郭曉芳 劉 威 劉章軍

(三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

對于工程結(jié)構(gòu)而言,外部激勵(lì)與結(jié)構(gòu)體系的不確定性是客觀存在且不可忽略的.例如,地震等振動(dòng)沖擊作用須作為隨機(jī)激勵(lì)來處理;此外,批量產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的物理參數(shù)和幾何參數(shù)等也不可避免地具有分散性[1],故研究隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)是十分必要的.

目前,對于隨機(jī)結(jié)構(gòu)的分析主要有隨機(jī)模擬方法、隨機(jī)攝動(dòng)技術(shù)、正交展開理論[2]與概率密度演化方法等[3].隨機(jī)模擬方法適用性廣泛但計(jì)算工作量較大;隨機(jī)攝動(dòng)方法計(jì)算格式簡單,但由于其固有的久期項(xiàng)問題使之在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中受到嚴(yán)重挑戰(zhàn).正交展開理論對于線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)具有較好的精度,但對于非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)的計(jì)算精度有待提高.概率密度演化方法可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù),因而可應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力反應(yīng)分析和可靠度計(jì)算,為大型復(fù)雜工程的隨機(jī)動(dòng)力可靠度精細(xì)化計(jì)算開辟了道路.

本文擬采用文獻(xiàn)[4]非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法,用一個(gè)基本隨機(jī)變量模擬隨機(jī)地震動(dòng)的過程,生成與《建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50011-2010)[5]反應(yīng)譜相一致的地震動(dòng)代表性時(shí)程;同時(shí)引入隨機(jī)函數(shù),將結(jié)構(gòu)的彈性模量與泊松比作為隨機(jī)參數(shù)用一個(gè)基本隨機(jī)變量表示,實(shí)現(xiàn)隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的降維表達(dá).進(jìn)而建立一個(gè)框架剪力墻結(jié)構(gòu)的三維有限元模型,結(jié)合概率密度演化理論,對該結(jié)構(gòu)的確定與隨機(jī)兩種工況下的地震反應(yīng)和抗震可靠度進(jìn)行分析計(jì)算.

1 非平穩(wěn)地震動(dòng)的概率建模

在地震工程中,全非平穩(wěn)過程的演變功率譜為[6]

式中,S X g(t,ω)為雙邊的演變功率譜密度函數(shù);S(ω)為平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù);本文采用Clough-Penzien模型;A(t,ω)為確定性的時(shí)-頻調(diào)制函數(shù),其表達(dá)式為

其中

式中,ωg為場地土的卓越圓頻率;參數(shù)b=a+0.001,c=0.005.本文取a=0.2 s-1.

根據(jù)文獻(xiàn)[7],非平穩(wěn)地震動(dòng)過程X g(t)的譜表示為

式中,ωk=kΔω,Δω為頻率離散步長;N為頻率截?cái)囗?xiàng)數(shù).

在式(4)中,{X k,Y k}(k=1,2,…,N)為一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機(jī)變量,滿足如下的基本條件

式中,E[·]為數(shù)學(xué)期望;δkl為Kronecker-delta記號(hào).

基于隨機(jī)函數(shù)理論,可將標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{X k,Y k}定義為基本隨機(jī)變量的函數(shù)形式.假定任意的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量X k與Y k分別是基本隨機(jī)變量Θ1的函數(shù),即構(gòu)造如下的隨機(jī)函數(shù)形式

式中,Θ1為在區(qū)間[-π,π]上均勻分布的基本隨機(jī)變量為k的某種確定性一一映射,該一一映射的實(shí)現(xiàn)參見文獻(xiàn)[6].顯然,式(6)滿足基本條件式(5).

一般地,地震動(dòng)代表性時(shí)程集合的平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜會(huì)有一定的擬合誤差.為了滿足規(guī)范要求,通過定義反應(yīng)譜的平均相對誤差和最大相對誤差,使兩者的相對誤差分別在5%和10%之內(nèi).當(dāng)兩者的相對誤差不能滿足時(shí),需要對式(4)中的演變功率譜進(jìn)行迭代修正,直到滿足要求為止.

2 隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中,結(jié)構(gòu)體系的隨機(jī)性主要來源于工程材料、結(jié)構(gòu)構(gòu)件尺寸、結(jié)構(gòu)邊界條件及結(jié)構(gòu)物理性質(zhì)等4個(gè)方面.本文主要研究工程材料的隨機(jī)性對結(jié)構(gòu)的影響.在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中,由于原材料組成和生產(chǎn)工藝等因素的影響,一般可認(rèn)為混凝土的變異性更為顯著.因此,本文僅考慮混凝土材料的隨機(jī)性.此外,混凝土的彈性模量和泊松比是檢驗(yàn)混凝土力學(xué)性能的基本指標(biāo),且彈性模量與混凝土抗壓強(qiáng)度有一定關(guān)系,彈性模量愈大,混凝土抗壓強(qiáng)度愈大.為此,本文選取混凝土的彈性模量E與泊松比ν作為結(jié)構(gòu)體系的隨機(jī)參數(shù).

假設(shè)結(jié)構(gòu)每層的混凝土彈性模量E i與泊松比νi互不相關(guān),且分別服從參數(shù)為μE、σE和μV、σV的正態(tài)分布.為方便計(jì),可進(jìn)一步引入標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量αi與βi,使

顯然,隨機(jī)變量αi與βi應(yīng)滿足

基于隨機(jī)函數(shù)的思想,將αi與βi表示為基本隨機(jī)變量Θ2的函數(shù)[8],即

式中,Φ-1(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù);Θ2為在區(qū)間[-π,π]上服從均勻分布的基本隨機(jī)變量;φ為任意常量,本文取φ=π/3.顯然,式(9)所構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量{αi,βi}滿足基本條件式(8).

通過式(7)與式(9)之間的轉(zhuǎn)換,將隨機(jī)結(jié)構(gòu)的基本隨機(jī)變量數(shù)量從2n減少到1,實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)降維表達(dá)的目的.

3 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的模擬

3.1 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的模擬步驟

隨機(jī)地震動(dòng)與結(jié)構(gòu)體系的物理參數(shù)為隨機(jī)因素,共同構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).將隨機(jī)向量Θ=(Θ1,Θ2)記為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的基本隨機(jī)變量,其中Θ1和Θ2是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)模擬的基本步驟如下：

1)基本隨機(jī)變量代表性點(diǎn)集的選取.首先,應(yīng)用數(shù)論方法[9],在空間[0,1]×[0,1]上選取均勻分布的代表性離散點(diǎn)集然后,通過線性變換得到在空間[-π,π]×[-π,π]上均勻分布的代表性離散點(diǎn)集線性變換如下

式中,nsel為離散代表性點(diǎn)的總數(shù).同時(shí),計(jì)算代表性點(diǎn)的賦得概率P j(j=1,2,…,nsel),顯然

2)生成非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的代表性樣本集合.將選取的代表性點(diǎn)θ1j代入式(6)中計(jì)算{Xk(j),Yk(j)},然后將其代入式(4)中,獲得隨機(jī)地震動(dòng)加速度過程的代表性時(shí)程.值得注意的是,演變功率譜需要進(jìn)行迭代修正.其具體方法詳見文獻(xiàn)[6].

3)生成隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本.將選取的代表性點(diǎn)θ2j代入式(9)中計(jì)算隨機(jī)變量αi與βi的確定性數(shù)值,再將其代入式(7)中,得到隨機(jī)變量Θ2第j個(gè)離散代表點(diǎn)對應(yīng)結(jié)構(gòu)的每層樓混凝土的彈性模量與泊松比的樣本值,同時(shí)獲得此樣本的賦得概率P j.綜合上述的模擬方法,即構(gòu)造了由2個(gè)基本隨機(jī)變量表示的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)模型.

3.2 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的代表性樣本生成

在式(4)中,截?cái)囗?xiàng)數(shù)N=1 600,頻率間隔Δω=0.15 rad/s,截?cái)囝l率ωu=240 rad/s.同時(shí),地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間T=25 s,時(shí)間間隔Δt=0.01 s,滿足Δt≤π/ωu的條件.本文考慮抗震設(shè)防烈度為8度,場地類別為Ⅱ類,設(shè)計(jì)地震分組為第二組.根據(jù)規(guī)范,地震動(dòng)峰值加速度amax=200 cm/s2,場地土參數(shù)ωg=15.71/s,εg=0.72,峰值因子γ=2.88.

本文模擬了144條全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度時(shí)程,經(jīng)過對演變功率譜進(jìn)行3次迭代修正,得到的平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的兩個(gè)相對誤差分別為2.33%和6.31%,兩者均分別小于容許誤差5%和10%,滿足抗震設(shè)計(jì)對于地震動(dòng)輸入的要求.圖1分別給出了迭代前和3次迭代后的非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度的代表性時(shí)程.從圖1可以看出,與迭代前的代表性時(shí)程相比,3次迭代后的代表性時(shí)程在波形上基本無明顯變化,而頻率和振幅略有調(diào)整.

圖1 非平穩(wěn)地震動(dòng)過程加速度的代表性時(shí)程

圖2為模擬的地震加速度平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的對比圖,經(jīng)過3次迭代后的平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜在長周期部分的擬合程度十分理想,完全可以達(dá)到建筑抗震設(shè)計(jì)的要求,這說明迭代過程主要是對長周期部分進(jìn)行了修正.

圖2 地震加速度反應(yīng)譜的比較

對于結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)的模擬,本文選取C40混凝土的彈性模量與泊松比作為結(jié)構(gòu)體系的隨機(jī)變量,其分布參數(shù)見表1.同樣地,獲得nsel=144組結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)的代表性樣本.

表1 結(jié)構(gòu)體系隨機(jī)變量的分布參數(shù)

4 工程實(shí)例

4.1 工程概況及有限元模型建立

本文以北京某地區(qū)的13層框架-剪力墻結(jié)構(gòu)住宅樓為例,建筑總高度為40.8 m,1～12層層高為3 m,13層層高為4.8 m.考慮抗震設(shè)防烈度為8度,設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.2g,設(shè)計(jì)地震分組為第二組,場地類別為Ⅱ類.框架柱的截面有300 mm×400 mm、300 mm×500 mm等6種不同尺寸類型,梁的截面尺寸有200 mm×400 mm、200 mm×450 mm等5種類型.建筑材料采用C40混凝土,HRB400級鋼筋;剪力墻厚200 mm,樓板厚120 mm.圖3為該工程的標(biāo)準(zhǔn)層平面圖.采用Midas Building軟件對該框架剪力墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元建模.整個(gè)建筑共產(chǎn)生2 421個(gè)節(jié)點(diǎn),141個(gè)柱構(gòu)件,2 097個(gè)梁構(gòu)件,1 077個(gè)墻柱構(gòu)件,733個(gè)樓板構(gòu)件.豎向載荷考慮恒荷載、活荷載和結(jié)構(gòu)自重,水平載荷僅考慮地震作用;模型底部考慮為施加全部約束的固定端.有限元模型如圖4所示.

圖3 標(biāo)準(zhǔn)層平面圖

圖4 有限元模型圖

4.2 框架剪力墻結(jié)構(gòu)的抗震可靠度分析

將層間位移角作為隨機(jī)地震作用下框架剪力墻結(jié)構(gòu)損傷程度的評價(jià)指標(biāo).結(jié)合概率密度演化方法,分別計(jì)算確定結(jié)構(gòu)與隨機(jī)結(jié)構(gòu)各層層間位移角的隨機(jī)地震反應(yīng),進(jìn)而計(jì)算各層的動(dòng)力可靠度.圖5為第7層層間位移角反應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差.從圖中可知,結(jié)構(gòu)反應(yīng)量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨地震動(dòng)時(shí)程幅值的變化而變化,且隨機(jī)結(jié)構(gòu)反應(yīng)量均值的波動(dòng)幅值明顯大于確定結(jié)構(gòu),這說明在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性后使得結(jié)構(gòu)反應(yīng)顯著增強(qiáng).

圖5 結(jié)構(gòu)7層層間位移角的均值與標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度失效準(zhǔn)則,單層可靠度是指單層層間位移角未超過規(guī)定限值的概率[10],即

根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)體系的整體可靠度是指任一層層間位移角超過規(guī)定限值概率,即

表2為框架剪力墻結(jié)構(gòu)的單層可靠度與整體可靠度.從表2可以看出,當(dāng)彈塑性層間位移角限值為1/100時(shí),確定結(jié)構(gòu)與隨機(jī)結(jié)構(gòu)的整體可靠度均不低于95%,說明結(jié)構(gòu)具有較高的承載力和較好的延性,滿足工程抗震的要求.造成這一現(xiàn)象的原因是計(jì)算時(shí)輸入的地震動(dòng)為8度設(shè)防地震,結(jié)構(gòu)并未完全進(jìn)入非線性狀態(tài).進(jìn)一步考慮彈塑性層間位移角限值為1/250,可知確定結(jié)構(gòu)和隨機(jī)結(jié)構(gòu)的整體可靠度均低于最小單層可靠度,說明按照復(fù)雜失效準(zhǔn)則計(jì)算的結(jié)構(gòu)抗震可靠度較之結(jié)構(gòu)各層抗震可靠度均低,這一結(jié)果也驗(yàn)證了復(fù)雜失效準(zhǔn)則下的結(jié)構(gòu)可靠度與最弱鏈可靠度并不是等價(jià)的.另外,無論彈塑性層間位移角限值為1/100或1/250,隨機(jī)結(jié)構(gòu)的整體抗震可靠度不高于確定性結(jié)構(gòu),這進(jìn)一步證明了在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性會(huì)使得結(jié)構(gòu)整體可靠度降低.

表2 結(jié)構(gòu)抗震可靠度(%)

5 結(jié) 論

本文建議了一種隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的降維模擬方法,實(shí)現(xiàn)了僅需兩個(gè)基本隨機(jī)變量即可描述整個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的目的,并結(jié)合概率密度演化理論,研究了隨機(jī)結(jié)構(gòu)和確定結(jié)構(gòu)的抗震可靠度.研究結(jié)果表明：

1)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性使得結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)增大,抗震可靠度降低,表明結(jié)構(gòu)是偏于不安全的.因此,在精細(xì)化抗震可靠度分析中,除了考慮地震動(dòng)輸入的隨機(jī)性外,還應(yīng)當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性的影響.

2)本文方法不僅可以對地震動(dòng)輸入過程進(jìn)行降維模擬,還可以對結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)變量進(jìn)行降維表達(dá),因此,本研究為同時(shí)考慮隨機(jī)地震動(dòng)作用和結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性的復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)抗震可靠度精細(xì)化分析提供了參考價(jià)值.