷,接著構(gòu)建距離場(chǎng),利用Marching Cubes算法提取初始內(nèi)殼;在內(nèi)殼的優(yōu)化過(guò)程中,基于應(yīng)力分布的內(nèi)殼外擴(kuò)過(guò)程可以自適應(yīng)降低模型各位置厚度,最終得到具有極小體積的殼模型.

本文實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)化結(jié)果體積為原來(lái)體積的17.2%～24.4%,顯著降低了材料消耗.此外,本文方法還具有不改變模型外觀、內(nèi)部支撐容易去除、適用于多種類型打印機(jī)的突出優(yōu)點(diǎn).最后,我們通過(guò)壓力測(cè)試驗(yàn)證了模型的力學(xué)穩(wěn)定性,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法的有效性.

本文工作還存在很多改進(jìn)之處.首先,基于有限元方法的應(yīng)力分析方法雖然計(jì)算準(zhǔn)確,但效率偏低,影響了算法的執(zhí)行速度.因此,提高有限元分析的計(jì)算效率、減少應(yīng)力分析所需的時(shí)間是讓本文方法能夠更加高效應(yīng)用的關(guān)鍵.其次,本文方法僅支持能夠在打印機(jī)中一次打印完成的模型,對(duì)于那些超出打印機(jī)尺寸的模型,需要先進(jìn)行模型的分割[18,19],然后在進(jìn)行體積優(yōu)化.這涉及到多個(gè)部件模型組裝后的應(yīng)力分析以及協(xié)同優(yōu)化,很具有挑戰(zhàn)性,也是我們下一步要研究的主要內(nèi)容.再次,本文的約束條件包括屈服應(yīng)力、最小打印厚度,以及外表面保持不變,而在實(shí)際應(yīng)用中,可能會(huì)有其他的要求,比如模型的平衡性,即如何讓模型以某個(gè)姿態(tài)穩(wěn)定放置或穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)[20,21].因此,下一步考慮從這個(gè)角度對(duì)本文優(yōu)化方案進(jìn)行擴(kuò)展.