曹蘭蘭, 姜金平, 曹伯芳

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000)

1 引 言

研究無(wú)窮維動(dòng)力非自治系統(tǒng)的一致吸引子的存在性，最重要的是首先要驗(yàn)證與自治解半群相對(duì)應(yīng)的過(guò)程族的某種緊性.在研究有界域上的一致吸引子的存在性時(shí)[1-5]，可以利用漸進(jìn)先驗(yàn)估計(jì)的方法與Sobolev緊嵌入定理的方法或者能量估計(jì)的方法得到過(guò)程族的某種緊性.但是在無(wú)界域上，由于Sobolev緊嵌入在無(wú)界域上不再緊；為了得到系統(tǒng)的一致吸引子，可以利用截?cái)嗪瘮?shù)技巧，用有界域來(lái)逼近無(wú)界域.文獻(xiàn)[6]建立了驗(yàn)證無(wú)界域上非自治反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)一致漸進(jìn)緊的一個(gè)行之有效的方法,即一致漸進(jìn)先驗(yàn)估計(jì)的方法.文獻(xiàn)[7]利用文獻(xiàn)[6]的方法得出非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)一致吸引子的存在性.本文討論如下形式帶有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程[8-10]一致吸引子的存在性.

(1)

f(0)=0,f′(s)≥-λ

(2)

k1|s|p-α1|s|2≤F(s)≤k2|s|p+α2|s|2,2

(3)

其中ki,αi,λ(i=1,2)為正常數(shù).

當(dāng)x∈Ω∈Rn時(shí)，σ(t)=(f(u,t),g(x,t)),t∈R記為符號(hào)空間參數(shù)

Aσ(t):E1→E2

其中，E1，E2是Banach空間，σ(s)(s∈R)為反映整個(gè)依賴時(shí)間的非自治系統(tǒng)的一個(gè)符號(hào)函數(shù)參數(shù).將符號(hào)函數(shù)σ(s)在某個(gè)距離空間或Banach空間E中的取值和σ(s)(s∈R)并稱為非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程的時(shí)間符號(hào).

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]稱過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ是(E1，E2)一致緊的，如果過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ擁有(E1，E2)一致緊的吸收集；稱過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ是(E1，E2)一致漸近緊的，如果過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ擁有(E1，E2)一致緊的吸引集.

定理1[5]設(shè){Uσ(t,τ)},σ∈Σ是LP(Rn)(p≥2)的過(guò)程族，若{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在LP(Rn)(p≥2)上有一致(關(guān)于σ∈Σ)有界集，則對(duì)?ε>0,{Uσ(t,τ)}，存在T=T(τ,B)≥τ,M=M(ε),使得對(duì)任意u0∈B,t≥T有

m(Rn(|Uσ(t,τ)u0|≥M))≤ε

其中m(e)表示集e的Lebesgue測(cè)度，Rn(|u|≥M)={x∈Rn||u(t)|≥M}.

定義2[6]集合E0?E被稱為是過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ的有界一致(關(guān)于σ∈Σ)吸收集，如果對(duì)每一個(gè)固定的τ∈R,B∈B(E)，滿足

特別的，如果AΣ任意一個(gè)閉的一致吸引集中的一個(gè)閉的一致吸引集A(最小性)，那么AΣ就稱為過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ的一致吸引子.

定義3[6]如果完備的度量空間E上的過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ滿足：對(duì)任意的τ∈R和E中的任何有界集B,使得

其中α(A)表示A的非緊性測(cè)度，稱過(guò)程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在空間E上一致ω-極限緊的.

定理2[6]設(shè){Uσ(t,τ)},σ∈Σ關(guān)于L2(Rn)，LP(Rn)是連續(xù)的，假設(shè){Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一個(gè)(L2(Rn)，L2(Rn))一致吸引子,如果滿足以下條件

(1){Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一個(gè)一致有界吸收集B0∈(L2(Rn)，L2(Rn))；

(2){Uσ(t,τ)},σ∈Σ在(L2(Rn)，L2(Rn))是一致漸近緊的.

定理3[6]設(shè){Uσ(t,τ)},σ∈Σ關(guān)于L2(Rn)，LP(Rn)是連續(xù)的，假設(shè){Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一個(gè)(L2(Rn)，L2(Rn))一致吸引子，則{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在(L2(Rn)，Lp(Rn))有一個(gè)一致吸引子，如果滿足以下條件

(1){Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一個(gè)一致有界吸收集B0∈(L2(Rn)，LP(Rn));

(2){Uσ(t,τ)},σ∈Σ在(L2(Rn)，Lp(Rn))是一致漸近緊的.

3 主要結(jié)論

引理1設(shè)滿足(1)-(3)的過(guò)程族{U(t,τ)}σ∈Σ在(L2(Rn),L2(Rn))上存在一致有界吸收集，即存在ρ>0,對(duì)L2(Rn)中任何有界集B,存在正常數(shù)T=T(B),使得

證明u作用(1)兩端，對(duì)x在Rn上積分可得

(4)

由(2)和(3)可得

即

-(k1|s|p-α1|s|2+λ‖u‖2)≤0

(5)

由Young不等式可得

(6)

(7)

將(5)-(7)代入(4)可得

(8)

(9)

引理2對(duì)任意ε>0存在k(>0),T(>0)，使得對(duì)任意t>T,u0∈B0有

證明取試驗(yàn)函數(shù)θ，使得

(10)

其中

(11)

由(11)得

(12)

(13)

(14)

將(12)-(14) 代入(10)得

(15)

由Gronwall引理有

(16)

(17)

同理,由(15)-(17)有

(18)

由定理2、引理1和引理2，可得如下定理4.

引理3設(shè)(1)-(3)成立，，則對(duì)應(yīng)過(guò)程族{Uσ(t,τ)}t≥τ，存在(L2(Rn),L2(Rn))一致有界的吸收集，則存在(L2(Rn),Lp(Rn))一致有界吸收集和(L2(Rn),H1(Rn))一致有界吸收集，即對(duì)B∈L2(Rn)(關(guān)于|·|范數(shù))，存在正常數(shù)T(T=(B,t≥τ))使得

|Uσ(t,τ)u0|p+|Uσ(t,τ)u0|2+‖Uσ(t,τ)u0‖≤ρ?t≥τ,u0∈B

其中ρ為不依賴T,B的正常數(shù).

證明u作用(1)兩端，對(duì)x在Rn上積分可得

(19)

(20)

由Young不等式可得

(21)

(22)

將(20)-(22)代入(19)可得

(23)

則由(23)可得

(24)

(25)

ut作用(1)兩端，對(duì)x在Rn上積分可得

(26)

由(20)可得

(27)

將(23)與(27)求和有

(28)

由H?lder不等式和Cauchy不等式，利用Gronwall引理可得

(29)

由(25)和(29)可得

引理得證.

引理4過(guò)程族{Uσ(t,τ)}在(L2(Rn),Lp(Rn))是ω-極限緊的，即對(duì)任意ε>0存在一個(gè)常數(shù)M,T=T(ε),對(duì)g(x,t)∈Σ有

(30)

其中,C是B0∈(L2(Rn),Lp(Rn))中不依賴于M,T,ε的常數(shù).

證明|(u-M)+|p-1與(1)兩端作內(nèi)積，并對(duì)x在Rn上積分，得

(31)

(32)

由(3)和(31)有

(33)

由Young有

(34)

(35)

由(33)-(35)可得

(36)

當(dāng)p>2,利用Sobolev緊嵌入定理有

(37)

將(37)代入(36)并乘2得

(38)

又因?yàn)?/p>

(39)

將(39)代入(38)有

(40)

利用一致Gronwall引理有

(41)

其中，M1=Mp-2.

當(dāng)M1=Mp-2足夠大時(shí)可得，對(duì)?ε>0有

(42)

(43)

結(jié)合(41)-(43)有

(44)

同理將|(u-M)+|p-2(u-M)-作用于(1)，存在M2，t2有

(45)

故由(44)和(45)，存在M3=max(M1,M2)有

引理得證.

證明由定理3、引理3和引理4，可得到方程(1)的過(guò)程族{Uσ(t,τ)}，σ∈Σ在(L2(Rn),Lp(Rn))存在一個(gè)一致吸引子.