徐子睿,許素安,富雅瓊,洪凱星,徐紅偉

(中國計量大學(xué)機電工程學(xué)院,杭州 310018)

壓電陶瓷由于其體積小,響應(yīng)快,定位精度高等優(yōu)點,是目前微定位系統(tǒng)比較理想的驅(qū)動元件[1-2]。但是其自身具有的遲滯特性,對定位精度影響較大。為了降低遲滯特性對定位系統(tǒng)的定位精度的影響,國內(nèi)外學(xué)者提出了許多遲滯模型和控制方案。比較常用的遲滯模型有Preisach模型[3-5],PI(Prandtl-Ishlinskii)模型[6-7],Bouc-wen模型[8-9],Duhem模型[10-11]等。Preisach模型是廣受關(guān)注的模型,但是二次積分項的存在使其計算過程十分復(fù)雜,求逆繁瑣.PI模型由Preisach模型簡化而來,但不易根據(jù)實測數(shù)據(jù)來調(diào)整模型.Bouc-wen模型可以用來描述大多數(shù)的遲滯現(xiàn)象,設(shè)計控制器方便,但輸入形態(tài)有限制對結(jié)果影響較大。Duhem模型的描述比較符合壓電陶瓷非線性的動態(tài)性能,函數(shù)表達(dá)式明確,包含遲滯輸入與輸出的導(dǎo)數(shù)項,是一個動態(tài)模型,且僅當(dāng)遲滯輸入方向發(fā)生 改變時,其輸出特性才會改變,方便建立逆模型.控制策略一般有:滑?？刂?自適應(yīng)控制,滑模自適應(yīng)控制等。SU等學(xué)者將遲滯看做擾動,設(shè)計了一種魯棒自適應(yīng)控制器對其進(jìn)行補償[12]。但是直接控制方法增加了閉環(huán)對擾動進(jìn)行抑制的負(fù)擔(dān),且非線性方法設(shè)計也較為復(fù)雜。而將逆模型作為前饋控制器可以一定程度上減弱壓電陶瓷的非線性,也便于在此基礎(chǔ)上設(shè)計控制器?；？刂凭哂锌焖夙憫?yīng),對參數(shù)變化和擾動不靈敏,無須系統(tǒng)在線辨識,實現(xiàn)簡單等優(yōu)點,可以避免實際系統(tǒng)中許多不確定因素的影響。自適應(yīng)控制是一種能修正自己特性以適應(yīng)對象和擾動動態(tài)變化的一種控制方法,壓電陶瓷的遲滯非線性與輸入信號的頻率有關(guān),且本身對擾動十分敏感,所以將滑?？刂婆c自適應(yīng)控制相結(jié)合,理論上可以達(dá)到很好的控制系統(tǒng)性能。

本文選用Duhem逆模型作為前饋控制器,與自適應(yīng)滑?？刂葡嘟Y(jié)合對壓電陶瓷進(jìn)行遲滯補償控制。首先,根據(jù)實驗所得的輸入輸出數(shù)據(jù),應(yīng)用遞推最小二乘法對Duhem模型中的未知參數(shù)進(jìn)行辨識,然后,根據(jù)辨識結(jié)果建立Duhem逆模型。由于壓電陶瓷的遲滯非線性與輸入信號的頻率有關(guān),且本身對擾動十分敏感,故設(shè)計自適應(yīng)滑?？刂破鳂?gòu)成閉環(huán)控制,最后,將Duhem逆模型作為前饋控制器,與自適應(yīng)滑模控制相結(jié)合,進(jìn)一步提高系統(tǒng)的跟蹤精度和魯棒性。

1 遲滯位移的測量

利用實驗室設(shè)備(詳見5),對壓電陶瓷的遲滯位移進(jìn)行測量。每10 s改變5 V輸入電壓,電壓變化范圍為0～30 V;每15 s改變5 V輸入電壓,電壓變化范圍為0～50 V;每10 s改變1 V輸入電壓,電壓變化范圍為0～60 V。每500 ms采集一次數(shù)據(jù),并對同一電壓下的位移值取平均值減小測量誤差。根據(jù)上述實驗得到的遲滯位移與相應(yīng)的電壓值,通過MATLAB繪制壓電陶瓷的電壓-位移曲線,如圖1所示。

圖1 壓電陶瓷的電壓-位移曲線

從圖1中我們可以看出壓電陶瓷具有明顯的遲滯非線性,通過建立其遲滯逆模型作為前饋控制器,可以一定程度上減弱遲滯非線性。

2 遲滯模型及其逆模型的建立

2.1 Duhem遲滯模型的建立

Duhem模型的函數(shù)表達(dá)式比較清晰簡明,模型中參數(shù)的不同變化可以反映不同的遲滯特性,準(zhǔn)確辨識出模型中的各個參數(shù),即可得到Duhem模型。Duhem模型可以寫成如下微分方程表達(dá)式[13]:

(1)

式中:ɑ是常數(shù),v是遲滯輸入,w是遲滯輸出,f,g定義為分段連續(xù)函數(shù)。

(2)

式中:

(3)

(4)

令Fi=αfi,(i=0……4),則式(2)可以寫為:

(5)

為了便于辨識,將式(5)離散化,dw=w(k)-w(k-1),dv=v(k)-v(k-1),式中w(k)是系統(tǒng)k時刻的輸出,v(k)是系統(tǒng)k時刻的輸入。

令V1=|v(k)-v(k-1)|,V2=v(k)-v(k-1),Y(k)=w(k)-w(k-1),則式(5)可以寫為如下形式:

(6)

系統(tǒng)的輸入v、輸出w及其導(dǎo)數(shù)是可測的,式中α,Fi=αfi,(i=0,…,4),gj(j=0,…,3)為系統(tǒng)參數(shù);只要準(zhǔn)確辨識出α,Fi,gj就可以得到Duhem模型。利用遞推最小二乘法[14-15]可以很容易得到上述參數(shù),辨識結(jié)過程如圖1所示,橫坐標(biāo)為遞推辨識的次數(shù),縱坐標(biāo)為參數(shù)的值?？梢钥闯?模型中各參數(shù)在第221次估計后趨于穩(wěn)定。取ɑ=0.017 200;f0=-1 201.765 556;f1=125.796 568;f2=3.119 384;f3=-0.080 180;f4=0.000 692;g0=107.390 783;g1=-1.417 493;g2=0.071 795;g3=-0.000 881。

根據(jù)實驗測量的數(shù)據(jù)得到測量位移曲線,對取上述參數(shù)的Duhem模型輸入與實驗時相同的電壓值得到擬合位移曲線,如圖2所示。其中,實線為測量曲線,虛線為擬合曲線。

圖2 Duhem模型參數(shù)辨識過程圖

圖3為擬合誤差,表明絕對誤差不超過0.12 μm。

圖3 系統(tǒng)遲滯曲線與擬合曲線

2.2 Duhem遲滯模型逆模型的建立

建立逆模型的目的,是使用其作為前饋控制器,若用M[v(t)]表示正模型,M-1[w(t)]表示逆模型,則期望信號先后經(jīng)過前饋控制器和被控對象可以用式(7)表示:

w=M{M-1[w(t)]}(t)=1

(7)

即理想狀態(tài)下的傳遞函數(shù)為1,輸出信號完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。因此,建立較為準(zhǔn)確的逆模型有利于對遲滯系統(tǒng)進(jìn)行有效補償。

基于逆函數(shù)定理,Duhem模型的逆模型可以表示為如下形式:

(8)

(9)

式中:v為逆模型的輸入,w為逆模型的輸出,式(8)和式(9)中的參數(shù)與式(2)中的參數(shù)相同,只需將2.1中的得到的辨識結(jié)果代入式(8)和式(9)即可得到Duhem模型的逆模型。

3 自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有算法簡單,可靠性高等優(yōu)點,自適應(yīng)控制可以適應(yīng)控制對象的動態(tài)變化,兩者結(jié)合并與逆模型前饋控制器一同組成如圖4所示的控制系統(tǒng)。其中,補償電壓uoff由前饋逆模型得到,系統(tǒng)誤差e由實際輸出wr與期望輸出wd做差得到,并作為滑?？刂破鞯妮斎搿Ｇ梆伩刂破鬏敵龅难a償電壓uoff與自適應(yīng)滑?？刂破鬏敵龅碾妷簎smc共同組成廣義被控對象的控制電壓u。

圖4 擬合誤差

圖5 前饋結(jié)合自適應(yīng)滑模控制系統(tǒng)框圖

3.1 自適應(yīng)滑?？刂坡杉癓yapunov穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[16],在低頻工作區(qū)間內(nèi)可以將壓電陶瓷的傳遞函數(shù)簡化為一階慣性系統(tǒng):

(10)

式中:T為時間常數(shù),Δ為擾動,假設(shè)Δ有界,|Δ|≤D,D>0為擾動上界。

用θ代替T,則式(9)可以寫為

(11)

定義系統(tǒng)誤差為

e=wr-wd

(12)

定義滑模函數(shù)

s=Ce

(13)

令C=1>0,滿足Hurwitz條件。則有

(14)

將式(10)代入式(13)可得

(15)

設(shè)計滑模控制律為:

usmc=ua+us1+us2

(16)

控制律usmc各項表示為:

(17)

us1=-kss

(18)

us2=-ηsgn(s)

(19)

定義Lyapunov函數(shù)為

(20)

(21)

取自適應(yīng)律為

(22)

則有

-kss2-ηsgn(s)s+Ds<-kss2≤0

(23)

為了減小抖振帶來的影響,使用飽和函數(shù)sat(s)來代替符號函數(shù)sgn(s)。

(24)

式中:h稱為邊界層,飽和函數(shù)的本質(zhì)為:在邊界層外,采用切換控制,在邊界層內(nèi),采用線性化反饋控制。

4 仿真分析

根據(jù)實驗輸入輸出數(shù)據(jù),選擇T=8,ks=400,γ=30,θ=0.11。利用Simulink對上述系統(tǒng)進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖6所示。

圖6 自適應(yīng)滑?？刂品抡娼Y(jié)果

圖6中,虛線為理想曲線,實線為跟蹤曲線。從圖6可以看出兩條曲線幾乎重合,選取3 s附近的曲線細(xì)節(jié)如圖7所示,可以看出跟蹤曲線實際上是在理想曲線的上下波動,誤差小于1‰,說明了該控制算法的有效性。

圖7 自適應(yīng)滑?？刂品抡娼Y(jié)果細(xì)節(jié)

5 實驗分析

壓電陶瓷位移測量采用雙頻激光外差干涉法,具有抗干擾能力強、可溯源性等優(yōu)點。該系統(tǒng)由激光管、干涉儀光學(xué)組件、測量機箱、上位機、壓電控制器、壓電陶瓷等組成[17]。

實驗所需設(shè)備如圖8所示。激光管的型號為ZYGO ZMI7702,可以輸出兩束偏振光,它們的偏振方向互相垂直,頻差為20 MHz,用于位移測量;雙程干涉儀的型號為7006A。測量機箱的型號為ZMI2000,為激光管和數(shù)據(jù)采集卡提供電源,并提供與外部設(shè)備的通訊接口;上位機使用Labview編寫,獲取壓電陶瓷的位移數(shù)據(jù)以及控制壓電控制器產(chǎn)生驅(qū)動電壓;壓電控制器的型號為THORLABS BPC301,可提供0～150 V的驅(qū)動電壓;壓電陶瓷的型號為THORLABS AE0505D16F,其理論分辨率為100 nm/V,輸出位移為0～17.4 μm,最大驅(qū)動電壓是150 V。此外,為了減小環(huán)境對實驗的影響,該測量系統(tǒng)還采用了氣浮隔震臺,型號為SPFO-I-B,其固有頻率在垂直方向小于1.5 Hz,水平方向小于2 Hz。

圖8 實驗設(shè)備實物圖

5.1 遲滯補償實驗

采用前饋與自適應(yīng)滑模控制結(jié)合按照電壓與位移1∶100的關(guān)系進(jìn)行遲滯補償實驗,每隔15 s,改變10 V電壓,每500 ms采集一次數(shù)據(jù),得到圖9。圖中虛線為控制前的時間-位移曲線,實線為控制后的時間-位移曲線。圖9表明,控制前遲滯特性明顯,控制后同一電壓下的位移量基本一致。遲滯得到了抑制。為了減小測量誤差,將同一電壓下的所有位移測量值取平均并繪制電壓-位移曲線,得到圖10和圖11。圖10為控制前的電壓-位移曲線,圖11為控制后的電壓-位移曲線?？刂魄暗淖畲筮t滯量為1.281 7 μm,控制后最大遲滯量為0.049 4 μm,減小了96.1%,遲滯得到了有效的抑制。

圖11 控制后時間-位移曲

圖9 控制前與控制后的時間-位移曲線

圖10 控制前電壓-位移曲線

5.2 位移跟蹤控制實驗

采用前饋逆補償控制與自適應(yīng)滑模直接控制分別對同一組頻率不同的正弦信號進(jìn)行跟蹤,將得到的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和處理,得到圖12。圖中上方的點畫線為復(fù)合控制下的跟蹤曲線,實線為直接控制下的跟蹤曲線,離散點為期望位移點。圖12下方曲線為兩種控制下的誤差對比,其中實線為直接控制下的跟蹤誤差,點畫線為前饋逆補償控制下的跟蹤誤差。

圖12 兩種控制的時間-位移曲線及其誤差

與直接控制相比,前饋逆補償控制下位移跟蹤的輸出絕對誤差由0.37 μm下降為0.27 μm,下降了27%,平均絕對誤差由0.095 μm下降為0.078 μm,下降了17.9%,由此表明逆補償控制比直接控制更加平穩(wěn)。

6 結(jié)論

本文利用多項式逼近Duhem模型中的未知分段函數(shù)f(·)和g(·),利用遞推最小二乘法對Duhem模型中的未知參數(shù)進(jìn)行辨識,并根據(jù)辨識結(jié)果求取逆模型。并采用前饋逆補償控制進(jìn)行壓電陶瓷的遲滯補償實驗。實驗結(jié)果表明,前饋逆補償控制下壓電陶瓷的位移遲滯量減小了96.1%,有效的減弱了遲滯,與直接控制相比,前饋逆補償控制下位移跟蹤的輸出最大絕對誤差由0.37 μm下降為0.27 μm,下降了27.0%,平均絕對誤差由0.095 μm下降為0.078 μm,下降了17.9%。前饋逆補償控制下誤差更為平穩(wěn),具有更好的魯棒性和跟蹤精度。