羅若帆,王仕成,陳奇納,歐陽志勇
(1、嘉應學院土木工程學院 廣東梅州514015;2、廣東省建筑設計研究院 廣州510010;3、悉地國際設計顧問(深圳)有限公司 深圳518048)
高層建筑結構方案的優(yōu)化對結構設計至關重要,對于高層及超高層結構,剛度控制尤為重要,結構設計人員能否快速準確調(diào)整結構剛度,決定了結構設計全過程的效率。有學者運用能量法中的單位載荷法對控制點位移進行調(diào)整[1-2],但實際工程更側重結構整體剛度的控制,實踐表明該方法對結構剛度調(diào)整效率不高。文章通過簡單算例,驗證了SAP2000 軟件虛功圖的工作原理,并根據(jù)應變能和卡氏定理的關系[3],對比驗證了軟件的輸出結果,推導展示了結構應變能與剛度的關系,以此為基礎對結構剛度進行調(diào)整,并采用該方法對一超高層結構進行截面調(diào)整,結果表明該方法對快速準確調(diào)整結構剛度具有較高的效率。
為驗證實功法在軟件中應用的可行性,在SAP2000 中建立簡單二維桁架模型,設置所有桿件截面均采用φ100×6的鋼管,材料均為Q345,不考慮結構自重,荷載工況僅考慮指定水平荷載,結構布置及荷載分布如圖1 所示。
圖1 結構布置Fig.1 Layout of the Structure
基于“虛功原理”的虛功法僅考慮單位荷載作用位置為位移監(jiān)測點,所有的調(diào)整均直接作用于該點。實際工程上更側重結構整體剛度的控制,如滿足層間位移角限值、結構頂點風振加速度限值等。因此采用另一種基于能量法的分析方法,即以外力功與結構所有構件應變能之和相等的實功法,該方法計算位移的能力不如虛功法靈活全面,但根據(jù)其計算原理,可高效運用于調(diào)整結構剛度。
已知外力所做的功,可表達為:
式中:Fi為作用點外力;△i為作用點位移。
應變能是結構變形過程中貯存在結構內(nèi)部的勢能,可分為構件應變能和結構應變能,結構應變能等于所有構件應變能之和,根據(jù)卡氏定理[4],桿件應變能計算公式如下:
桁架只考慮軸力,式⑵可簡化為:
桁架中各桿截面面積和軸力沿桿長為常數(shù),式⑶可簡化為:
式中:vεi為桿件應變能;Ni為實際荷載下桿件內(nèi)力。
根據(jù)能量守恒定律,桿件應變能等于外力功:
結構外力做功等于結構所有桿件應變能之和:
結構剛度與變形關系可定義為:
根據(jù)式⑴、式⑹和式⑺可得到結構剛度與應變能之間的關系:
由式⑻可知,結構剛度與桿件應變能之和成反比,由式⑶可知,應變能無負功,因此增大桿件截面,應變能總和將減小,結構剛度增加,而增大應變能較大的桿件截面,對該桿件的應變能減小較多,而內(nèi)力重分布幅度較小,對其他桿件影響較小,因此對提高結構剛度有更好的效果。由于該方法在軟件中的應用未見文獻報道,故采用SAP2000 軟件中輸出虛功圖的功能,通過該桁架算例,對該功能計算結果與手算進行完整的全過程對比?;趯嵐Ψǎ瑢嶋H狀態(tài)和虛擬狀態(tài)均設置為采用實際荷載分布,如圖2 所示。
圖2 荷載布置Fig.2 Load Distribution
由于SAP2000 輸出虛功圖數(shù)值為單位體積下的,即為:
桿件應變能除以體積V 為應變能密度,由式⑷除以V 可得:
為驗證數(shù)據(jù)的準確性,對該桁架模型所有桿件進行手算應變能密度,并與軟件數(shù)據(jù)進行對比,軸力圖及軟件輸出虛功圖如圖3 所示,桿件按照輸出虛功值的大小編號,由于10 號桿軸力為0,故不計算。計算對比結果如表1 所示。
圖3 桿件軸力及輸出虛功值Fig.3 Axial Force of Members and Virtual Work Value
表1 公式計算值與軟件輸出值Tab.1 Formula Value and Software Value
從表1 數(shù)值對比結果可知,軟件輸出虛功圖數(shù)值為應變能密度的2 倍,即無論實際工況與虛擬工況如何設置,其值均由式⑾計算:
該數(shù)值雖然與應變能密度存在2 倍的關系,但仍可反映應變能密度,根據(jù)式⑻,可知其與剛度之間的關系,顯然通過增大應變能密度最大的桿件,對結構剛度的提高效率最高,為了更直觀地觀察桿件間的應變能大小關系,通過軟件輸出虛功相對值,如圖4 所示。該數(shù)值為桿件虛功值除以虛功值最大的桿件的值,再乘以放大系數(shù)100 后的結果,按式⑿計算:
圖4 應變能密度相對值Fig.4 Relative Value of Strain Energy Density
表2 調(diào)整各桿件截面的計算結果Tab.2 The Calculation Results after Adjusting the Cross Section of Each Member
根據(jù)調(diào)整結果可以看出,調(diào)整應變能密度大的桿件,減小桿件應變能密度和效率更高,由于外力做功等于桿件應變能之和,在外力恒定的情況下,總體位移將減小,桿件應變能之和減小的幅度大,則總體位移減小較多,而增大桿件應變能密度小的桿件,效率則較低。由于外力做功與應變能直接相關,由式⑽可知應變能密度與應變能的關系,由于2 號桿的長度比1 號桿長,因此雖然1 號桿應變能密度較大,但其應變能較2 號桿略小,實際工程中大部分構件均為豎直方向,長度相同,且尺寸不會相差太大,因此采用更直觀的應變能密度相對值來調(diào)整桿件效率更高。
在實際工程中,結構受力復雜,任何構件均承受軸力、彎矩、剪力、扭矩等作用,人工計算難度較大,因此可采用已在桁架模型中驗證的方法,對工程模型進行調(diào)整。
建筑為LOFT 公寓,結構體系為剪力墻結構,層數(shù)為35 層,層高為4.5 m,結構總高度157.5 m,抗震設防烈度為7 度(0.10 g),地震分組為第一組,場地類別為Ⅱ類,基本風壓為0.55 kN/m2,地面粗糙度類別為C 類,體型系數(shù)為1.40。層間位移角限值為1/766(該工程執(zhí)行《高層建筑混凝土結構技術規(guī)程(廣東省標準):DBJ 15-92-2013》[5])。圖5 為原結構布置圖(結構布置完全對稱,因此取原結構平面圖的一半示意),最大層間位移角為1/643(27 層,Y 向風荷載工況),Y 向第1 周期為3.88 s。
圖5 首層應變能密度相對值Fig.5 Relative Value of Strain Energy Density in the First Layer (kN,mm)
根據(jù)全樓應變能密度分布可以看出,全樓底部約1/4 高度范圍內(nèi)應變能密度較大,越往上應變能密度越小,因此可主要調(diào)整下部標準層截面,根據(jù)平面圖應變能密度相對值(見圖5),外圍墻翼緣應變能密度值較大,內(nèi)部剪力墻及梁數(shù)值較小,因此直接調(diào)整外圍翼緣截面。由于需要控制剛度的方向為Y 方向,翼緣厚度為截面計算高度h,因此增大翼緣厚度對提高慣性矩I 更有效。截面調(diào)整情況如圖6 所示(填充部分為增加的截面)。經(jīng)過微小的調(diào)整,周期為3.49 s,最大層間位移角降低為1/767,滿足規(guī)范限值的要求。
圖6 結構平面圖Fig.6 Structure Plan
采用實功法可計算出結構應變能,并推導出應變能與剛度之間的關系,根據(jù)應變能密度的大小關系,可快速高效調(diào)整剛度。工程中結構構件應變能由彎矩、剪力和軸力等貢獻,由簡單桁架模型推導并驗證的結論,可直接在工程結構中應用,根據(jù)應變能密度及大小關系調(diào)整截面尺寸,可高效地調(diào)整結構剛度。