毛澤標(biāo)，王瑞平，譚艷軍，傅靈玲

(寧波上中下自動變速器有限公司，浙江寧波 315800)

0 引言

隨著國內(nèi)汽車行業(yè)的飛速發(fā)展，變速器行業(yè)得到快速發(fā)展。不管哪種形式的變速箱，漸開線花鍵在變速器內(nèi)都得到了大量的應(yīng)用，漸開線花鍵具有承載能力大、對中性好、加工效率高等特點(diǎn)，非常適合大批量的產(chǎn)品應(yīng)用。尤其是漸開線花鍵的自定心作用，非常適合應(yīng)用在傳動精度要求較高的汽車變速箱傳動裝置內(nèi)。目前漸開線外花鍵基本上都是通過軋制或搓齒成型，內(nèi)花鍵都是通過成型拉刀拉削成型，生產(chǎn)效率非常高。但是由于漸開線花鍵具有復(fù)雜的齒廓面，所以在設(shè)計(jì)和裝配時的要求較高。利用UG等高端三維軟件可以建立漸開線花鍵復(fù)雜曲面精確模型。用精確的模型裝配進(jìn)行干涉和制造上的檢查，可以及時發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)制造中的問題從而進(jìn)行有效的規(guī)避。大多數(shù)的CAD軟件，基本上都沒有漸開線花鍵的參數(shù)化自動建模工具箱，并且有些工具自帶的漸開線花鍵建模工具也有一定的局限性或建模的精確度不高，故建立的模型是一種非精確的模型。本文作者基于UG軟件提出一種新的直齒漸開線花鍵的精確建模方法，能夠很好地建立精確的直齒漸開線花鍵模型。

直齒漸開線花鍵的精確模型的建模思路是：首先利用漸開線函數(shù)方程繪制出漸開線曲線，應(yīng)用平面漸開線在分度圓上的對稱性，求出其對稱的漸開線。利用漸開線花鍵的大小徑及齒根圓角形成一個漸開線花鍵齒的封閉截面，最后利用UG軟件的拉伸成型功能形成一個漸開線花鍵齒，最后通過軸線整列而形成一個完整的漸開線花鍵。

1 漸開線函數(shù)方程

當(dāng)直線BK沿圓周作純滾動時，直線上的任意點(diǎn)A的軌跡AK就是該圓的漸開線，如圖1所示。

圖1 漸開線形成原理

根據(jù)漸開線的成型原理，漸開線的數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)公式如下：rk為漸開線在任意點(diǎn)K的向徑，當(dāng)以此漸開線作為齒輪的齒廓，并與其共軛齒廓在點(diǎn)K嚙合時，則此齒廓在該點(diǎn)所受正壓力的方向與速度方向之間的夾角αk為漸開線在此點(diǎn)的壓力角[1]。由圖可見αk=∠BOK

cosαk=rb/rk

(1)

tanαk=BK/rb

(2)

又因

BK=AK

(3)

由式(1)(2)(3)可推導(dǎo)出漸開線函數(shù)的極坐標(biāo)方程為

rk=rb/cosαk

θk=tanαk-αk

(4)

2 建模思路及具體步驟

2.1 漸開線函數(shù)方程表達(dá)式的建立

漸開線成型方法是利用UG軟件來建立表達(dá)式。下面以齒數(shù)Z=32、模數(shù)m=1 mm、壓力角α=30°、變位系數(shù)X=0.05、大徑da=32.8 mm、小徑die=30.6 mm、跨棒距Mre=35.085～35.135、量棒直徑dp=2 mm、實(shí)際齒厚Smax=1.520 1 mm為例來講解漸開線花鍵的精確建模過程[2]。

在UG/NX的軟件內(nèi)，選擇模型的建模應(yīng)用功能，在菜單欄里選擇工具菜單，選擇表達(dá)式工具。彈出軟件參數(shù)化建模窗口。在表達(dá)式內(nèi)輸入漸開線函數(shù)的方程表達(dá)式[3]：

t=0//UG軟件內(nèi)部函數(shù)變量0≤t≤1

s=90*t //漸開線曲線角度起始角到終止角0°-90°

db=m*z*cos(α)=27.7128//漸開線基圓直徑

xt= db/2*cos(s)+db/2*rad(s)*sin(s)//漸開線函數(shù)X軸方向的坐標(biāo)

yt= db/2*sin(s)-db/2*rad(s)*cos(s)//漸開線函數(shù)Y軸方向的坐標(biāo)

zt=0//漸開線函數(shù)Z軸方向的坐標(biāo)

2.2 繪制漸開線曲線

定義好準(zhǔn)確的漸開線函數(shù)后，點(diǎn)擊確定關(guān)閉參數(shù)化建模窗口。注意所有參量必須選擇不帶單位的恒定數(shù)，否則會因?yàn)閱挝徊灰恢露l(fā)生錯誤。接下來就是引用剛才建立的函數(shù)來建立空間坐標(biāo)系下的漸開線曲線。

選擇菜單欄內(nèi)的插入工具條，選擇插入曲線，選擇插入規(guī)律曲線。在彈出的對話框內(nèi)選擇根據(jù)方程式來產(chǎn)生規(guī)律曲線，方程的變量選擇根據(jù)t的變化來產(chǎn)生曲線，然后點(diǎn)擊確定就會得到三維坐標(biāo)系下XY平面內(nèi)的漸開線曲線，如圖2所示。

圖2 漸開線曲線

2.3 漸開線花鍵齒草繪截面的形成

接下來便是在XY平面上來進(jìn)行草繪，首先選擇草繪平面XY，在UG的草繪模式下選擇投影曲線，把剛才建立的漸開線曲線引用到草繪平面上來。按計(jì)算的分度圓，繪制漸開線花鍵的分度圓。分度圓與漸開線曲線相交形成交點(diǎn)。利用快速剪切工具，剪切分度圓之內(nèi)的曲線，這樣找出漸開線曲線上的分度圓的點(diǎn)。利用分度圓心點(diǎn)和漸開線分度圓上的點(diǎn)作曲線，然后把曲線固定住。接下來利用數(shù)學(xué)函數(shù)式來求其對稱的漸開線曲線。其數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系如下式：

s=rθ

(5)

其中：s為分度圓的齒厚；r為分度圓的半徑。根據(jù)齒厚可求得分度圓齒厚對應(yīng)的角度。其角度的一半所作的直線便是分度圓齒厚的對稱中心線。求出θ=5.443 457°。作漸開線齒厚的對稱中心線，如圖3所示。

圖3 漸開線曲線投影示意

利用UG軟件的投影引用功能，繼續(xù)把漸開線引用到草繪視圖中來，利用UG軟件的鏡像對稱功能，把漸開線對稱過去，這樣就可以得到兩個齒廓面的漸開線了。而后在草繪視圖中畫出花鍵的大小徑和齒根圓角，就可以得到單個漸開線齒的一個截面形狀，如圖4所示。

圖4 漸開線花鍵單齒截面

2.4 漸開線花鍵輪齒的形成

按上述得到漸開線花鍵的草繪截面，利用三維軟件的拉伸成型功能，對草繪平面進(jìn)行拉伸就可以得到漸開線花鍵的一個完整的齒，如圖5所示。

最后再利用UG軟件的陣列功能，選擇單個實(shí)體漸開線花鍵，選擇陣列的中心軸線，選擇沿軸線均勻分布的圓周陣列形式，輸入陣列的角度θ=360/Z=360/32=11.25°，并選擇陣列后的實(shí)體相加模式。這樣就可以得出整個精確的漸開線花鍵，如圖6所示。

圖5 單齒漸開線花鍵圖

3 精確模型在設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

精確的漸開線花鍵不僅可以校核花鍵的設(shè)計(jì)干涉情況，還可以對花鍵量棒的選擇進(jìn)行分析校核。例如用相同的原理可以做出漸開線花鍵的內(nèi)花鍵的精確模型。進(jìn)行精確的裝配模擬可以知道花鍵齒厚方向的干涉情況，如圖7所示。

圖7 精確剪開線花鍵裝配示意

有了精確的漸開線花鍵模型還可以知道漸開線外花鍵和內(nèi)花鍵配合(大徑定心配合)時，其齒頂與齒根的干涉情況，從而校核出內(nèi)外花鍵的齒根圓角設(shè)計(jì)是否合理、齒厚和齒槽寬的設(shè)計(jì)是否合理等復(fù)雜情況，避免后續(xù)實(shí)際生產(chǎn)裝配時出現(xiàn)壓裝力過大無法壓裝或者齒側(cè)間隙過大出現(xiàn)花鍵的蠕動損傷等情況的發(fā)生，如圖8所示。

有了精確的模型后，還可對漸開線花鍵的量棒直徑選擇做出精確的校核判斷，尤其是量棒直徑過小時，會造成量棒與齒根圓直徑直接干涉的情況[4]，如圖9所示。

圖8 漸開線花鍵齒根圓角檢查示意

圖9 漸開線花鍵量棒直徑檢查示意

4 結(jié)束語

從漸開線的原理出發(fā)，建立漸開線的函數(shù)方程。利用漸開線的函數(shù)方程及UG軟件的方程曲線成型原理繪制漸開線曲線。這是一種精確的漸開線曲線繪制方法。而后利用數(shù)學(xué)的曲線弧長與弧度的對應(yīng)關(guān)系計(jì)算出漸開線花鍵的分度圓齒厚的對稱中心線，利用中心對稱原理求出漸開線花鍵齒廓另外一面的漸開線來形成一個花鍵齒截面。最后利用UG軟件的常用三維建模功能拉伸和圓周陣列來完成整個精確漸開線花鍵模型的建立。這是一種新型的數(shù)字化精確建模方法，它不僅僅可在UG軟件上應(yīng)用，也是一種可用于所有CAD三維軟件的精確建模方法。

本文作者還就精確漸開線花鍵模型在設(shè)計(jì)校核領(lǐng)域的一些常見應(yīng)用展開了討論，對一些很難用計(jì)算方法校核的情況進(jìn)行了深入的分析和說明。