金康 經(jīng)光銀

(西北大學(xué)物理學(xué)院, 西安 710127)

1 引 言

主動(dòng)物質(zhì)系統(tǒng)由活性粒子組成, 每個(gè)粒子可以把周?chē)h(huán)境的化學(xué)能、生物能轉(zhuǎn)化為推動(dòng)自身運(yùn)動(dòng)所需的能量.不同于經(jīng)典的被動(dòng)粒子系統(tǒng), 主動(dòng)系統(tǒng)中粒子的運(yùn)動(dòng)不再是來(lái)自環(huán)境的隨機(jī)力所驅(qū)使.例如, 通過(guò)合成手段制備的Janus粒子[1], 可以在化學(xué)催化反應(yīng)下產(chǎn)生主動(dòng)運(yùn)動(dòng), 以及振動(dòng)表面的極化圓盤(pán), 將振動(dòng)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能[2].在生物物理領(lǐng)域, 已知存在著大量的主動(dòng)系統(tǒng)樣本, 包括細(xì)菌運(yùn)動(dòng)[3]、細(xì)胞內(nèi)部肌動(dòng)微絲[4]、細(xì)胞分裂的微觀運(yùn)動(dòng)[5]、蛋白馬達(dá)[6]、以及大尺度魚(yú)群[7]、鳥(niǎo)群[8]等系統(tǒng).在這些系統(tǒng)中如何理解個(gè)體自主性和集群運(yùn)動(dòng)一直是主動(dòng)系統(tǒng)研究的熱點(diǎn).

處在平衡態(tài)的系統(tǒng)本身的力學(xué)、熱學(xué)、幾何等參量滿足的函數(shù)關(guān)系被稱為系統(tǒng)的物態(tài)方程, 其形式可以通過(guò)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)得到[9].而對(duì)于上述這些主動(dòng)系統(tǒng), 人們對(duì)很多經(jīng)典熱力學(xué)中的概念提出了新的問(wèn)題, 即如何定義系統(tǒng)的溫度T、內(nèi)能E及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)描述等等.Loi等[10]首先提出借助平衡態(tài)漲落-耗散理論定義自驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)有效溫度的方法, 借助該方法, 研究者分析了不同主動(dòng)系統(tǒng)中有效溫度與主動(dòng)力[11]、主動(dòng)粒子集群運(yùn)動(dòng)[12]等效應(yīng)的關(guān)系.相對(duì)于溫度, 壓強(qiáng)的定義更為有趣, 在熱力學(xué)中通?？梢砸肴N方式定義壓強(qiáng).一種是通過(guò)系統(tǒng)的自由能對(duì)體積的改變量獲得, 即熱力學(xué)壓強(qiáng)Pth=-?F/?V.另一種定義是粒子數(shù)密度為ρ的系∫統(tǒng)里作用在容器壁上的應(yīng)力可表示為Pm=ρ(r)?Vdr, 其中V為粒子-器壁相互作用勢(shì)能.第三種是從三維系統(tǒng)中的應(yīng)力張量定義的流體動(dòng)力學(xué)壓強(qiáng)Solon等[13]沿用了第二種壓強(qiáng)定義, 刻畫(huà)了諧振子勢(shì)場(chǎng)中的主動(dòng)系統(tǒng)壓強(qiáng)隨主動(dòng)粒子運(yùn)動(dòng)的關(guān)系, 并首先將系統(tǒng)壓強(qiáng)根據(jù)成因分為熱運(yùn)動(dòng)壓強(qiáng)、粒子相互作用壓強(qiáng)及粒子運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)壓強(qiáng), 進(jìn)而指出不同類型壓強(qiáng)對(duì)系統(tǒng)中的相分離效應(yīng)的影響.Takatori等[14]首先定義了主動(dòng)系統(tǒng)中的游泳壓強(qiáng)Π=nksTeff, 提出了此壓強(qiáng)可通過(guò)測(cè)量主動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)Dswim并借助關(guān)系Π=nξDswim獲得, 同時(shí)定義了主動(dòng)系統(tǒng)的有效玻爾茲曼系數(shù)ks和有效溫度Teff.而相應(yīng)的有效系數(shù)概念也被用于刻畫(huà)其他尺度上的人工活性系統(tǒng)及微生物系統(tǒng)[15].Takatori等[16]構(gòu)造了聲學(xué)諧振勢(shì)阱中的主動(dòng)粒子系統(tǒng), 在實(shí)驗(yàn)上直接測(cè)量了游泳壓強(qiáng)的大小.在活性膠體系統(tǒng)中, Ginot等[17]間接測(cè)量了系統(tǒng)的游泳壓強(qiáng).

在平衡態(tài)熱力學(xué)理論中, 系統(tǒng)的壓強(qiáng)僅與系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)相關(guān), 而與邊界-粒子相互作用強(qiáng)度、邊界形狀等因素?zé)o關(guān).Foss和Brandy[18]指出, 在器壁附近粒子與器壁相互作用滿足動(dòng)量守恒條件下, 流體動(dòng)力學(xué)壓強(qiáng)與單位面積上應(yīng)力等價(jià).Liu等[19]觀察到細(xì)菌具有群體感應(yīng)(quorum-sensing), 從而建立了一種動(dòng)態(tài)作用下種群態(tài)密度分布關(guān)系;Baskaran和Marchetti[20]考慮了棒狀粒子擴(kuò)散各向異性, 給出了主動(dòng)系統(tǒng)里修正的Smoluchowski方程; Solon等[21]基于這些主動(dòng)粒子相互作用機(jī)制, 解析地分析壓強(qiáng)后發(fā)現(xiàn)其大小與邊界-系統(tǒng)相互作用有關(guān), 預(yù)測(cè)了對(duì)應(yīng)的主動(dòng)系統(tǒng)不存在通用的物態(tài)方程; Junot等[22]設(shè)計(jì)了一個(gè)巧妙的實(shí)驗(yàn), 通過(guò)盤(pán)狀自驅(qū)動(dòng)粒子推動(dòng)一條柔性鏈, 對(duì)鏈進(jìn)行受力分析得到體系壓強(qiáng), 結(jié)果表明系統(tǒng)的壓強(qiáng)與邊界形狀相關(guān), 第一次從實(shí)驗(yàn)角度表明主動(dòng)系統(tǒng)不存在一般含義上的物態(tài)方程.

理解細(xì)菌游泳、自驅(qū)動(dòng)粒子的自組裝等主動(dòng)系統(tǒng)中效應(yīng)的熱力學(xué)特性, 包括主動(dòng)系統(tǒng)中的物態(tài)方程對(duì)系統(tǒng)中主動(dòng)粒子的形狀、器壁的具體勢(shì)阱、粒子間相互作用形式等的依賴性仍然是開(kāi)放性問(wèn)題.在Solon等[21]的工作中, 引入了一種特殊諧振作用勢(shì), 建立了壓強(qiáng)對(duì)自驅(qū)動(dòng)粒子與器壁動(dòng)量交換細(xì)節(jié)依賴性, 指出系統(tǒng)不存在物態(tài)方程.據(jù)我們所知,除了這種特殊的粒子-壁相互作用勢(shì)外, 目前尚未有其他形式的作用力下主動(dòng)系統(tǒng)的壓強(qiáng)物態(tài)方程.然而在溶液體系中, 粒子表面經(jīng)常會(huì)帶有電荷, 吸附到壁面上后, 使周?chē)鷰М惙N電荷粒子被暫時(shí)束縛, 從而形成一個(gè)異種電荷濃度不斷衰減的雙電荷層, 而溶液中其他粒子靠近壁面就會(huì)受到雙電荷層的作用力[23].本文在經(jīng)典膠體的DLVO作用力框架下, 主要考慮膠體系統(tǒng)存在壁面-粒子雙電層排斥勢(shì)能條件下, 器壁上壓強(qiáng)對(duì)粒子的長(zhǎng)徑比、幾何形狀、以及粒子主動(dòng)運(yùn)動(dòng)的依賴關(guān)系.與已有關(guān)于主動(dòng)系統(tǒng)壓強(qiáng)研究工作[13]不同的是, 我們研究了雙電層勢(shì)能下不同形狀主動(dòng)粒子, 包括球形、橢圓、矩形及與真實(shí)細(xì)菌“細(xì)胞加鞭毛”類似的雙矩形的粒子主動(dòng)壓強(qiáng)大小和形狀對(duì)稱性的關(guān)系.結(jié)果發(fā)現(xiàn), 主動(dòng)系統(tǒng)粒子形狀對(duì)稱性會(huì)明顯影響主動(dòng)壓強(qiáng)的大小, 而在經(jīng)典的被動(dòng)粒子系統(tǒng)中, 例如真實(shí)氣體, 不同形狀分子(偏心因子)在標(biāo)準(zhǔn)條件下造成的壓強(qiáng)差異較小[24].這點(diǎn)充分表明了主動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)物態(tài)方程與經(jīng)典熱力學(xué)系統(tǒng)物態(tài)方程的本質(zhì)差異性.就我們所知, 這一點(diǎn)在以往的報(bào)道中還沒(méi)有涉及.

2 主動(dòng)系統(tǒng)模型

考慮標(biāo)準(zhǔn)的主動(dòng)運(yùn)動(dòng)粒子模型, 假設(shè)粒子的自驅(qū)動(dòng)速度為v.根據(jù)自驅(qū)動(dòng)粒子類型的不同, 運(yùn)動(dòng)單元在行進(jìn)過(guò)程中依據(jù)不同的機(jī)制變化方向.比如主動(dòng)布朗粒子(active Brownian particles)存在轉(zhuǎn)動(dòng)擴(kuò)散行為, 運(yùn)動(dòng)-翻轉(zhuǎn)粒子 (run-and-tumble particles)以一定的頻率隨機(jī)調(diào)轉(zhuǎn)方向.這些模型[25,26]已經(jīng)被用來(lái)描述主動(dòng)膠體[27,28]、菌群[29]等系統(tǒng)的集群運(yùn)動(dòng).基于不同主動(dòng)粒子主動(dòng)運(yùn)動(dòng)依賴的機(jī)制不同, 為明確, 表1給出部分已有的研究報(bào)道中,不同主動(dòng)系統(tǒng)粒子運(yùn)動(dòng)參數(shù)的取值.

表1 不同類型主動(dòng)系統(tǒng)粒子運(yùn)動(dòng)參數(shù)取值說(shuō)明Table 1.Description of particle motion parameters of different types of active systems.

在我們研究的系統(tǒng)中系統(tǒng)單元是二維的主動(dòng)布朗粒子.粒子是長(zhǎng)度為2L的微型棒, 如圖1所示.運(yùn)動(dòng)速度為v=v(cosθ,sinθ) ,θ為粒子的取向角.粒子單位長(zhǎng)度受到來(lái)自墻壁的雙電層相互作用力為κZe-κD, 其中Z是相互作用常數(shù)[23].κ-1是德拜長(zhǎng)度,D是雙電層作用力作用距離.

圖1 主動(dòng)系統(tǒng)粒子示意圖, 粒子質(zhì)心距離壁面水平距離為x, 粒子長(zhǎng)度為2L, 取向角為θFig.1.Schematic diagram of the active particle, the horizonal distance between the wall and the centroid of the particle is x, the length of the particle is 2L and the orienting angle is θ.

假定粒子系統(tǒng)在y方向上的邊界滿足周期性邊界條件, 整個(gè)系統(tǒng)可以近似為一個(gè)準(zhǔn)一維系統(tǒng),壁面-粒子相互作用力僅存在于水平方向.對(duì)于一個(gè)質(zhì)心位置水平分量為x, 取向角為θ的粒子, 所受的作用力f和力矩M(參看附錄A)分別為:

而墻面感受到的壓力為

其中V(x) 是x位置的壁面-粒子勢(shì)能,ρ(x)=其中p(x,θ)是粒子概率分布函數(shù)的穩(wěn) 態(tài)表達(dá)式, 粒子的概率分布函數(shù)P(r,θ,t) 滿足?？?普朗克方程[9,21]

其中v代表粒子沿軸向的運(yùn)動(dòng)速度,μt和Dt分別是粒子的平動(dòng)遷移率和擴(kuò)散率, 相應(yīng)地,μr和Dr是轉(zhuǎn)動(dòng)遷移率與擴(kuò)散率, 而α是粒子運(yùn)動(dòng)翻轉(zhuǎn)率.

對(duì)p(x,θ) 進(jìn)行投影積分[21], 并選取邊界條件:x=0,ρ=ρ0,x→∞,ρ=0, 可算出壓強(qiáng)為

3 主動(dòng)系統(tǒng)壓強(qiáng)研究

3.1 壓強(qiáng)隨壁面-粒子相互作用強(qiáng)度變化研究

由(5)式給出的主動(dòng)系統(tǒng)壓強(qiáng)表達(dá)式, 為判斷是否存在系統(tǒng)的物態(tài)方程提供了依據(jù).首先考慮無(wú)力矩作用的主動(dòng)粒子系統(tǒng)(例如球形粒子,M(x,θ)=0), 系統(tǒng)壓強(qiáng)可以寫(xiě)為

墻面和分子間存在非零力矩時(shí), 壓強(qiáng)是否和墻壁-粒子相互作用相關(guān)? 接下來(lái)以主動(dòng)布朗流體為例 (α=0,Dt=0), 研究系統(tǒng)壓強(qiáng)與墻壁-粒子間雙電層相互作用系數(shù)Z的變化關(guān)系.從(5)式可以解出壓強(qiáng)為(參照附錄B)

在弱相互作用極限條件下(Zr→0),當(dāng)Zr稍微增大, 將表達(dá)式(7)式做展開(kāi)至一階, 可得即隨著Z的增大, 系統(tǒng)壓強(qiáng) r降低.圖2給出了隨約化相互作用強(qiáng)度Zr的變化曲線.相互作用增強(qiáng), 粒子受到更大的來(lái)自墻壁的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩 ((2)式), 轉(zhuǎn)動(dòng)速度增加, 更快地達(dá)到θ=π/2 的平衡位置(見(jiàn)附錄A).根據(jù)(1)式,在θ=π/2 時(shí), 作用力最小, 因此壓強(qiáng)下降.需要說(shuō)明的是, 解析結(jié)果(6)式是在弱相互作用近似下微擾展開(kāi)解得的.因此, 對(duì)于強(qiáng)相互作用, (7)式并不能正確描述系統(tǒng)壓強(qiáng).可以推斷, 在強(qiáng)相互作用極限下, 粒子有很大的分布幾率處于θ=π/2.回到(5)式, 可以得到系統(tǒng)的物態(tài)方程

在這種情況下, 由于所有粒子取向趨于一致, 主動(dòng)系統(tǒng)可以等同于不存在角度分布的球形粒子系統(tǒng),所以兩者具有相同的物態(tài)方程.綜上可得出結(jié)論:墻壁對(duì)粒子存在力矩作用的情況下, 由于分子的幾何形狀的非對(duì)稱性而形成的角度分布, 會(huì)影響墻壁-粒子間相互作用力, 使得系統(tǒng)不存在僅和主動(dòng)粒子熱力學(xué)參量相關(guān)的物態(tài)方程.

圖2 等效壓強(qiáng)隨約化相互作用強(qiáng)度Zr的變化Fig.2.Effective pressure as the function of reduced interaction intensity.

3.2 壓強(qiáng)與主動(dòng)粒子長(zhǎng)度關(guān)系

圖3 等效壓強(qiáng)隨主動(dòng)粒子約化長(zhǎng)度Lr的變化Fig.3.Effective pressure as the function of reduced length of active particle.

3.3 壓強(qiáng)與主動(dòng)粒子形狀的關(guān)系

粒子的形狀會(huì)影響壁面-粒子間力矩的大小[32].在主動(dòng)系統(tǒng)中, 主動(dòng)粒子的形狀可以由制備過(guò)程所決定[33], 而對(duì)于自然界存在的主動(dòng)粒子系統(tǒng), 其單元具有自己的特征形狀, 例如螺旋菌“細(xì)胞加鞭毛”類似兩個(gè)寬度不同的矩形相接的形狀.橢圓型粒子的布朗運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究已有相關(guān)的報(bào)道[34].Solon等對(duì)橢圓形主動(dòng)粒子系統(tǒng)粒子運(yùn)動(dòng)與壓強(qiáng)的關(guān)系進(jìn)行了理論探討.由于主動(dòng)系統(tǒng)的豐富性, 對(duì)更多不同形狀的主動(dòng)粒子所受力矩和系統(tǒng)壓強(qiáng)關(guān)系進(jìn)行探討是一個(gè)有趣的研究命題.接下來(lái)討論矩形粒子、類似螺旋菌的雙矩形粒子幾何形狀與所受力矩及系統(tǒng)壓強(qiáng)的關(guān)系, 同時(shí)引入橢圓粒子模型為參照, 對(duì)三種粒子形狀和壓強(qiáng)的關(guān)系進(jìn)行比較.

考慮矩形及雙矩形主動(dòng)粒子.矩形主動(dòng)粒子長(zhǎng)與寬分別為l,w, 雙矩形粒子兩個(gè)矩形長(zhǎng)寬分別為l1,w1,l2,w2(見(jiàn)圖4(a)標(biāo)注圖例, 其中l(wèi)1,w1是下端矩形的長(zhǎng)和寬,l2,w2是上端矩形的長(zhǎng)和寬).為方便運(yùn)算, 矩形面積及其他參量定義為:lw=2,l1w1=l2w2=1,l1=1.設(shè)兩類粒子的結(jié)構(gòu)常數(shù)s1,s2分別為粒子的取向角為θ, 矩形和雙矩形粒子所受力矩分別為

圖4 力矩和壓強(qiáng)隨三種粒子結(jié)構(gòu)常數(shù)的變化Fig.4.The variations of the torques and the pressures as a function of structure constants of the three kinds of particle.

為進(jìn)行比較引入橢圓形粒子, 設(shè)面積A=πab=2 ,其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)短軸.由于橢圓與矩形形狀上的相似性, 橢圓粒子的結(jié)構(gòu)常數(shù)同取為s1=a/b, 并以同樣的s1值比較兩類粒子系統(tǒng)的力矩和壓強(qiáng).可算得壁面-橢圓粒子間的力矩為基于矩形粒子和橢圓形粒子形狀上的類似, 可以比較同樣的結(jié)構(gòu)常數(shù)對(duì)應(yīng)的力矩和壓強(qiáng).而對(duì)于雙矩形形狀的粒子, 可以知道s2=1 對(duì)應(yīng)的形狀等同于s1=2 的矩形粒子形狀.因此以s1=2 及s2=1 為初始的結(jié)構(gòu)常數(shù)值,將三種粒子的力矩(壓強(qiáng))呈現(xiàn)在圖4(a)(圖4(b)).在圖4(a)中, 可以看到相同面積的橢圓形和矩形粒子結(jié)構(gòu)常數(shù)相同時(shí), 相應(yīng)的力矩差異很小.與矩形粒子不同, 雙矩形粒子所受力矩隨結(jié)構(gòu)常數(shù)增加呈非線性增加 (圖4(a)).由圖可知,s2/s1=3/6 ,M2/M1=1.47,s2/s1=3.5/7 ,M2/M1=1.62.在圖4(b)展示了相應(yīng)的壓強(qiáng)變化.三種粒子壓強(qiáng)表達(dá)式同(6)式,λ的值為[μrκ2Z/(2πDr)](s-(1/s))(橢圓形狀的粒子),[μrκ2Z/(6Dr)](s-(1/s))(矩形粒子),(雙矩形形狀的粒子).可以看出, 隨著結(jié)構(gòu)常數(shù)的增加, 系統(tǒng)的壓強(qiáng)下降, 與力矩隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)增加相對(duì)應(yīng).比較而言, 雙矩形粒子力矩及壓強(qiáng)隨結(jié)構(gòu)常數(shù)變化更明顯.可以想象, 越大的s2, 表明雙矩形里下端矩形長(zhǎng)度越長(zhǎng)(見(jiàn)圖4(a)里標(biāo)注圖例),體系的質(zhì)心就會(huì)向后方矩形偏移.正是這樣的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的改變, 使得壁面-粒子相互作用力矩增大,進(jìn)而加速向平衡位置的運(yùn)動(dòng), 減小壓強(qiáng).

據(jù)此可以看到, 粒子的形狀因素對(duì)系統(tǒng)壓強(qiáng)有顯著的影響.增強(qiáng)壁面-粒子相互作用強(qiáng)度, 增加粒子長(zhǎng)度及結(jié)構(gòu)常數(shù)這三種調(diào)控方式都加速了粒子的轉(zhuǎn)動(dòng).相應(yīng)地, 有理由推測(cè), 粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)遷移率μr升高也會(huì)降低系統(tǒng)的壓強(qiáng).圖5展示了不同粒子轉(zhuǎn)動(dòng)遷移率, 壓強(qiáng)隨粒子密度的變化曲線.可以看到, 對(duì)同樣的粒子密度, 壓強(qiáng)隨轉(zhuǎn)動(dòng)遷移率的升高而降低.同時(shí), 圖中曲線表明, 壓強(qiáng)隨著粒子數(shù)密度的增加線性增加.然而已有研究[20,21]指出在存在粒子間相互作用的情況下, 壓強(qiáng)隨數(shù)密度的變化會(huì)呈現(xiàn)出非線性特性.并且粒子數(shù)密度對(duì)粒子間相互作用的影響也是實(shí)驗(yàn)中樣本準(zhǔn)備需要考慮的因素[34].因此, 在存在雙電層壁面-粒子相互作用的主動(dòng)系統(tǒng)里, 考慮粒子間相互作用, 建立起系統(tǒng)壓強(qiáng)求解的解析或者數(shù)值方法, 并研究壓強(qiáng)特性及物態(tài)方程存在的條件, 是一個(gè)很有意義的、也是我們下一步準(zhǔn)備探討的課題.

圖5 對(duì)于不同的轉(zhuǎn)動(dòng)遷移率, 壓強(qiáng)隨粒子數(shù)密度的變化Fig.5.The variations of pressures as a function of particle number density for different rotational mobilities.

4 結(jié) 論

總結(jié)本文, 可以得到以下主要結(jié)論: 在墻壁與主動(dòng)粒子間存在雙電層相互作用時(shí), 墻壁對(duì)粒子施加力矩會(huì)引起壁面壓強(qiáng)降低, 原因在于外力矩會(huì)導(dǎo)致粒子旋轉(zhuǎn)到與墻壁平行的平衡位置.零力矩作用下, 主動(dòng)系統(tǒng)存在與理想氣體類似的物態(tài)方程.我們得出了主動(dòng)布朗流體中雙電層相互作用強(qiáng)度及微棒粒子長(zhǎng)度與壓強(qiáng)的關(guān)系, 可以看到相互作用強(qiáng)度和棒的長(zhǎng)度的增大都會(huì)降低主動(dòng)系統(tǒng)的壓強(qiáng); 而在弱相互作用和強(qiáng)相互作用極限下, 主動(dòng)系統(tǒng)的壓強(qiáng)僅與粒子參量相關(guān); 與墻壁-粒子相互作用無(wú)關(guān).主動(dòng)粒子的形狀也會(huì)影響主動(dòng)系統(tǒng)的壓強(qiáng).研究結(jié)果表明, 粒子相對(duì)于質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的破壞, 會(huì)增強(qiáng)粒子所受到的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩, 從而降低壓強(qiáng).

附錄A: 微棒粒子所受力、力矩及轉(zhuǎn)動(dòng)平衡位置

由圖A1, 微棒上的長(zhǎng)度元dl, 距離棒中心長(zhǎng)度l, 受到作用力為 df=κZexp[-κ(x+lcosθ)]dl, 積分可得到總受力為f=2Zexp[-κx]secθsinh(Lκcosθ) ((1)式).容易驗(yàn)證θ=π/2時(shí)f取極小值.雙電層靜電作用力f(x)=κZe-κx做展開(kāi)保留至一階得相對(duì)于圖A1坐標(biāo)原點(diǎn), 棒上長(zhǎng)度元 dl所受力矩dM(x,θ)=κZ[1-κ(x+lcosθ)]dlsinθ, 積分得到((2)式).對(duì)于不為零的初始角度(θ/=0), 在初始非零的(2)式力矩作用下, 棒的運(yùn)動(dòng)為永不停止的周期運(yùn)動(dòng).但是, 如果考慮一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的阻尼, 與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比, 運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為

圖 A1 對(duì)于不同的初始角坐標(biāo), 粒子取向角隨時(shí)間的演化, 約化阻尼系數(shù)αr=0.5Fig.A1.For different initial angular coordinates, the evolutions of orienting angles.Reduced damping coefficient αr=0.5.

其中α是阻尼系數(shù),J是棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 取約化時(shí)間約化阻尼系數(shù)αr=α/J, 運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為

數(shù)值計(jì)算表明對(duì)于不同的初始位置(圖A1), 平衡位置均為θ=0.5π.

附錄B: 主動(dòng)布朗流體壓強(qiáng)解析結(jié)果

考慮主動(dòng)布朗流體(α=0), 為方便計(jì)算, 假設(shè)粒子平動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)Dt=0.在(5)式中力矩對(duì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)可寫(xiě)為

其中λ=μrZL3κ2/(3Dr).首先將概率分布p(x,θ) 以λ展開(kāi)為

壓強(qiáng)表達(dá)式可寫(xiě)為

運(yùn)用迭代方法(見(jiàn)文獻(xiàn)[32](17)式-(24)式), 可解得

將上式代回到(B3)式, 可得到

即(6)式.