周倩瑤 秦志軍 王 偉,2 王豫宛 梅勝堯

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210098;2.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所,南京

210098;3.山西省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院,太原 030012)

巖石流變是影響巖體工程穩(wěn)定性的重要因素,因此對(duì)巖石蠕變特性的研究具有實(shí)際的工程意義.元件組合的蠕變模型可以直觀地表現(xiàn)巖石的復(fù)雜力學(xué)特性,并且形式較為簡單,被廣泛應(yīng)用于巖石蠕變研究領(lǐng)域.

由于長期的地質(zhì)活動(dòng)作用,天然巖石內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生大量微觀裂隙,當(dāng)巖石受到一定大小的外界應(yīng)力,初期內(nèi)部裂隙會(huì)被壓密,在宏觀上就表現(xiàn)為巖石瞬時(shí)塑性變形[1-2].在研究巖石流變模型的過程中,對(duì)于巖石的瞬時(shí)彈性變形,許多學(xué)者常用Hoek體進(jìn)行模擬[3-4],而對(duì)于瞬時(shí)塑性變形則考慮的不多.楊圣奇[5]的試驗(yàn)結(jié)果表明由于未考慮瞬時(shí)塑性變形,所建立的蠕變模型反映的瞬時(shí)變形較真實(shí)值會(huì)偏小.

一般情況下,巖石蠕變可以分為3個(gè)階段,即衰減階段、穩(wěn)定階段及加速破壞階段,對(duì)巖石加速破壞階段的模擬一直是巖石蠕變研究的重難點(diǎn).傳統(tǒng)的巖石蠕變模型如Maxwell體等的本構(gòu)關(guān)系是整數(shù)階微分型本構(gòu)關(guān)系,分?jǐn)?shù)階微積分理論是研究任意階次的微積分理論,其在描述曲線的形狀上有很大的優(yōu)勢(shì)[6].在巖土工程領(lǐng)域內(nèi),許多學(xué)者運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立分?jǐn)?shù)階黏滯體模型代替經(jīng)典黏滯體模型[7-10],將分?jǐn)?shù)階黏滯體與經(jīng)典的元件串聯(lián),建立的新的模型可以描述巖石的衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變,但是對(duì)于巖石的加速蠕變?nèi)匀粺o法描述.另外,分?jǐn)?shù)階黏滯體的實(shí)質(zhì)是將黏滯體的黏滯系數(shù)看成與時(shí)間相關(guān)的變量,而實(shí)際上,黏滯系數(shù)不僅與時(shí)間相關(guān),還與巖石所受的荷載水平有關(guān)[11-14],這一點(diǎn)還需進(jìn)一步研究.

基于以上兩點(diǎn),本文從材料損傷出發(fā),考慮巖石內(nèi)部初始損傷,基于前人的研究成果構(gòu)建巖石裂隙體以描述蠕變初期的瞬時(shí)塑性變形,然后基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了一個(gè)分?jǐn)?shù)階黏滯體元件,并考慮巖石在加速蠕變階段產(chǎn)生的損傷對(duì)黏滯系數(shù)等參數(shù)的劣化效應(yīng),由此對(duì)分?jǐn)?shù)階黏滯體元件的黏滯系數(shù)進(jìn)行修正,修正后元件的黏滯系數(shù)是一個(gè)與時(shí)間及應(yīng)力有關(guān)的變量,該元件可以較好地反映巖石加速蠕變階段的特性,最后將該元件和裂隙閉合體元件與Poyting-Thomson模型串聯(lián)組合建立新模型,并通過蠕變?cè)囼?yàn)對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 考慮初始損傷的巖石瞬時(shí)塑性變形

根據(jù)巖石壓縮試驗(yàn),含裂隙的巖石受外界荷載時(shí),宏觀表現(xiàn)為軸向瞬時(shí)塑性變形,橫向變形可忽略不計(jì).巖石在低應(yīng)力水平下,內(nèi)部的裂隙不閉合,當(dāng)應(yīng)力達(dá)到某一水平時(shí)裂隙才明顯閉合,即巖石發(fā)生瞬時(shí)塑性變形有一應(yīng)力臨界值,這一應(yīng)力臨界中用σD表示.巖石瞬時(shí)塑性變形的大小與巖石本身內(nèi)部裂隙發(fā)育程度及外部荷載大小有關(guān).

根據(jù)王其虎等人[15]的研究,建立裂隙巖石塑性變形體如圖1所示,由于巖石未完全發(fā)生破壞,巖石內(nèi)部的裂隙非貫通,裂隙維持一定的張開度需要克服一定的裂隙張開回彈應(yīng)力σe,當(dāng)法向應(yīng)力σn達(dá)到裂隙閉合臨界值σD時(shí),裂隙閉合產(chǎn)生法向塑性變形為δn(式1),裂隙巖石產(chǎn)生的塑性應(yīng)變?yōu)棣舙(式2)

圖1 裂隙巖石塑性變形體

式中,a、b為與巖石材料有關(guān)的參數(shù);VR為裂隙巖石的體積;α為裂隙面法向同載荷方向的夾角;σ'為巖石的初始有效應(yīng)力.

設(shè)巖石的初始損傷為D0,根據(jù)Lematrie應(yīng)變等價(jià)原理,初始有效應(yīng)力為

將(3)式帶入(2)式中,得

令

則具有初始損傷的巖石在壓密過程中產(chǎn)生的塑性變形的本構(gòu)方程為

式中,Q、W、R為待估參數(shù).

2 基于分?jǐn)?shù)階微分的蠕變損傷模型

2.1 分?jǐn)?shù)階微分的基本定義

分?jǐn)?shù)階微積分是經(jīng)典的整數(shù)階微積分理論發(fā)展的補(bǔ)充,它將分積分階次從正數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)甚至是負(fù)數(shù)領(lǐng)域[16].目前,分?jǐn)?shù)階微積分有很多定義方式,但在描述巖石流變特性時(shí)通常使用的是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分理論[17],該理論的基本定義為：如果在上逐段連續(xù),而且在里的任何子區(qū)間上都是可積的,則對(duì)于滿足上列條件的函數(shù)而言的γ階微分定義為

通過對(duì)式(7)的變量代換和化簡,可得f(x)的γ階等價(jià)微分定義為

同樣的,f(x)的γ階積分定義為

式中,γ為f(x)的微分階數(shù),需同時(shí)滿足條件γ＞0且n-1＜γ＜n,其中Г(γ)是伽馬函數(shù),當(dāng)自變量γ＞0時(shí),Г(γ)的函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)函數(shù)f(x)在t=0f(x)附近可積時(shí),則可得分?jǐn)?shù)階的Laplace變換公式為

式中,F(s)是函數(shù)f(x)的Laplace正變換;s為象函數(shù)F(s)的自變量.

2.2 分?jǐn)?shù)階黏滯體元件

根據(jù)已有的理論可知,對(duì)于理想固體材料而言,其本構(gòu)關(guān)系一般滿足

對(duì)于理想液體而言,其本構(gòu)關(guān)系一般滿足

巖石在長期荷載的作用條件下,在加載的初期,巖石會(huì)產(chǎn)生一定的瞬時(shí)彈性變形,而且具有一定大小的抗剪強(qiáng)度,能夠在一定的外界荷載條件下保持形狀不變,這說明巖石具有理想固體的特征,但是當(dāng)作用荷載超過一定的閾值后,即使作用在巖石上面的外界力不變,巖石也會(huì)隨著時(shí)間的增長產(chǎn)生一定的類似流體的變形,這些特征也表明巖石在某種條件下可以表現(xiàn)為流體的特性,綜合來說,巖石在一定的外界條件下,既可以表現(xiàn)出理想固體的特征也可以具有一定的流體特性,所以巖石應(yīng)該是介于理想固體與理想流體之間的材料,參考式(12),(13),對(duì)于實(shí)際受力巖體而言,其微分階數(shù)應(yīng)該是介于0到1之間的實(shí)數(shù),于是可以認(rèn)為巖石材料的本構(gòu)關(guān)系滿足下式

式中,0≤γ≤1;ξ0為表征巖石力學(xué)特性的參數(shù),單位為應(yīng)力單位與時(shí)間單位的乘積.

當(dāng)σ=σ0不變時(shí),將式(14)兩側(cè)進(jìn)行Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分,可得

式(15)即為分?jǐn)?shù)階黏滯體的蠕變方程.

取σ0=15 MPa,ξ0=6 000 MPa·hγ,代入上式(15)得到一組不同γ對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏滯體蠕變曲線,如圖2所示.再取σ0=10 MPa,γ=0.5,得到一組不同ξ下的分?jǐn)?shù)階黏滯體蠕變曲線,如圖3所示.不同的巖石材料有不同的蠕變性能,此時(shí)可以通過改變公式中γ和ξ的大小,達(dá)到精準(zhǔn)擬合試驗(yàn)曲線的目的.

圖2 不同γ對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏滯體蠕變曲線

圖3 不同ξ對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏滯體蠕變曲線

由式(15)可以看出,當(dāng)模型中的其他參數(shù)不變時(shí),應(yīng)變與應(yīng)力成正比,取ξ0=1 000 MPa·hγ,γ=0.5,根據(jù)式(9),可得應(yīng)力不同情況下的分?jǐn)?shù)階黏滯體蠕變曲線如圖4所示.

圖4 不同σ下的分?jǐn)?shù)階黏滯體蠕變曲線

由圖4可知,應(yīng)力越大,在同一時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變量及應(yīng)變速率越大,即在一定的應(yīng)力范圍內(nèi),在同一時(shí)刻應(yīng)變率及應(yīng)變?cè)隽侩S著應(yīng)力的增加呈線性增長的規(guī)律,但是根據(jù)宋飛等人[18]的研究表明,當(dāng)巖石所受荷載超過一定閾值后,其應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)變率與巖石的荷載就不再呈線性關(guān)系,這是因?yàn)樵谕饨绾奢d的作用下,巖石內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生新的損傷,這些損傷會(huì)導(dǎo)致巖石的參數(shù)隨著時(shí)間發(fā)生非線性變化,從而導(dǎo)致本構(gòu)關(guān)系的非線性.因此,當(dāng)應(yīng)力超過一定值后,需要對(duì)軟體元件考慮損傷對(duì)其參數(shù)的影響.

2.3 考慮損傷的分?jǐn)?shù)階黏滯體

根據(jù)劉保國等人[19]的有關(guān)泥巖蠕變損傷試驗(yàn)規(guī)律的研究結(jié)論,可以將損傷因子定義為

式中,b為和材料性質(zhì)有關(guān)的參數(shù);σs為巖石損傷的門檻值,當(dāng)外界荷載達(dá)到這一門檻值時(shí),巖石內(nèi)部的裂隙發(fā)生擴(kuò)展,巖石發(fā)生加速蠕變,最后導(dǎo)致破壞;〈σ-σs〉為階躍函數(shù),其基本定義為

當(dāng)t→0時(shí),D→0;當(dāng)t→∞時(shí),D→1,此時(shí)受力巖體完全破壞.

根據(jù)式(16)所定義的損傷變量,再結(jié)合有效應(yīng)力與名義應(yīng)力之間的關(guān)系可以得出受力巖體有效應(yīng)力的表達(dá)式為

將式(18)代入式(15)可以得出考慮損傷效應(yīng)的軟體元件的蠕變方程

取σ0=10 MPa,σs=5 MPa,ξ0=1 000 MPa·hγ,b=10,根據(jù)式(19)可得不同情況下的考慮損傷的軟體元件的蠕變曲線,如圖5所示.

圖5 不同微分階次下考慮損傷的軟體元件的蠕變曲線

由圖5中的蠕變曲線可知,考慮巖石損傷后的軟體元件能夠很好地模擬巖石加速蠕變階段,在相同的時(shí)刻,微分階次越大,應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)變率就越大.

3 巖石蠕變?nèi)^程本構(gòu)模型

3.1 蠕變?nèi)^程模型的建立

傳統(tǒng)的Poyting-Thomson模型,由一個(gè)Maxwell體和一個(gè)彈性元件并聯(lián)組成,其力學(xué)模型如圖6所示.

圖6 Poyting-Thomson模型

對(duì)于Poyting-Thomson模型,其狀態(tài)方程為

式中,σ為模型總應(yīng)力;ε為模型總應(yīng)變;σE1、σE2、ση為對(duì)于元件的應(yīng)力;εE1、εE2、εη為對(duì)應(yīng)元件的應(yīng)變.

根據(jù)式(20)可以推出,Poyting-Thomson模型的本構(gòu)方程為

當(dāng)應(yīng)力σ保持σ0不變時(shí),其蠕變方程為

Poyting-Thomson模型可以反映巖石蠕變的瞬時(shí)彈性變形和衰減蠕變的性質(zhì),無法反映瞬時(shí)塑性變形和加速蠕變階段.所以,本文將裂隙壓密體元件和分?jǐn)?shù)階損傷軟體元件與Poyting-Thomson模型串聯(lián)組合,構(gòu)成一個(gè)新的能反映巖石蠕變?nèi)^程的模型,建立的模型如圖7所示.

圖7 反映巖石蠕變?nèi)^程的新模型

3.2 蠕變方程與蠕變特性

1)σ≤σD時(shí),模型退化為Poyting-Thomson模型,模型的蠕變方程為

模型特性：此時(shí)模型可以模擬巖石在低應(yīng)力狀態(tài)下,內(nèi)部裂隙沒有被壓密,僅發(fā)生瞬時(shí)彈性變形和穩(wěn)定蠕變,隨著t的增長逐漸減小趨向于0,變形曲線斜率逐漸減小,巖石變形趨于穩(wěn)定.

2)σD＜σ＜σs時(shí),裂隙壓密體模型參與流變,結(jié)合式(6),模型蠕變方程為

模型特性：此時(shí)模型模擬巖石在較大應(yīng)力狀態(tài)下,內(nèi)部裂隙被壓密,但是裂紋沒有繼續(xù)發(fā)展,巖石發(fā)生瞬時(shí)彈性變形、瞬時(shí)塑性變形和穩(wěn)定蠕變,?ε隨著t的增長逐漸減小趨于0,表現(xiàn)在蠕變曲線上曲線斜率逐漸減小,巖石變形趨于穩(wěn)定.

3)σ≥σs時(shí),裂隙壓密體模型和考慮損傷的分?jǐn)?shù)階黏滯體都參與流變,模型蠕變方程為

模型特性：t=0時(shí),¨ε為負(fù)值,t→∞時(shí),¨ε→∞,說明變形加速度經(jīng)歷一個(gè)從負(fù)值到零再到正值的全過程,正好對(duì)應(yīng)了蠕變過程的3個(gè)階段,反應(yīng)在蠕變曲線上,曲線形狀由凸曲線變?yōu)榘记€,加速上升直至巖石完全破壞.此時(shí)模型模擬巖石在高應(yīng)力狀態(tài)下,內(nèi)部裂隙大量發(fā)展,巖石發(fā)生瞬時(shí)彈性變形、瞬時(shí)塑性變形和加速蠕變,直至巖石破壞.

由此可以看出,本文建立的模型可以完全反映巖石蠕變過程中的瞬時(shí)彈性變形、瞬時(shí)塑性變形、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變,理論上可以模擬巖石蠕變?nèi)^程.

4 模型參數(shù)的確定及驗(yàn)證

為了驗(yàn)證建立的蠕變損傷模型的合理性,本文通過引入文獻(xiàn)[20]中的小滄山水電站巖樣蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù),利用數(shù)學(xué)中的最小二乘法來進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí),由此可得出模型的參數(shù),參數(shù)辨識(shí)結(jié)果見表1.

表1 模型蠕變參數(shù)表

將得出的理論蠕變曲線與試驗(yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果圖8所示,通過對(duì)比結(jié)果可知,模型理論曲線與試驗(yàn)曲線吻合程度較高,從而表明本文建立的蠕變損傷模型具有一定的合理性.

圖8 擬合曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比

5 結(jié) 論

本文通過在Poyting-Thomson模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)了裂隙閉合體元件和考慮損傷的分?jǐn)?shù)階黏滯體元件,建立了蠕變損傷模型,并將模型與巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比分析,由此得出了下列結(jié)論：

1)建立了蠕變損傷模型,該模型能描述初始巖石裂隙受壓的瞬時(shí)塑性變形和當(dāng)應(yīng)力超過長期強(qiáng)度時(shí)的巖石加速蠕變階段.

2)進(jìn)行了模型參數(shù)敏感性分析,微分階次越大,其加速效果越明顯,其他條件不變時(shí),應(yīng)變率與應(yīng)變量與材料參數(shù)ξ呈非線性關(guān)系,與當(dāng)應(yīng)力超過長期強(qiáng)度時(shí),應(yīng)變率與應(yīng)變量與應(yīng)力呈非線性關(guān)系.

3)通過將理論曲線與蠕變?cè)囼?yàn)曲線對(duì)比分析,理論曲線與試驗(yàn)曲線的吻合程度較高,表明本文建立的蠕變損傷模型的合理性.