羅若帆，王仕成，陳奇納，歐陽志勇

（1、嘉應學院土木工程學院 廣東梅州514015；2、廣東省建筑設計研究院 廣州510010；3、悉地國際設計顧問（深圳）有限公司 深圳518048）

高層建筑結構方案的優(yōu)化對結構設計至關重要，對于高層及超高層結構，剛度控制尤為重要，結構設計人員能否快速準確調(diào)整結構剛度，決定了結構設計全過程的效率。有學者運用能量法中的單位載荷法對控制點位移進行調(diào)整［1-2］，但實際工程更側重結構整體剛度的控制，實踐表明該方法對結構剛度調(diào)整效率不高。文章通過簡單算例，驗證了SAP2000 軟件虛功圖的工作原理，并根據(jù)應變能和卡氏定理的關系［3］，對比驗證了軟件的輸出結果，推導展示了結構應變能與剛度的關系，以此為基礎對結構剛度進行調(diào)整，并采用該方法對一超高層結構進行截面調(diào)整，結果表明該方法對快速準確調(diào)整結構剛度具有較高的效率。

1 實功法在桁架模型中的應用

1.1 桁架模型的建立

為驗證實功法在軟件中應用的可行性，在SAP2000 中建立簡單二維桁架模型，設置所有桿件截面均采用φ100×6的鋼管，材料均為Q345，不考慮結構自重，荷載工況僅考慮指定水平荷載，結構布置及荷載分布如圖1 所示。

圖1 結構布置Fig.1 Layout of the Structure

1.2 實功法的應用

基于“虛功原理”的虛功法僅考慮單位荷載作用位置為位移監(jiān)測點，所有的調(diào)整均直接作用于該點。實際工程上更側重結構整體剛度的控制，如滿足層間位移角限值、結構頂點風振加速度限值等。因此采用另一種基于能量法的分析方法，即以外力功與結構所有構件應變能之和相等的實功法，該方法計算位移的能力不如虛功法靈活全面，但根據(jù)其計算原理，可高效運用于調(diào)整結構剛度。

已知外力所做的功，可表達為：

式中：Fi為作用點外力；△i為作用點位移。

應變能是結構變形過程中貯存在結構內(nèi)部的勢能，可分為構件應變能和結構應變能，結構應變能等于所有構件應變能之和，根據(jù)卡氏定理［4］，桿件應變能計算公式如下：

桁架只考慮軸力，式⑵可簡化為：

桁架中各桿截面面積和軸力沿桿長為常數(shù)，式⑶可簡化為：

式中：vεi為桿件應變能；Ni為實際荷載下桿件內(nèi)力。

根據(jù)能量守恒定律，桿件應變能等于外力功：

結構外力做功等于結構所有桿件應變能之和：

結構剛度與變形關系可定義為：

根據(jù)式⑴、式⑹和式⑺可得到結構剛度與應變能之間的關系：

由式⑻可知，結構剛度與桿件應變能之和成反比，由式⑶可知，應變能無負功，因此增大桿件截面，應變能總和將減小，結構剛度增加，而增大應變能較大的桿件截面，對該桿件的應變能減小較多，而內(nèi)力重分布幅度較小，對其他桿件影響較小，因此對提高結構剛度有更好的效果。由于該方法在軟件中的應用未見文獻報道，故采用SAP2000 軟件中輸出虛功圖的功能，通過該桁架算例，對該功能計算結果與手算進行完整的全過程對比?；趯嵐Ψǎ瑢嶋H狀態(tài)和虛擬狀態(tài)均設置為采用實際荷載分布，如圖2 所示。

圖2 荷載布置Fig.2 Load Distribution

由于SAP2000 輸出虛功圖數(shù)值為單位體積下的，即為：

桿件應變能除以體積V 為應變能密度，由式⑷除以V 可得：

為驗證數(shù)據(jù)的準確性，對該桁架模型所有桿件進行手算應變能密度，并與軟件數(shù)據(jù)進行對比，軸力圖及軟件輸出虛功圖如圖3 所示，桿件按照輸出虛功值的大小編號，由于10 號桿軸力為0，故不計算。計算對比結果如表1 所示。

圖3 桿件軸力及輸出虛功值Fig.3 Axial Force of Members and Virtual Work Value

表1 公式計算值與軟件輸出值Tab.1 Formula Value and Software Value

從表1 數(shù)值對比結果可知，軟件輸出虛功圖數(shù)值為應變能密度的2 倍，即無論實際工況與虛擬工況如何設置，其值均由式⑾計算：

該數(shù)值雖然與應變能密度存在2 倍的關系，但仍可反映應變能密度，根據(jù)式⑻，可知其與剛度之間的關系，顯然通過增大應變能密度最大的桿件，對結構剛度的提高效率最高，為了更直觀地觀察桿件間的應變能大小關系，通過軟件輸出虛功相對值，如圖4 所示。該數(shù)值為桿件虛功值除以虛功值最大的桿件的值，再乘以放大系數(shù)100 后的結果，按式⑿計算：

圖4 應變能密度相對值Fig.4 Relative Value of Strain Energy Density

表2 調(diào)整各桿件截面的計算結果Tab.2 The Calculation Results after Adjusting the Cross Section of Each Member

根據(jù)調(diào)整結果可以看出，調(diào)整應變能密度大的桿件，減小桿件應變能密度和效率更高，由于外力做功等于桿件應變能之和，在外力恒定的情況下，總體位移將減小，桿件應變能之和減小的幅度大，則總體位移減小較多，而增大桿件應變能密度小的桿件，效率則較低。由于外力做功與應變能直接相關，由式⑽可知應變能密度與應變能的關系，由于2 號桿的長度比1 號桿長，因此雖然1 號桿應變能密度較大，但其應變能較2 號桿略小，實際工程中大部分構件均為豎直方向，長度相同，且尺寸不會相差太大，因此采用更直觀的應變能密度相對值來調(diào)整桿件效率更高。

2 實功法在工程中的應用

在實際工程中，結構受力復雜，任何構件均承受軸力、彎矩、剪力、扭矩等作用，人工計算難度較大，因此可采用已在桁架模型中驗證的方法，對工程模型進行調(diào)整。

2.1 工程概況

建筑為LOFT 公寓，結構體系為剪力墻結構，層數(shù)為35 層，層高為4.5 m，結構總高度157.5 m，抗震設防烈度為7 度（0.10 g），地震分組為第一組，場地類別為Ⅱ類，基本風壓為0.55 kN/m2，地面粗糙度類別為C 類，體型系數(shù)為1.40。層間位移角限值為1/766（該工程執(zhí)行《高層建筑混凝土結構技術規(guī)程（廣東省標準）：DBJ 15-92-2013》［5］）。圖5 為原結構布置圖（結構布置完全對稱，因此取原結構平面圖的一半示意），最大層間位移角為1/643（27 層，Y 向風荷載工況），Y 向第1 周期為3.88 s。

圖5 首層應變能密度相對值Fig.5 Relative Value of Strain Energy Density in the First Layer （kN，mm）

2.2 剛度調(diào)整

根據(jù)全樓應變能密度分布可以看出，全樓底部約1/4 高度范圍內(nèi)應變能密度較大，越往上應變能密度越小，因此可主要調(diào)整下部標準層截面，根據(jù)平面圖應變能密度相對值（見圖5），外圍墻翼緣應變能密度值較大，內(nèi)部剪力墻及梁數(shù)值較小，因此直接調(diào)整外圍翼緣截面。由于需要控制剛度的方向為Y 方向，翼緣厚度為截面計算高度h，因此增大翼緣厚度對提高慣性矩I 更有效。截面調(diào)整情況如圖6 所示（填充部分為增加的截面）。經(jīng)過微小的調(diào)整，周期為3.49 s，最大層間位移角降低為1/767，滿足規(guī)范限值的要求。

圖6 結構平面圖Fig.6 Structure Plan

3 結論

采用實功法可計算出結構應變能，并推導出應變能與剛度之間的關系，根據(jù)應變能密度的大小關系，可快速高效調(diào)整剛度。工程中結構構件應變能由彎矩、剪力和軸力等貢獻，由簡單桁架模型推導并驗證的結論，可直接在工程結構中應用，根據(jù)應變能密度及大小關系調(diào)整截面尺寸，可高效地調(diào)整結構剛度。