王國鵬，李建國，趙雅楠，洪國同

(1. 中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所空間功熱轉(zhuǎn)換技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京100190)

0 引 言

對低溫制冷技術(shù)的需求隨著紅外探測、低溫超導(dǎo)、航空航天等前沿科技的發(fā)展越來越廣泛。傳統(tǒng)低溫制冷技術(shù)包括機(jī)械制冷機(jī)以及低溫液體貯存杜瓦瓶。其中機(jī)械制冷機(jī)由于存在振動(dòng)、功耗需求較大以及低溫下制冷量較小等限制，難以在一些特殊的空間場合應(yīng)用，因此低溫液體貯存杜瓦瓶依然是空間主流制冷技術(shù)[1]之一。在低溫杜瓦瓶設(shè)計(jì)中，漏熱損失是衡量其性能的重要指標(biāo)，而通過支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)入杜瓦瓶的熱量占到了漏熱損失的30%以上。除此之外，支撐結(jié)構(gòu)還必須保證系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有足夠的力學(xué)穩(wěn)定性。這就要求杜瓦瓶結(jié)構(gòu)本身足夠穩(wěn)定，同時(shí)，所采用的支撐材料在低溫下具有較高強(qiáng)度以及較低的熱導(dǎo)率。而針對空間應(yīng)用的低溫杜瓦瓶其支撐材料還要求具有較輕的質(zhì)量以降低發(fā)射成本[2]。傳統(tǒng)低溫杜瓦瓶的支撐結(jié)構(gòu)多從減小漏熱損失角度考慮，因而在其力學(xué)性能方面做出了一定妥協(xié)，能夠基本滿足地面使用要求，卻難以適應(yīng)航天器發(fā)射及空間復(fù)雜外部環(huán)境。而目前對于低溫杜瓦瓶支撐結(jié)構(gòu)的熱力學(xué)性能的耦合研究涉及較少，絕大多數(shù)分析都將支撐結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析和熱學(xué)性能分別進(jìn)行研究。Kittel[4]對柔性繩索結(jié)構(gòu)以及桿系結(jié)構(gòu)的支撐采用一維簡化模型進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上比較了二者的漏熱損失。Bushnell[5]對火箭低溫燃料貯箱采用的剛性、柔性以及被動(dòng)軌道斷開式管型支撐(Passive orbital disconnect struct,PODS)三種支撐的性能進(jìn)行了比較分析。Hopkins[6]則以COBE衛(wèi)星杜瓦瓶為背景，分別采用柔性支撐帶及PODS兩種支撐形式進(jìn)行了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并對兩種形式的力學(xué)性能及漏熱損失分別進(jìn)行分析，認(rèn)為柔性支撐帶更適合于液氦及液氫杜瓦瓶，而PODS結(jié)構(gòu)更適合于液氮及液氧杜瓦瓶[3-6]。吳紅[7]針對某超導(dǎo)磁體設(shè)計(jì)了采用柔性拉帶的冷質(zhì)量支撐結(jié)構(gòu)，建立了相應(yīng)的力學(xué)模型，在此結(jié)構(gòu)上分析了其漏熱損失。除此之外，還有學(xué)者針對不同的支撐形式及材料進(jìn)行了較多研究[8-10]。近年來，一種新型的高分子材料對位芳綸纖維(凱夫拉),由于其極低的熱導(dǎo)率以及優(yōu)異的力學(xué)性能而在低溫系統(tǒng)中獲得了越來越多的關(guān)注。其與不銹鋼材料的性能對比如表1所示。英國的詹姆·斯克拉克·麥克斯韋望遠(yuǎn)鏡(JCMT)、美國SABER紅外探測器組件等結(jié)構(gòu)均采用了凱夫拉纖維并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的支撐形式[11]。

表1 材料性能對比Table 1 Comparison of the material property

圖1所示為凱夫拉繩索的拉伸試驗(yàn)，圖1(a)為分別采用了四股及兩股纖維原絲合股成的繩索及測試工裝，圖1(b)為通過拉伸試驗(yàn)機(jī)測出的拉伸試驗(yàn)曲線。從試驗(yàn)結(jié)果來看，2股凱夫拉原絲合股的最大拉力達(dá)到了380 N，而4股凱夫拉原絲合股的最大拉力達(dá)到了大約980 N(實(shí)際最大拉力與纖維合股時(shí)加捻程度也有關(guān)系，此處僅為說明凱夫拉力學(xué)性能，工程應(yīng)用時(shí)應(yīng)加以注意),充分表明了凱夫拉纖維優(yōu)越的力學(xué)性能。

圖1 凱夫拉纖維測試工裝及拉伸曲線Fig.1 Test specimens and tensile curve of the Kevlar fiber

文章針對空間用小型低溫杜瓦瓶采用凱夫拉纖維設(shè)計(jì)了繩索支撐結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了纖維的拉伸試驗(yàn)，并從漏熱損失和力學(xué)性能耦合角度建立了數(shù)學(xué)模型，在其固有頻率、熱應(yīng)力以及發(fā)射環(huán)境應(yīng)力約束條件基礎(chǔ)上，通過一種新的“離散點(diǎn)加密”的約束優(yōu)化方法，對其進(jìn)行了最優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

1.1 模型構(gòu)建與簡化

杜瓦瓶內(nèi)膽外筒均為圓柱狀結(jié)構(gòu)，支撐結(jié)構(gòu)采用空間杜瓦瓶常見的柔性繩索上下對拉形式，繩索呈一定空間角，能夠承受來自三個(gè)方向上的拉力。上、下半部分各六根繩索與杜瓦瓶內(nèi)膽接觸位置分別在同一橫截面內(nèi)。在這一思路下，可得系統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)的物理模型如圖2(a)所示，其實(shí)際驗(yàn)證結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示。結(jié)構(gòu)由外筒、凱夫拉繩索、內(nèi)膽以及凱夫拉繩索與杜瓦瓶外筒及內(nèi)膽的連接接頭組成。

為便于分析，將杜瓦瓶實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)簡化。忽略支撐結(jié)構(gòu)的冷端與熱端接頭，認(rèn)為二者分別鉸接在杜瓦瓶外筒和內(nèi)膽上；由于凱夫拉繩索質(zhì)量極輕，因此在分析中將其質(zhì)量忽略，在外筒及內(nèi)膽結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的情況下，可得出確定支撐結(jié)構(gòu)所需的設(shè)計(jì)參數(shù)為：杜瓦瓶內(nèi)膽支撐結(jié)構(gòu)接觸點(diǎn)上端點(diǎn)到杜瓦瓶重心所在橫截平面的距離Ls；支撐繩索水平角θ；支撐繩索傾斜角γ；支撐繩索的橫截面積A；每個(gè)支撐上所需施加的預(yù)緊力F，即確定支撐結(jié)構(gòu)需要上述Ls，θ，γ，A，F(xiàn)共五個(gè)參數(shù)。在上述假設(shè)下，通過支撐結(jié)構(gòu)的漏熱量可以表示為：

q=NKAΔT/L

(1)

式中：N為支撐數(shù)目，K為凱夫拉繩索熱導(dǎo)率，A為繩索橫截面積，L為凱夫拉繩索長度，ΔT為繩索兩端溫差。

根據(jù)圖2所示模型，可得出繩索長度L為平面角θ及傾斜角γ的函數(shù)：

(2)

圖2 系統(tǒng)實(shí)際支撐結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Actual support structure of the system

1.2 約束條件

1.2.1熱應(yīng)力約束

低溫燃料貯箱在加注低溫液體時(shí)繩索結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足一定的熱應(yīng)力約束條件[12]?？紤]由于杜瓦瓶內(nèi)膽、外筒的熱膨脹系數(shù)不同而在支撐結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的應(yīng)力，表達(dá)式如式(3)～(6)所示：

(3)

σpre=Eε2+F/A

(4)

σpre/σmax≤1

(5)

εr=ε2+F/EA>0

(6)

其中，ε2為貯箱沿繩索方向上的應(yīng)變，α2為貯箱材料的熱膨脹系數(shù)，σpre為繩索上的應(yīng)力值，式(5)表示繩索上的應(yīng)力值應(yīng)當(dāng)小于抗拉強(qiáng)度，式(6)表示繩索上的應(yīng)變不能為零。而由于凱夫拉繩索在低溫下會(huì)發(fā)生膨脹，其應(yīng)變應(yīng)當(dāng)被考慮進(jìn)去，表達(dá)式如式(7)所示：

(7)

其中，α1為凱夫拉材料的熱膨脹系數(shù)。因此表達(dá)式(4)、(6)修正為：

σpre=E(ε2+ε1)+F/A

(8)

(9)

1.2.2發(fā)射環(huán)境下的應(yīng)力約束

空間用杜瓦瓶要經(jīng)歷嚴(yán)苛的發(fā)射環(huán)境，在發(fā)射環(huán)境下，系統(tǒng)在水平及豎直方向要承受大約10g的加速度。此時(shí)需要保證受拉繩索應(yīng)力值σlau小于最大許用應(yīng)力，同時(shí)繩索上的應(yīng)變ecri不能為零(即繩索不能松弛)。因此，繩索支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足一定的應(yīng)力約束條件,表達(dá)式如式(10)～(13)所示:

σlau/σmax≤1

(10)

σlau=Eelau

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中，elau,eaxi,elat分別為繩索上的總應(yīng)變以及沿杜瓦瓶中軸線方向和垂直中軸線方向的應(yīng)變分量，Q為重力加速度倍數(shù)，在式(12)及式(13)中，總應(yīng)變作保守處理，即橫向應(yīng)變、軸向應(yīng)變絕對值與預(yù)緊力應(yīng)變?nèi)咧痛笥诹悖A(yù)緊力應(yīng)變與橫向應(yīng)變及軸向應(yīng)變之差大于零。式(14)、式(15)分別為繩索在加速度條件下的軸向應(yīng)變與徑向應(yīng)變表達(dá)式，由結(jié)構(gòu)在徑向和軸向的應(yīng)變能公式得到。此外，在進(jìn)行分析時(shí)，模型還應(yīng)當(dāng)滿足以下自然條件限制：

(16)

1.2.3固有頻率約束

空間用低溫杜瓦瓶其固有頻率應(yīng)當(dāng)滿足一定要求，以避免在外界環(huán)境下發(fā)生共振而使結(jié)構(gòu)遭到破壞。系統(tǒng)固有頻率與支撐結(jié)構(gòu)的形式密切相關(guān)。將結(jié)構(gòu)模型置于圖2所示坐標(biāo)系下，根據(jù)第1.1節(jié)中所做假設(shè)，系統(tǒng)的總動(dòng)能及應(yīng)變能可以表示為：

(17)

(18)

x=Xsin(ωt+φ)

(19)

其中，X與ω為主振型與固有頻率，根據(jù)主振動(dòng)表達(dá)式可得最大動(dòng)能與勢能分別為

(20)

由于主陣型之間的正交性，系統(tǒng)的動(dòng)能(勢能)等于各階主振動(dòng)單獨(dú)存在時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能(勢能)之和，系統(tǒng)機(jī)械能守恒

T=U

(21)

根據(jù)式(22)可得出系統(tǒng)某階主振動(dòng)的固有頻率為

(22)

固有頻率約束條件可以表示為

ωmin≥fs

(23)

式中:fs為固有頻率下限值。

2 多約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及求解分析

由第1節(jié)分析可知，支撐結(jié)構(gòu)的漏熱損失受結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料物性參數(shù)限制，其優(yōu)化需要滿足集中約束條件的限制，因而模型可以量化為多約束條件下的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。其中以漏熱損失作為被優(yōu)化函數(shù)，而此優(yōu)化函數(shù)受到條件(5)、(6)、(9)、(10)、(12)、(13)、(16)、(23)約束，其中式(23)中固有頻率約束6個(gè)，式(16)中共5個(gè)約束條件，因此函數(shù)共受17個(gè)約束條件限制，并且其中約束條件多為非線性。針對此類約束優(yōu)化問題，有多種方法可以進(jìn)行，例如可行方向法、罰函數(shù)法、二次規(guī)劃法等[14-16]，然而這些優(yōu)化方法需要選取滿足約束條件的初始值，并且往往只能給出初始值附近的局部最優(yōu)值。支撐結(jié)構(gòu)模型中共5個(gè)變量，約束條件較多，并且滿足約束條件的初始值范圍較大，直接選取某一初始值進(jìn)行計(jì)算，難以得出約束條件范圍內(nèi)的最優(yōu)解。因此，對模型采取所謂“離散點(diǎn)加密”的方法：首先對5個(gè)變量中的每一自變量，在其取值范圍內(nèi)從下限到上限按順序取有限個(gè)值N，此5個(gè)自變量將會(huì)組成N5組初始值，再將這些初始值按滿足約束條件與否進(jìn)行篩選，選出滿足所有約束條件的初始值組合，這些組合稱為“離散點(diǎn)”，對篩選出的所有離散點(diǎn)組合分別求解最優(yōu)值，再將所有最優(yōu)值進(jìn)行比較，選出最小值作為第一輪計(jì)算的最優(yōu)值，此后進(jìn)行第二輪計(jì)算，此輪計(jì)算中，將N的個(gè)數(shù)加倍，也即加密離散點(diǎn)個(gè)數(shù)，而后重新進(jìn)行計(jì)算，以后的每輪計(jì)算中，每次將N的個(gè)數(shù)加倍，重復(fù)計(jì)算最優(yōu)值，當(dāng)計(jì)算出的最優(yōu)值不再隨加密次數(shù)發(fā)生變化時(shí)，認(rèn)為所取得的優(yōu)化值為約束條件范圍內(nèi)的最優(yōu)值。這種方法相當(dāng)于通過取遍滿足條件的取值組合來比較得出最優(yōu)結(jié)果，從而避免了因局部優(yōu)化導(dǎo)致的最優(yōu)值遺漏。圖3為程序計(jì)算框圖。

圖3 算法流程圖Fig.3 Flow chart of the algorithm

優(yōu)化函數(shù)的表達(dá)式歸結(jié)如下：

minf(Z),Z∈Rn

s.tgi(Z)≤0,j=1,2,…,p

(24)

式(24)中，f(Z)為目標(biāo)函數(shù)，即需要被優(yōu)化的參數(shù)，此處為支撐結(jié)構(gòu)的漏熱損失，gi(Z)為受約束的邊界條件，此處為支撐結(jié)構(gòu)的發(fā)射應(yīng)力及熱應(yīng)力約束條件以及固有頻率約束條件。支撐結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)為式(1)，而式(5)、(6)、(9)、(10)、(12)、(13)、(16)、(23)構(gòu)成本方法中的約束條件。在此將邊界條件中的五個(gè)參數(shù)表示為向量Z：

(25)

則目標(biāo)函數(shù)漏熱量可以表示為：

q=f(Z)

(26)

所有邊界條件整合后如式(27)所示。通過Matlab軟件工具箱內(nèi)的fimcon函數(shù)作為局部優(yōu)化函數(shù)，同時(shí)編寫離散點(diǎn)加密程序進(jìn)行計(jì)算。在給定一組初值的情況下，可得到目標(biāo)函數(shù)的變化值如圖4所示，設(shè)計(jì)參數(shù)的迭代變化值如圖5所示，各約束條件的迭代變化值如圖6所示。

(27)

圖4 漏熱損失Fig.4 Heat leakage

圖5 設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算結(jié)果Fig.5 Computations of design parameters

圖6 約束條件值計(jì)算結(jié)果Fig.6 Computations of the constraint values

從圖4可以看出，在自變量離散點(diǎn)個(gè)數(shù)從0增加到5時(shí)，支撐結(jié)構(gòu)漏熱損失從0.0073 W逐步下降到0.0046 W，由于共5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，此時(shí)所計(jì)算的參數(shù)組合數(shù)共55組；當(dāng)離散點(diǎn)個(gè)數(shù)從5增加到11時(shí)，參數(shù)組合數(shù)變?yōu)?15組，而漏熱損失的計(jì)算值已經(jīng)基本不再發(fā)生變化，由于逐步進(jìn)行離散點(diǎn)加密已不能改變漏熱量的優(yōu)化值，此時(shí)認(rèn)為漏熱損失已達(dá)到全局最優(yōu)值。圖5為5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)隨離散點(diǎn)增加的變化曲線，為表達(dá)方便，各參數(shù)分別作了按比例放大或縮小處理。對比圖4可以看出，當(dāng)漏熱損失隨離散點(diǎn)數(shù)增加趨于平穩(wěn)時(shí)，設(shè)計(jì)參數(shù)并沒有一同趨于某一平穩(wěn)值，而是在不同離散點(diǎn)處發(fā)生不規(guī)則跳動(dòng)，但所有取值均處于取值范圍內(nèi)。如Ls取值隨離散點(diǎn)個(gè)數(shù)增加呈現(xiàn)出先增加后下降進(jìn)而進(jìn)一步增加的趨勢，無明顯規(guī)律可循。圖6為各約束條件計(jì)算值隨離散點(diǎn)數(shù)增加的變化曲線，改變后的約束條件值中，各階固有頻率均大于100 Hz，均滿足大于100 Hz的下限，熱應(yīng)力約束條件值以及發(fā)射應(yīng)力約束條件值在0.2～0.5范圍內(nèi)波動(dòng)，均小于1。但同圖5類似，隨離散點(diǎn)數(shù)增加同樣沒有明顯規(guī)律，即使在離散點(diǎn)加密到目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化值已不再變化時(shí)，設(shè)計(jì)參數(shù)和約束條件值依然有劇烈跳動(dòng)。

圖5及圖6的計(jì)算結(jié)果表明了兩點(diǎn)，首先，在多個(gè)非線性的約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)值分布很廣，并且局部最優(yōu)值所對應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)之間并無太大關(guān)系，從而證明了從單一初始值進(jìn)行優(yōu)化尋找最優(yōu)值可能會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)值遺漏，而采用“離散點(diǎn)加密”方法通過最大限度地獲取初始值組合并通過比較局部最優(yōu)值從而得出取值范圍內(nèi)最優(yōu)值方法的有效性。再者，圖4所示結(jié)果也表明了目標(biāo)函數(shù)取得的最優(yōu)值可能對應(yīng)存在多組滿足約束條件的設(shè)計(jì)參數(shù)。在這種情況下，可以根據(jù)力學(xué)性能要求或者實(shí)際結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來決定所采用的最佳設(shè)計(jì)參數(shù)組合，同時(shí)也表明了采用取值范圍內(nèi)離散點(diǎn)加密計(jì)算的必要性。通過計(jì)算點(diǎn)加密來對所有可能的局部優(yōu)化值進(jìn)行掃描，這樣能夠避免采用單組優(yōu)化函數(shù)所造成的優(yōu)化值遺漏，從而找出約束條件取值范圍內(nèi)的最優(yōu)值。

3 結(jié) 論

對一種空間低溫杜瓦瓶支撐結(jié)構(gòu)采用高強(qiáng)度低熱導(dǎo)率的凱夫拉纖維繩索進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并進(jìn)行了合股纖維的拉伸試驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上建立了支撐結(jié)構(gòu)在發(fā)射環(huán)境下的熱力學(xué)優(yōu)化模型，利用離散點(diǎn)加密聯(lián)合局部優(yōu)化函數(shù)的方法得出了最優(yōu)設(shè)計(jì)。結(jié)果表明此種優(yōu)化分析方法能夠在滿足力學(xué)環(huán)境條件的前提下找出全局范圍內(nèi)的最小的漏熱損失，同時(shí)可根據(jù)設(shè)計(jì)要求來選擇最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。本文中的建模及優(yōu)化方法將杜瓦瓶支撐結(jié)構(gòu)的熱學(xué)性能與力學(xué)設(shè)計(jì)耦合進(jìn)行考慮，為空間杜瓦瓶的設(shè)計(jì)提供了參考。