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        非線性需求下多寡頭博弈模型的動力學(xué)分析

        2019-10-14 05:34:30路正玉于歡歡王文靜
        關(guān)鍵詞:寡頭廠商狀態(tài)

        路正玉,于歡歡,王文靜,趙 娜

        (蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

        在社會和科技不斷發(fā)展的同時,經(jīng)濟(jì)也在不斷發(fā)展,像銀行、保險等.伴隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,出現(xiàn)了一些嚴(yán)重的社會問題,價格競爭[1]就是其中一個.價格競爭的出現(xiàn)源自于各大廠商都想著擴(kuò)大自己的市場,想通過調(diào)整自己產(chǎn)品的價格和其它廠家競爭,于是就出現(xiàn)了寡頭壟斷現(xiàn)象[2].市場往往被幾個寡頭壟斷,這是市場普遍存在的一種形式.López 等[3]基于經(jīng)濟(jì)學(xué)家Bertrand 的研究提出了一個雙重寡頭壟斷模型,這個模型是以通過價格競爭來贏得市場為目的的一種模型.消費(fèi)者喜歡選擇價格低的產(chǎn)品,寡頭壟斷者就通過降低他們產(chǎn)品價格來贏得更多的消費(fèi)者.Agiza等[4-5]對多寡頭博弈下市場穩(wěn)定存在時商品的價格變化區(qū)間進(jìn)行了研究,在該區(qū)間發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的存在.Ahmed 等[6-10]通過研究市場上各廠家為了吸引消費(fèi)者所作的廣告,得出了一個新的模型:廣告競爭模型,并且還得出了Lyapunov 指數(shù).通過這些研究結(jié)論能夠分析出價格的復(fù)雜變化.楊樹等[11-14]研究了房地產(chǎn)市場的一些壟斷情況,發(fā)現(xiàn)真正的納什均衡可以在有界有理不完全信息的動態(tài)重復(fù)博弈下進(jìn)行.

        企業(yè)之間的行為都是相關(guān)的,它們之間互相影響.企業(yè)主要通過價格競爭在市場上相互制約,商品合理的定價直接影響到價格競爭的成功與否.在當(dāng)今的寡頭市場上,產(chǎn)品的性質(zhì)基本上是相同的,每一家企業(yè)的定價決策和目的都很容易被其它企業(yè)覺察到.可以看出,現(xiàn)在的寡頭企業(yè)的市場份額之間存在著一種促進(jìn)和抑制的關(guān)系,所以,寡頭企業(yè)的生存與發(fā)展的著重點(diǎn)就在定價的策略上.寡頭企業(yè)定制價格,不僅要有豐富經(jīng)驗的先驅(qū)決策者,還要有先進(jìn)的科學(xué)的指導(dǎo)理論,博弈論就是能夠為寡頭企業(yè)定價策略提供正確指導(dǎo)的科學(xué)理論.本文將利用博弈論的相關(guān)理論建立模型,分析企業(yè)在同樣的產(chǎn)品性質(zhì)下的價格定制策略.

        1 模型的建立

        假設(shè)市場上有兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的企業(yè),企業(yè)1 和企業(yè)2 生產(chǎn)的產(chǎn)品具有一定的替代關(guān)系,生產(chǎn)的產(chǎn)品分別記為A 和B.一個寡頭企業(yè)不僅影響自己的決策,而且影響其它寡頭企業(yè)的決策,甚至改變整個市場的運(yùn)行狀態(tài).產(chǎn)品價格、銷售量分別記為pi,qi(i=1, 2),則寡頭企業(yè)1 和企業(yè)2 的線性需求函數(shù)可設(shè)為:

        假設(shè)企業(yè)i(i=1, 2)成本函數(shù)形式為cipi,其中ci(i=1, 2)為企業(yè)技術(shù)水平對價格的敏感系數(shù),則寡頭企業(yè)i的利潤函數(shù)表達(dá)式為:

        整理可得:

        因為市場上各企業(yè)占據(jù)了不同的市場信息,市場信息表現(xiàn)為不完全性,對于寡頭壟斷者的企業(yè)也是如此,在有限的信息下,他們在市場競爭中只能對價格的調(diào)整策略作出合理的決策.當(dāng)兩個企業(yè)的價格調(diào)整策略差不多時,認(rèn)為他們是采用了有限的決策方式,主要就是通過市場上的利潤反饋信息來對價格進(jìn)行調(diào)整.下一期的價格調(diào)整信息是由這一期的市場利潤和價格信息分析得出的.兩個企業(yè)采用上述規(guī)則進(jìn)行決策時,也就是說如果邊際利潤為正,市場上產(chǎn)品的需求量就會增加,相反,如果邊際利潤為負(fù),市場上產(chǎn)品的需求就會減少.下列式子中v1和v2為價格調(diào)整速度,價格的調(diào)整策略可以表述為:

        其中pi(t+ 1)和pi(t)分別表示第t+ 1期和第t期的價格.第t期,原寡頭企業(yè)的邊際利潤函數(shù)為:

        令?π1?p1=0,?π2?p2=0時就能得到企業(yè)1 和企業(yè)2 的反應(yīng)方程:

        依據(jù)以上分析,得出如下基于不同預(yù)期的雙寡頭投資動態(tài)調(diào)整模型:

        其中a1>0和a2>0分別表示產(chǎn)品的市場容量;α1>0和α2>0分別表示企業(yè)產(chǎn)品A 和B 對自身價格的敏感度;β1>0和β2>0分別表示企業(yè)產(chǎn)品A 和B 對對方產(chǎn)品價格的敏感度.在兩個企業(yè)同時決策的情況下,假定兩企業(yè)的邊際成本分別為c1和c2,沒有固定的成本.

        2 模型分析

        產(chǎn)品A 產(chǎn)品B 存在著一定的替代關(guān)系,但不是相同性質(zhì)的產(chǎn)品,此時α1,α2,β1,β2均為有限的正實數(shù).考慮反應(yīng)方程:

        由隱函數(shù)定理得,當(dāng)D≠ 0時,反應(yīng)方程組能夠確定唯一的一個函數(shù):p1(α1,α2,β1,β2),p2(α1,α2,β1,β2),所以,可以確定唯一的一組均衡價格p1,p2.

        3 數(shù)值模擬

        為了更好地了解系統(tǒng)的動力學(xué)特性,在這部分,主要通過模擬系統(tǒng)在不同參數(shù)范圍下的復(fù)雜動力學(xué)行為來定性地分析系統(tǒng)的動力學(xué)特性.

        3.1 調(diào)整速度v1和v2對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

        圖1 是系統(tǒng)寡頭企業(yè)的商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)v1的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)圖.通過不斷調(diào)整其它參數(shù),嘗試著用Matlab 繪制一些圖形.取一組參數(shù)不變:a1=0.4,a2=0.3,α1=0.9,α2=0.9,β1=0.05,β2=0.7,c1=0.4,c2=0.5,v2=0.2,繪制系統(tǒng)(7)關(guān)于v1的單參數(shù)分岔圖,如圖1(a)所示.從圖1(a)中看出,當(dāng)參數(shù)0<v1<2.42時,系統(tǒng)是很穩(wěn)定的,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間時,市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序,有利于社會的穩(wěn)定發(fā)展,企業(yè)之間的相對競爭力度較小,各企業(yè)相對穩(wěn)定存在;當(dāng)參數(shù)2.42<v1<2.9時,系統(tǒng)就出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象,當(dāng)混沌現(xiàn)象發(fā)生時市場就會進(jìn)入到一種混亂無序的雜亂狀態(tài),在這種情況下,無論是企業(yè)自己還是他們的競爭者都無法避免受混亂狀態(tài)的影響,尤其對市場上的一些根基并不穩(wěn)固的小廠家來說,生存是很困難的,市場的不穩(wěn)定影響的就不只是市場了,整個社會都會受其影響,這個時候,寡頭企業(yè)1 的管理者就應(yīng)該控制價格的相關(guān)調(diào)整策略和他們產(chǎn)品的價格調(diào)整速度,盡量不要因為眼前的利益發(fā)動價格戰(zhàn),進(jìn)而產(chǎn)生市場的混亂.

        根據(jù)判斷系統(tǒng)狀態(tài)的最大的Lyapunov 指數(shù),得到相對于圖1(a)的最大Lyapunov 指數(shù)如圖1(b)所示.最大Lyapunov 指數(shù)的不同表示系統(tǒng)的狀態(tài)不相同,當(dāng)最大Lyapunov 指數(shù)小于0時,系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài),最大Lyapunov 指數(shù)大于0時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

        圖2 是系統(tǒng)寡頭企業(yè)商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)v2的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)圖.通過不斷調(diào)整其它參數(shù),固定一組參數(shù)不變:a1=0.2,a2=0.2,α1=0.8,α2=1,β1=0.3,β2=0.2,v1=0.1,c1=0.2,c2=0.3,繪制系統(tǒng)(7)關(guān)于v2的單參數(shù)分岔圖,如圖2(a)所示.從圖2 中可以看出,當(dāng)參數(shù)0<v2<1.36時,系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期,市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序盈利,有利于社會的穩(wěn)定發(fā)展,企業(yè)之間的相對競爭力度較小,各企業(yè)相對穩(wěn)定運(yùn)營;當(dāng)參數(shù)1.36<v2<1.71時,就變成了混沌狀態(tài).圖2(a)的最大Lyapunov 指數(shù)如圖2(b)所示.

        圖1 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù)v1的分岔圖和相應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 1 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersv1of System (7)

        圖2 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù)v2的分岔圖和相應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 2 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersv2of System (7)

        3.2 敏感度1β和2β對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

        下面討論寡頭廠商A(B)所生產(chǎn)的產(chǎn)品對寡頭廠商B(A)生產(chǎn)的產(chǎn)品的替代率β1(β2)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

        圖3 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)β1的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)圖.通過不斷調(diào)整其它參數(shù),取一組參數(shù)不變:a1=1 ,a2=0.5,α1=2 ,α2=0.5,β2=0.5,v1=0.2,v2=0.2,c1=0.2,c2=0.1,繪制系統(tǒng)(7)關(guān)于β1的單參數(shù)分岔圖,如圖3(a)所示.可以看出,當(dāng)參數(shù)0<β1<6.42時,系統(tǒng)是很穩(wěn)定的,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間,市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序;當(dāng)參數(shù)6.42<β1<6.79時,就變成了混沌狀態(tài),當(dāng)混沌現(xiàn)象發(fā)生時市場就會進(jìn)入到一種混亂無序的雜亂狀態(tài),在這種情況下,無論是廠商自己還是他們的競爭者都無法避免受混亂狀態(tài)的影響,尤其對市場上的一些根基并不穩(wěn)固的小廠家來說,生存是很困難的,市場的不穩(wěn)定影響的就不只是市場了,整個社會都會受其影響,在這個時候,寡頭廠商A 管理者應(yīng)盡力控制產(chǎn)品替代率,盡量不要因為眼前利益就發(fā)動價格戰(zhàn),進(jìn)而造成市場混亂.根據(jù)判斷系統(tǒng)狀態(tài)的最大Lyapunov 指數(shù),得到相對于圖3(a)的最大Lyapunov 指數(shù),如圖3(b)所示.最大Lyapunov指數(shù)的不同表示系統(tǒng)的狀態(tài)不相同,當(dāng)最大Lyapunov 指數(shù)小于0時,系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài),最大Lyapunov 指數(shù)大于0時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

        圖3 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù) 1β的分岔圖和相應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 3 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parameters 1βof System (7)

        圖4 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)β2的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)圖.通過不斷調(diào)整其它參數(shù),固定一組參數(shù)不變:a1=0.6,a2=0.3,α1=0.5,α2=1.5,β1=0.5,v1=0.2,v2=0.3,c1=0.1,c2=0.1,繪制系統(tǒng)(7)關(guān)于β2的單參數(shù)分岔圖,如圖4(a)所示,圖形的形狀與圖3 類似.從圖中可以看出當(dāng)參數(shù)0<β2<4.17時,系統(tǒng)是很穩(wěn)定的,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間,市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序;當(dāng)參數(shù)4.17<β2<4.22時,系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài),當(dāng)混沌現(xiàn)象發(fā)生時,市場就會進(jìn)入到一種混亂無序的雜亂狀態(tài),在這種情況下,無論是廠商自己還是他們的競爭者都無法避免受混亂狀態(tài)的影響,尤其對市場上的一些根基并不穩(wěn)固的小廠家來說生存很是困難,市場的不穩(wěn)定影響的就不只是市場了,整個社會都會受其影響,在這個時候,寡頭廠商B 管理者應(yīng)盡力控制產(chǎn)品替代率,盡量不要因為眼前利益就發(fā)動價格戰(zhàn),進(jìn)而產(chǎn)生市場的混亂.圖4(a)的最大Lyapunov 指數(shù)如圖4(b)所示.

        圖4 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù) 2β的分岔圖和相應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 4 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parameters 2βof System (7)

        3.3 邊際成本c1和c2對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

        接下來討論寡頭廠商A(B)的價格敏感系數(shù)c1(c2)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

        圖5 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)c1的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)圖.通過不斷調(diào)整其它參數(shù),取一組參數(shù)不變:a1=3 ,a2=3 ,α1=4 ,α2=4 ,β1=0.8,β2=0.8,v1=0.4,v2=0.4,c2=0.2,繪制系統(tǒng)(7)關(guān)于c1的單參數(shù)分岔圖,如圖5(a)所示.從圖中可以看出當(dāng)參數(shù)0<c1<0.21時,系統(tǒng)是很穩(wěn)定的,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間,市場也就穩(wěn)定了;當(dāng)參數(shù)0.21<c1<0.318時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),在混沌狀態(tài)下,市場也就變得混亂了,各廠商都會受其影響,這個時候廠商A 就應(yīng)該控制敏感系數(shù)c1,避免市場發(fā)生混亂.圖5(a)的最大Lyapunov 指數(shù)如圖5(b)所示.

        圖5 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù)c1的分岔圖和相應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 5 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersc1of System (7)

        圖6 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)c2的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)圖.取其它參數(shù)不變:a1=3 ,a2=3 ,α1=4 ,α2=4 ,β1=0.8,β2=0.8,v1=0.4,v2=0.4,c1=0.2,圖形的形狀與圖6 類似.

        從圖6 中可以看出,當(dāng)參數(shù)0<c2<0.21時系統(tǒng)是很穩(wěn)定的,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間時,市場也處于穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)參數(shù)0.21<c2<0.318時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),在混沌狀態(tài)下,市場也就變得混亂了,各廠商都會受其影響,這個時候廠商B 就應(yīng)該控制敏感系數(shù)c2,以避免市場發(fā)生混亂.圖6(a)的最大Lyapunov 指數(shù)如圖6(b)所示.

        圖6 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù)c2的分岔圖和相應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 6 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersc2of System (7)

        3.4 對系統(tǒng)(7)混沌吸引子和相圖的模擬

        當(dāng)參數(shù)v1的取值為4.5、4.4、4.3、4.2、4.1、4.0、3.9、3.8 時,系統(tǒng)(7)的吸引子和相圖見圖7.從圖7 中得出,系統(tǒng)(7)表現(xiàn)混沌狀態(tài)時,對應(yīng)圖(a)和圖(b)中的混沌吸引子.

        4 結(jié) 語

        本文建立了一個寡頭壟斷博弈模型,分析了價格調(diào)整對寡頭廠商利益以及整個市場的影響.?dāng)?shù)值模擬結(jié)果表明,一旦價格調(diào)整率超過穩(wěn)定范圍,整個市場將陷入混亂,寡頭廠商自身利潤也將減少.寡頭壟斷廠商或當(dāng)前寡頭壟斷廠商應(yīng)采取較低的價格調(diào)整率,以實現(xiàn)利潤最大化.從上文可以得出,在寡頭市場價格調(diào)整時會出現(xiàn)分岔甚至混沌現(xiàn)象,這對社會發(fā)展非常不利,有關(guān)部門應(yīng)該規(guī)范市場,從而讓市場和社會健康持續(xù)地發(fā)展下去.

        所有寡頭壟斷者初始狀態(tài)的微小差異都會對分析結(jié)果產(chǎn)生很大影響.為了穩(wěn)定市場,寡頭壟斷者應(yīng)慎重選擇博弈的初始條件.當(dāng)市場處于混亂狀態(tài)時,寡頭壟斷者可以使用延遲反饋控制來控制混沌.

        在有限的理論下,博弈模型是建立在銷售量僅與價格有關(guān)的條件下,實際上影響銷量的因素很多,如產(chǎn)品質(zhì)量、市場需求等,這些問題需要進(jìn)一步分析.

        圖7 系統(tǒng)(7)關(guān)于參數(shù)v1變化時的混沌吸引子、相圖Fig 7 Chaotic Attractors and Phase Diagram about Parametersv1of System (7)

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