于 濤,王益博,趙 偉2,楊 昆

(1.遼寧工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 錦州 121001；2.北京印刷學(xué)院 信息工程學(xué)院，北京 102600)

0 引言

具有旋轉(zhuǎn)激勵(lì)的平移振蕩器(Translational Oscillators with Rotating Actuator，TORA)是一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)由非驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)小車和直接驅(qū)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)小球構(gòu)成。TORA系統(tǒng)最初作為簡(jiǎn)化模型用于研究雙自旋航天器的共振問題， 目前作為非線性基準(zhǔn)系統(tǒng)用于驗(yàn)證欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性控制設(shè)計(jì)的有效性[1-3]。TORA系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)特性使得實(shí)現(xiàn)其有效控制具有一定的挑戰(zhàn)性，因而其控制問題日益受到控制領(lǐng)域研究人員的關(guān)注。

目前，國(guó)內(nèi)外研究人員已經(jīng)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的控制問題開展了很多研究工作。文獻(xiàn)[4]基于耗散理論設(shè)計(jì)了一種增強(qiáng)耦合型控制器，實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的有效鎮(zhèn)定控制。文獻(xiàn)[5]提出了一種非線性連續(xù)控制方法，可實(shí)現(xiàn)TORA系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定控制。文獻(xiàn)[6]針對(duì)TORA系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于遞推反步法的非線性控制器，該控制器具有很好的鎮(zhèn)定控制性能。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出反饋控制方法，可實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的快速鎮(zhèn)定控制。此外，滑?？刂芠8]、自適應(yīng)控制[9]和約束控制[10]在欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的穩(wěn)定控制中也有一定的應(yīng)用，并且已經(jīng)取得了很好的控制效果。

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)，本文提出一種基于自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器的解耦滑?？刂品椒?。所提出的控制方法不需要獲得系統(tǒng)不確定性上界的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有良好的適應(yīng)性和魯棒性。首先定義TORA系統(tǒng)的兩級(jí)滑模面，然后基于第二級(jí)滑模面設(shè)計(jì)自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器。為抑制控制器的高頻抖動(dòng)并提高系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度，設(shè)計(jì)了一種新型的雙冪次趨近律。最后基于所設(shè)計(jì)的自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器和第二級(jí)滑模面，利用新型的雙冪次趨近律推導(dǎo)解耦滑?？刂坡?。

1 TORA系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，該系統(tǒng)由通過剛度系數(shù)為k的彈簧與固定墻面相連的移動(dòng)小車和通過長(zhǎng)度為r的無質(zhì)量剛性連桿懸掛于移動(dòng)小車內(nèi)的旋轉(zhuǎn)小球構(gòu)成。質(zhì)量為M的移動(dòng)小車在垂直平面內(nèi)橫向移動(dòng)，移動(dòng)小車的水平位移為x。質(zhì)量為m的旋轉(zhuǎn)小球在驅(qū)動(dòng)力矩τ的作用下在垂直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)小球相對(duì)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，旋轉(zhuǎn)小球相對(duì)重力方向的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ。

圖1 欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

根據(jù)歐拉-拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，TORA系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為:

(1)

式中,τf(t) =[τf 1(t)τf 2(t)]T為未知有界的包含外部擾動(dòng)和建模誤差的系統(tǒng)不確定項(xiàng)，各向量和各矩陣的表達(dá)式分別為:

式中,g為重力加速度。

由式(1)可見，TORA系統(tǒng)是一個(gè)具有2個(gè)位形變量和1個(gè)驅(qū)動(dòng)輸入的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

將欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型式(1)表示為如下形式:

(2)

式中,

[g1(θ)g2(θ)]T=M-1(q)E

[f1(t)f2(t)]T=M-1(q)τf(t)

注1：由系統(tǒng)不確定項(xiàng)τf(t)的有界性和慣性矩陣M(q)的正定性及其各元素的有界性，可以驗(yàn)證不確定性f1(t)和f2(t)也是有界的，即有如下關(guān)系成立:

|f1(t)|≤κ1|f2(t)|≤κ2

(3)

式中,κ1和κ2為未知的正常數(shù)。

2 基于干擾補(bǔ)償器的解耦滑?？刂?/h2>

2.1 系統(tǒng)各級(jí)滑模面設(shè)計(jì)

(4)

式中,c1為正常數(shù)。

(5)

式中,c2為正常數(shù)。

由于整個(gè)系統(tǒng)只有1個(gè)驅(qū)動(dòng)輸入，為同時(shí)保證移動(dòng)小車子系統(tǒng)的第一級(jí)滑模面s1(t)和旋轉(zhuǎn)小球子系統(tǒng)的第一級(jí)滑模面s2(t)的收斂性，利用移動(dòng)小車子系統(tǒng)的第一級(jí)滑模面s1(t)設(shè)計(jì)一個(gè)雙曲正切函數(shù)型中間變量z(t)為:

(6)

式中,λ1和λ2為正常數(shù)。

將中間變量z(t)并入旋轉(zhuǎn)小球子系統(tǒng)的第一級(jí)滑模面s2(t)中，設(shè)計(jì)TORA系統(tǒng)的第二級(jí)滑模面S(t)為:

(7)

2.2 自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

(8)

式中，雙曲正割函數(shù)sech(λ2s1)的表達(dá)式如下所示：

對(duì)式(7)求導(dǎo)，由式(2)和式(8)可以得到：

(9)

由式(2)、式(4)和式(9)，進(jìn)一步可得:

(10)

式中,

F(t)=f2(t)-c2β(s1)f1(t)

注2：由式(8)可見0<β(s1)≤λ1λ2，因此β(s1)有界。進(jìn)而由式(3)可知，系統(tǒng)不確定性F(t)也是有界的。不妨設(shè)系統(tǒng)不確定性F(t)的上界為未知的正常數(shù)K，即|F(t)|≤K。

由于欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)中存在著不確定性，為降低不確定性對(duì)系統(tǒng)性能的不良影響并提高系統(tǒng)的控制精度，設(shè)計(jì)自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器逼近系統(tǒng)不確定性F(t)。自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器的具體形式為：

(11)

u(t)=εσ+ρ(t)sign(σ)

(12)

式中,ε為正常數(shù)；切換增益ρ(t)的自適應(yīng)律為:

(13)

式中,η和ρ(0)為正常數(shù)。

證明：定義備選Lyapunov函數(shù)V1(t)為:

(14)

由式(10)和式(11)，可以得到:

(15)

對(duì)式(14)求導(dǎo)，并由式(13)和式(15)可得:

σ·(F-u)+|σ|(ρ-K)

(16)

注意到|F(t)|≤K，由式(12)進(jìn)一步可得:

(17)

u(t)=εσ+ρ(t)tanh(λ3σ)

(18)

式中,λ3為正常數(shù)；雙曲正切函數(shù)tanh(λ3σ)的定義如式(6)所示。

2.2 基于新型雙冪次趨近律的解耦滑模控制器設(shè)計(jì)

為保證系統(tǒng)狀態(tài)的快速趨近并抑制控制器的高頻抖動(dòng)，本文在文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)的雙冪次趨近律基礎(chǔ)上提出一種新型的雙冪次趨近律，然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)基于自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器的解耦滑?？刂坡?。

本文設(shè)計(jì)的新型雙冪次趨近律為:

k3tanh(λ4S)

(19)

式中,k1，k2，k3和λ4為正常數(shù)；γ為小于1的正常數(shù)。在趨近律式(19)中，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑動(dòng)模態(tài)(|S|>1)時(shí)，指數(shù)趨近項(xiàng)-k1|S|1+γsign(S)起主要的趨近作用；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動(dòng)模態(tài)(|S|<1)時(shí)，指數(shù)趨近項(xiàng)-k2|S|1-γsign(S)起主要的趨近作用；趨近項(xiàng)-k3tanh(λ4S)是等速趨近項(xiàng)-k3sign(S)的連續(xù)逼近，用以進(jìn)一步加快系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度。

注4：可以看出，若不計(jì)參數(shù)ki對(duì)于趨近作用大小的影響，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動(dòng)模態(tài)(|S|<1)時(shí)，指數(shù)趨近項(xiàng)-k2|S|1-γsign(S)的趨近作用不及等速趨近項(xiàng)-k3sign(S)。趨近項(xiàng)-k3tanh(λ4S)作為等速趨近項(xiàng)-k3sign(S)的連續(xù)逼近，適當(dāng)?shù)卦龃笃鋮?shù)λ4有利于加速系統(tǒng)狀態(tài)的趨近過程。

(20)

由式(19)和式(20)，可得解耦滑模控制律τ(t)為:

τ(t)=

(21)

證明：定義備選Lyapunov函數(shù)V2(t)為：

(22)

將解耦滑?？刂坡墒?21)代入式(10)，可以得到:

(23)

(24)

由式(24)，進(jìn)一步可得:

(25)

如果k2|S|1-γ≥δ，則由式(25)可得:

(26)

由式(24)，又可以得到:

(27)

如果k1|S|1+γ≥δ，則由式(27)可得:

(28)

綜上可見，第二級(jí)滑模面S(t)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零鄰域:

(29)

因此，在輔助滑模面σ(t)的收斂時(shí)刻前第二級(jí)滑模面S(t)是有界的。

定理3：對(duì)于式(2)所示的欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)，按式(4)、式(5)和式(7)分別設(shè)計(jì)各級(jí)滑模面，并按式(11)至式(13)設(shè)計(jì)自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器，如果采用式(21)所示的解耦滑模控制律，那么第一級(jí)滑模面s1(t)和s2(t)漸近收斂于零。

對(duì)于分別按式(4)、式(5)和式(7)設(shè)計(jì)的各級(jí)滑模面，借助文獻(xiàn)[12]定理2的證明可以證得，采用式(21)所示的解耦滑?？刂坡?，能夠確保第一級(jí)滑模面s1(t)和s2(t)漸近收斂于零，即：

(30)

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文解耦滑?？刂品椒ǖ挠行?，利用Matlab數(shù)值仿真環(huán)境進(jìn)行欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制實(shí)驗(yàn)。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)中，欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的各參數(shù)分別取為[1]：M=1.3608 kg，m=0.096 kg，k=186.3 N/m，r=0.0592 m，I=2.175×10-4kg·m2。

3.1 基于精確模型信息的控制性能檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)

首先，檢驗(yàn)本文解耦滑?？刂破鞯目刂菩阅堋轵?yàn)證本文解耦滑?？刂破骶哂休^好的控制性能，與傳統(tǒng)解耦滑?？刂破鬟M(jìn)行對(duì)比分析。傳統(tǒng)解耦滑模控制器的具體形式為:

(31)

在式(31)中，各參數(shù)的選取范圍、各變量和各滑模面的定義與本文解耦滑?？刂破魇?21)相同。

在基于精確模型信息的控制性能檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中，設(shè)移動(dòng)小車子系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)小球子系統(tǒng)的不確定性f1(t)=f2(t)=0。需要說明的是，此時(shí)本文解耦滑?？刂破魇?21)仍采用自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器對(duì)系統(tǒng)不確定性F(t)進(jìn)行觀測(cè)。

在進(jìn)行控制性能對(duì)比時(shí)，本文解耦滑?？刂破鞯母鲄?shù)分別取為：c1=8.8，c2=1.5，λ1=6.9，λ2=6.5，ε=2.4，η=0.6，ρ(0)=1.1，λ3=6.7，k1=4.4，k2=3.4，k3=4.9，γ=0.5，λ4=6.7。傳統(tǒng)解耦滑?？刂破鞯母鲄?shù)分別取為：c1=8.5，c2=1.1，λ1=7.1，λ2=6.2，k1=1.9，k2=5.3。

圖2和圖3分別給出了本文解耦滑模控制器和傳統(tǒng)解耦滑?？刂破鞯姆抡鎸?shí)驗(yàn)結(jié)果。由圖2和圖3可以看出，兩種解耦滑?？刂破鞫寄苡行?shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。進(jìn)一步對(duì)比圖2和圖3可見，在本文解耦滑?？刂破鞯淖饔孟麻]環(huán)控制系統(tǒng)具有更好的動(dòng)態(tài)過程，本文解耦滑?？刂品椒軌蚋玫貙?shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的快速鎮(zhèn)定控制。具體而言，在本文解耦滑模控制器式(21)的作用下閉環(huán)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定時(shí)間為7.1 s，在傳統(tǒng)解耦滑?？刂破魇?31)的作用下閉環(huán)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定時(shí)間為8.4 s。不僅如此，通過仿真對(duì)比還可以看出，本文解耦滑?？刂破鞯哪芎囊裁黠@低于傳統(tǒng)解耦滑?？刂破?。

圖2 本文解耦滑模控制器的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖3 傳統(tǒng)解耦滑模控制器的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 魯棒性檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)

然后，檢驗(yàn)本文解耦滑模控制器的魯棒性。為此，在欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的各標(biāo)稱模型參數(shù)中人為地添加±10%的不確定性。需要說明的是，此時(shí)本文解耦滑模控制方法仍采用標(biāo)稱模型參數(shù)設(shè)計(jì)解耦滑?？刂坡伞Ｔ隰敯粜詸z驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中，本文解耦滑?？刂破鞯母鲄?shù)和欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的初始條件與基于精確模型信息的控制性能檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)相同。

圖4和圖5給出了本文解耦滑模控制器的魯棒性檢驗(yàn)結(jié)果。由圖4和圖5可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能沒有受到其內(nèi)部參數(shù)變化的影響，移動(dòng)小車的水平位移x(t)和旋轉(zhuǎn)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ(t)仍能快速地收斂至零。魯棒性檢驗(yàn)結(jié)果表明，本文解耦滑?？刂破鲗?duì)于系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性和適應(yīng)性。

圖4 本文控制器的魯棒性檢驗(yàn)結(jié)果(+10%參數(shù)不確定性)

圖5 本文控制器的魯棒性檢驗(yàn)結(jié)果(-10%參數(shù)不確定性)

4 結(jié)論

本文對(duì)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題進(jìn)行了研究，提出了一種基于自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器的解耦滑?？刂品桨?。所提出的控制方案能夠有效實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)TORA系統(tǒng)的快速鎮(zhèn)定控制，并且對(duì)于系統(tǒng)的不確定性具有良好的魯棒性和適應(yīng)性。所提出的控制方案包括設(shè)計(jì)一種自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器和一種新型雙冪次趨近律。所設(shè)計(jì)的自調(diào)節(jié)滑模干擾補(bǔ)償器不需要預(yù)知系統(tǒng)不確定性的上界信息，能夠?qū)ο到y(tǒng)的不確定性進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。所提出的新型雙冪次趨近律不僅可以保證系統(tǒng)狀態(tài)的快速趨近，并且能夠保持解耦滑?？刂频倪B續(xù)性。采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的控制方案的有效性。