周艷麗，濮桂萍

（1.上海健康醫(yī)學(xué)院 文理教學(xué)部，上海 201318；2.上海健康醫(yī)學(xué)院 健康信息技術(shù)與管理學(xué)院，上海 201318）

1 問(wèn)題的提出

在以往經(jīng)典的傳染病模型研究中，常用的傳染率多為雙線型傳染率和標(biāo)準(zhǔn)型傳染率。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，由于傳染病傳播方式和傳播途徑的復(fù)雜性，很難準(zhǔn)確地表述發(fā)生率、接觸率以及疾病潛伏期的人數(shù)等因素之間的因果關(guān)系。非線性傳染率能更精確地揭示傳染病的傳播機(jī)理。另外，時(shí)滯在傳染病的傳播過(guò)程中也是不可忽視的，它可用來(lái)描述患者對(duì)疾病的感染期、恢復(fù)者對(duì)疾病的免疫期、疾病的潛伏期等。為了控制疾病傳播，接種疫苗已經(jīng)成為消除傳染病的一個(gè)重要策略，因此，研究具有接種的傳染病模型已成為傳染病學(xué)中重要的研究?jī)?nèi)容。接種疫苗可以使接種者獲得永久的免疫力或暫時(shí)性的免疫力。暫時(shí)性免疫期的長(zhǎng)度可以影響疾病發(fā)生發(fā)展的狀況，許多學(xué)者研究了具有疫苗接種的傳染病模型[1-4]。因此，傳染病模型利用非線性時(shí)滯方程來(lái)描述更符合實(shí)際，能更精準(zhǔn)地為預(yù)防和控制疾病傳播提供有效的防御策略。有關(guān)具有非線性傳染率和時(shí)滯的模型的研究已經(jīng)取得了很多成果[5-9]。

為了更好地解釋傳染病傳播機(jī)理，本文將在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，將文獻(xiàn)[10]中的雙線型傳染率改為一般性的非線性傳染率。模型為

2 模型研究

考慮到模型（1）的實(shí)際情況，假設(shè)模型（1）的初始條件為

3 數(shù)值模擬和結(jié)論

利用Higham[14]提出的Milstein的高階離散方法，對(duì)模型（1）在初值為(S(0),I(0),V(0))=(3,3,3時(shí)進(jìn)行數(shù)值模擬，其中，，選取參數(shù)A=2,β=1,γ=0.5,μ=0.1,q=0.3,p=0.2,α=0.2。比較圖1中不同的 τ值：當(dāng) τ較小時(shí)，感染人群的平衡點(diǎn)大于τ=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的的平衡點(diǎn)；當(dāng) τ較大時(shí)，感染人群的平衡點(diǎn)小于τ=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的的平衡點(diǎn)染病者的平衡點(diǎn)隨著 τ值的增大而變小。

圖1 取不同 τ值時(shí)感染人群隨時(shí)間的變化曲線Fig.1 Variatio n of infective population with time for different value of delayτ

本文討論了一類更符合實(shí)際、更復(fù)雜的非線性傳染率的SIS傳染病接種模型，能更好地體現(xiàn)疾病的傳播機(jī)理，具有重要的生物學(xué)意義，得到了疾病存在與否的閾值——基本再生數(shù)R0。當(dāng)R0≤1時(shí)，模型（1）存在唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)E0，通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)，利用Lyapunov-LaSalle不變集原理得到此平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，即疾病滅絕；當(dāng)R0＞1時(shí)，模型（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)，且是全局漸近穩(wěn)定的，即疾病將持續(xù)存在。從以上結(jié)論可知，通過(guò)調(diào)控接種參數(shù)以及其他相關(guān)參數(shù)，可以使得模型的閾值R0小于1，從而達(dá)到控制疾病流行的目的。同時(shí)，通過(guò)數(shù)值模擬直觀地觀察到感染人群的數(shù)量隨著 τ值的變化情況，這為疾病防控部門有效地預(yù)防和控制疾病傳播提供了重要的理論依據(jù)。