李明峰，陸海芳，趙湘玉

(南京工業(yè)大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 211800)

點云配準(zhǔn)是三維激光掃描數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵步驟之一，其配準(zhǔn)精度將直接影響后續(xù)數(shù)據(jù)處理及三維建模質(zhì)量。點云配準(zhǔn)的實質(zhì)是將某一坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系，該過程可視為剛體的旋轉(zhuǎn)和平移。剛體運動估計方法分為迭代法和解析法，迭代法通過構(gòu)造歐拉角、正交矩陣或單位四元數(shù)形式的旋轉(zhuǎn)矩陣，建立牛頓迭代模型，求解三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。該方法計算精度高，但解算過程煩瑣，計算效率較低，且對初值選取要求較高，選取不當(dāng)易造成迭代結(jié)果不收斂；解析法先通過奇異值分解、正交矩陣或單位四元數(shù)法求解旋轉(zhuǎn)矩陣，再獲取平移向量。該方法計算效率高，但由于分步求解旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，易產(chǎn)生耦合誤差，因此計算精度較低[1-4]。

研究表明，基于對偶四元數(shù)的點云配準(zhǔn)方法能夠統(tǒng)一描述剛體旋轉(zhuǎn)和平移運動，直接求解旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，避免了旋轉(zhuǎn)和平移參數(shù)分步求解產(chǎn)生的耦合誤差[5]，計算精度高且無需迭代，計算效率高，是一種簡便高效的點云配準(zhǔn)方法。但該方法并未顧及參與運算的點云特征點含有粗差的情況。

為克服粗差影響，本文結(jié)合穩(wěn)健估計中選權(quán)迭代思想，提出一種基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法。該方法首先遵循加權(quán)最小二乘原則，構(gòu)建基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)模型；然后運用拉格朗日乘數(shù)法推導(dǎo)轉(zhuǎn)換參數(shù)計算公式，并根據(jù)矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量求解旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量；根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差重新確定各公共特征點的權(quán)值，進(jìn)行下一輪參數(shù)計算，反復(fù)迭代，直至相鄰兩次參數(shù)估計值之差在限值范圍內(nèi)為止；最終求得轉(zhuǎn)換參數(shù)在抗粗差前提下的最優(yōu)估計。

1 基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)模型

對偶四元數(shù)是元素為四元數(shù)的對偶數(shù)，其表達(dá)式為

(1)

(2)

式中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣；T為平移向量;

(3)

設(shè)待配準(zhǔn)點云集合中的特征點為Di(Xi,Yi,Zi)T，目標(biāo)點云集合中對應(yīng)特征點為DTi(XTi,YTi,ZTi)T，i=0,1,2,…,n表示兩個點云集合中第i對同名特征點，n表示同名特征點對數(shù)。點云坐標(biāo)轉(zhuǎn)換通用模型為

DTi=RDi+T

(4)

對于每一對同名特征點，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后存在誤差vi=(vxi,vyi,vzi)，vi=RDi+T-DTi，即

(5)

利用式(2)將式(5)表達(dá)成對偶四元數(shù)形式

(6)

基于加權(quán)最小二乘原則，進(jìn)行點云配準(zhǔn)的結(jié)果就是使點云集合中所有特征點的加權(quán)誤差平方和最小，即令下式誤差函數(shù)值最小

(7)

2 基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法

2.1 穩(wěn)健點云配準(zhǔn)參數(shù)解算

將式(7)展開，整理可得

(8)

結(jié)合式(3)，采用拉格朗日求極值法，則新的目標(biāo)函數(shù)為

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(12)代入式(10)，計算可得

(13)

(14)

(15)

將式(14)和式(15)代入式(8)，化簡得

F(R,T)=C-λ1

(16)

2.2 穩(wěn)健點云配準(zhǔn)權(quán)函數(shù)

權(quán)因子構(gòu)造函數(shù)簡稱權(quán)函數(shù)，是基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法的關(guān)鍵，常用權(quán)函數(shù)有:

(1) Huber函數(shù)

(17)

(2) Danish函數(shù)

(18)

(3) IGGⅢ函數(shù)

(19)

2.3 穩(wěn)健點云配準(zhǔn)解算步驟

基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法解算步驟如下：

(1) 讀取原始數(shù)據(jù)：公共特征點在待配準(zhǔn)點云集合中坐標(biāo)Di(Xi,Yi,Zi)T及其對應(yīng)目標(biāo)點云集合中坐標(biāo)DTi(XTi,YTi,ZTi)T。

(3) 根據(jù)式(2)組成旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T。

(4) 根據(jù)式(6)計算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差，并根據(jù)所選權(quán)函數(shù)重新計算各公共特征點的權(quán)因子，構(gòu)造新的等價權(quán)元素。

(5) 將新的等價權(quán)元素代入式(13)，重復(fù)步驟(2)～(4)，當(dāng)相鄰兩次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)差值均在限差范圍內(nèi)時，停止迭代。

3 試驗驗證

為了驗證基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法的實用性，采用Focus3DX330型三維激光掃描儀對布設(shè)球形標(biāo)靶的某場景進(jìn)行掃描，利用FARO Scene軟件提取相鄰兩測站對應(yīng)靶球的中心坐標(biāo)見表1。

表1 相鄰兩測站靶球中心坐標(biāo) m

分別采用對偶四元數(shù)法(DQ)和基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法(RDQ)解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，RDQ法中權(quán)函數(shù)依次運用Huber函數(shù)(Huber-DQ)、Danish函數(shù)(Danish-DQ)和IGGⅢ函數(shù)(IGGⅢ-DQ)，各方法的解算精度σ0和迭代次數(shù)p見表2。

由表2可知：

(1) RDQ的3種方法中，Huber-DQ法和Danish-DQ法k0=1.0、IGGⅢ-DQ法k0=1.0，且k1=2.5時，各方法對應(yīng)解算精度最高，最高解算精度均高于DQ法，其中IGGⅢ-DQ法最高解算精度高于Danish-DQ法，Danish-DQ法最高解算精度高于Huber-DQ法；當(dāng)3種方法各自的調(diào)和系數(shù)在合理范圍內(nèi)取其他值時，解算精度均與DQ法相同。

(2) 從各個方法最高解算精度對應(yīng)的迭代次數(shù)可看出，Huber-DQ法、Danish-DQ法和IGGⅢ-DQ法均犧牲了計算效率，提高了計算精度。

為了驗證RDQ法的抗差性，給待配準(zhǔn)坐標(biāo)系下的標(biāo)靶中心坐標(biāo)依次加入粗差(0.008,0.010,0.012)m(點位誤差為17.55 mm)，分別運用DQ法、Huber-DQ法、Danish-DQ法和IGGⅢ-DQ法計算粗差在不同位置下的轉(zhuǎn)換精度(σ0)和迭代次數(shù)(p)，結(jié)果見表3。粗差在不同位置下各個標(biāo)靶的點位誤差如圖1所示。

由表3可知：

(1) 在特征點數(shù)據(jù)含粗差情況下，DQ法解算精度大大降低；無論粗差點位于何位置，RDQ法的解算精度均高于DQ法，其中IGGⅢ-DQ法精度略高于Danish-DQ法，Danish-DQ法精度顯著高于Huber-DQ法。說明通過選權(quán)迭代，粗差影響減較小，解算精度提高；相比Huber-DQ法，IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法抗差能力更強(qiáng)。

表2 各方法的轉(zhuǎn)換精度與迭代次數(shù)

表3 粗差在不同位置下各方法的解算精度及迭代次數(shù)

(2) 就迭代收斂效率而言，IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法迭代次數(shù)相當(dāng)，均少于Huber-DQ法。說明IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法解算效率相當(dāng)，均優(yōu)于Huber-DQ法。

由圖1可知：無論粗差點位于何位置，相較于DQ法，RDQ的3種方法均更能有效定位粗差位置，其中IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法不僅能夠準(zhǔn)確定位粗差點，而且計算得到的點位誤差與加入的粗差相近，不含粗差的點，其點位誤差也相對較小。

4 結(jié) 語

本文針對點云特征點含有粗差的問題，遵循加權(quán)最小二乘原則，結(jié)合穩(wěn)健估計中選權(quán)迭代思想，提出了基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法，試驗結(jié)果表明：

(1) 在基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法中，Huber-DQ法識別和剔除粗差的能力較弱且解算效率較低，IGGⅢ-DQ法和Danish-DQ法不僅具有較強(qiáng)的粗差識別和剔除能力，解算效率也相對較高。

(2) 基于對偶四元數(shù)的穩(wěn)健點云配準(zhǔn)方法克服了對偶四元數(shù)法抗差性弱的缺點，而且在不含粗差的情況下提高了點云配準(zhǔn)精度，是一種更有效的點云配準(zhǔn)方法，具有良好的應(yīng)用價值。