張愛(ài)萍
(呂梁學(xué)院汾陽(yáng)師范分校數(shù)學(xué)與科學(xué)系,山西汾陽(yáng)032200)
近年來(lái),隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展,帶動(dòng)了計(jì)算科學(xué)的發(fā)展,使Moore和Penrose分別于1920年和1955年提出的廣義逆矩陣的理論更加趨于完善,推動(dòng)了廣義逆矩陣向新的研究階段邁進(jìn)[1]。人們?yōu)槭怪m用于研究各類數(shù)學(xué)問(wèn)題做了大量的相關(guān)工作,如今廣義逆矩陣已經(jīng)成為矩陣分析的基礎(chǔ)之一,也是矩陣論的一個(gè)重要分支,廣泛地應(yīng)用于控制理論、系統(tǒng)識(shí)別和優(yōu)化理論等領(lǐng)域[2]。
廣義逆矩陣的概念是在相容線性方程組的解的基礎(chǔ)上建立的,這也就是Moore關(guān)于廣義逆矩陣的定義。
定義1[3]對(duì)于一個(gè)m×n矩陣A,若存在一個(gè)n×m矩陣G,使得
其中,PA和PG.分別是Rm的沿R(A)⊥到R(A)的正交投影變換的矩陣及Rm的沿R(G)⊥到R(G)的正交投影變換的矩陣,則稱G為A的廣義逆矩陣。
除了定義1從解方程組的角度來(lái)建立廣義逆矩陣的概念之外,還可以從矩陣的運(yùn)算關(guān)系上建立廣義逆矩陣的概念。這也正是Penrose提出的關(guān)于廣義逆矩陣的定義。
定義2[3]對(duì)于一個(gè)m×n矩陣A,若存在一個(gè)n×m矩陣G,使得
則稱G為A的廣義逆矩陣。
下面的定理1表明,上述的定義1和定義2實(shí)際上是等價(jià)的。
定理1Moore和Penrose關(guān)于廣義逆矩陣的兩種定義實(shí)際上是等價(jià)的。
證明先由定義1推出定義2中的式(2)成立。事實(shí)上,因?yàn)閷?duì)任意的X∈Rm,恒有AX∈R(A),再結(jié)合式(1)中的(i)式,可知
成立。又因?yàn)檎煌队白儞QPA的矩陣AG實(shí)對(duì)稱矩陣,所以式(2)中的(iii)自然成立。同理,由式(1)中的(ii)及GA是正交投影變換PG的矩陣,可以推得式(2)中的(ii)式及(iv)式的成立。
再證由式(2)反推式(1)也是成立的。由于G滿足式(2)中的(i)與(iii)式,可以推得
因此,AG是一個(gè)冪等矩陣,同時(shí)也是一個(gè)對(duì)稱矩陣,它所對(duì)應(yīng)的線性變換也因而是一個(gè)正交投影變換。還由于
所以,AG的值域?yàn)镽(A),并且AG在R(A)上相當(dāng)于恒等變換。這表明AG所表示的正交投影變換是Rm的沿R(G)⊥到R(G)的投影變換PA,即
成立。同理,由式(2)中的(ii)與(iv)式也可推得
成立。
定理2對(duì)于給定的A∈Cm×n,則A滿足方程
的廣義逆矩陣A-存在的充分必要條件是對(duì)于任何的b∈R(A),A-1b都是方程組
的一個(gè)解,其中R(A)為A的列空間。
證明設(shè)A=(a1,a2,...,an),其中ai為A的第i列,i∈.若存在矩陣A-,使?b∈R(A),A-b都為式(4)的解,則應(yīng)有AA-b=b對(duì)所有b∈R(A)成立,特別應(yīng)有AA-ai=ai,i∈.因此有
即AA-A=A。
反之,設(shè)存在A-使式(3)成立,即AA-A=A。因?yàn)閷?duì)于任何b∈R(A),一定存在X∈Cn,使AX=b。對(duì)于AA-A=A兩邊同時(shí)右乘X,即可得AA-AX=AX.由式AX=b有
所以A-b是式(4)的一個(gè)解。證畢。
定理2實(shí)際上給出了廣義逆矩陣A-的等價(jià)命題??梢园咽剑?)作為廣義逆矩陣A-的定義。
廣義逆矩陣A-具有以下性質(zhì)[4]:
性質(zhì)1設(shè)A∈Cm×n,A-=A(1)∈A{1},則(A-)T∈AT{1},(A-)H∈AH{1}.
證明先證后式。由AA-A=A,兩端取共軛轉(zhuǎn)置可得AH(A-)HAH=AH,這說(shuō)明了(A-)H是AH的減號(hào)逆,所以(A-)H∈AH{}1.而前式為后式的特例。證畢。
性質(zhì)3設(shè)A∈Cm×n,則rankA≤rankA-.
證明rankA-≥rank(AA-)≥rank(AA-A)=rankA.
性質(zhì)4AA-和A-A是冪等矩陣,并且rank(AA-)=rank(A-A)=rankA.
所以,AA-和A-A都是冪等矩陣,并且也都是投影矩陣。又因?yàn)閞ank(A-A)=rankA,并且AA-A=A,所以rankA=rank(AA-A)≤rank(AA-),這時(shí)就有rankA=rank(AA-).
同理可證rankA=rank(A-A).
性質(zhì)5AA-=Im的充分必要條件是rankA=m,即A行滿秩。此時(shí)A-稱為A的右逆,記為的充分必要條件是rankA=n,即A列滿秩。此時(shí)A-稱為A的左逆,記為.
證明必要性。由AA-=Im,根據(jù)性質(zhì)4,有rank(AA-)=rankA,而rank(AA-)=rankIm=m.因此,rankIm=m,即A行滿秩。
充分性。由rankIm=m,于是rank(AA-)=rankA=m.因?yàn)锳A-是m階方陣,所以AA-是滿秩陣,因此有逆。同樣,由性質(zhì)4可知,AA-是冪等陣,因此
(AA-)(AA-)=(AA-)。
上式兩端左乘(AA-)-1,可得AA-=Im。
同理可證A-A=In的充分必要條件是rankA=n。
是A滿足方程(3)的廣義逆矩陣A-,其中,L1∈Cr×(m-r),L2∈C(n-r)×(m為-r)任意矩陣。
證明因?yàn)閞ankA=r,所以有初等變換矩陣P,使得
由于A2∈Cm×(n-r)的列都能用A1的列線性表示,因此存在矩陣C∈Cr×(n-r),使得A2=A1C。于 是P=A1(Ir,C).又由于rankA=r,因此存在初等變換矩陣,使得
由于A21∈C(m-r)×r的列都能用A11的行線性表示,因此存在矩陣B∈C(m-r)×r,使得A21=BA11.于是有
另一方面,由L1,L2的任意性可知,矩陣A的廣義逆矩陣A-一般不是唯一的。特別的,若取L1=0,L2=0,則可得到一個(gè)特殊的廣義逆矩陣為
由上述討論可知,矩陣A的全體廣義逆矩陣A-=A(1)所組成的集合應(yīng)為A{1},也稱減逆。
在實(shí)際計(jì)算中,有許多計(jì)算A-的方法,下面介紹一種常見(jiàn)的求A-的公式。[6]
情形1設(shè)秩A=r,并且A的左上角的r階子塊為滿秩,即
將式(5)直接代入AA-A=A驗(yàn)證即可。
情形2設(shè)秩A=r,但A的左上角的r階子塊Arr不滿秩。這時(shí)若有初等列變換(P為相應(yīng)的初等矩陣)使得AP=,而的左上角r階子塊Arr為滿秩的,則有
然后再由(AP)-=P-1A-,即可求得
因此當(dāng)A的左上角無(wú)滿秩的r階子塊時(shí),需要先對(duì)A施行某種列變換,使其左上角r階子塊變?yōu)闈M秩的,然后再由式(6)對(duì)()-施行相同的初等列變換,即可得到A-。同樣的,對(duì)A先作行變換變形,再做相應(yīng)的列變換還原,也可以得到A-。
解 將A的第二列與第三列交換得
于是由式(5)可求得
將其代入式(6)(也就是交換()-中的第二行與第三行)即得。
本文對(duì)廣義逆矩陣A-的概念、性質(zhì)、存在性及求法進(jìn)行了探討,給出了廣義逆矩陣A-的一個(gè)等價(jià)命題,并給出了一種求廣義逆矩陣A-的常用方法。通過(guò)對(duì)矩陣A作簡(jiǎn)單的初等列變換,可以很方便地求出矩陣的廣義逆矩陣A-。