李德釗，鄧 華

(1.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

機(jī)械臂標(biāo)定是離線編程技術(shù)實(shí)用化的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]，是提高定位精度的重要手段。標(biāo)定過程的核心問題在于參數(shù)辨識(shí)環(huán)節(jié)，參數(shù)辨識(shí)精度直接影響末端絕對(duì)定位精度。

機(jī)械臂模型的參數(shù)辨識(shí)過程是非線性優(yōu)化的過程，目前大多參數(shù)辨識(shí)算法均選擇舍棄高階項(xiàng)，并在求解誤差模型時(shí)反復(fù)迭代以減小不必要的誤差，因而能獲得較高的辨識(shí)精度[2]。如擴(kuò)展卡爾曼濾波法、高斯-牛頓法、BP算法、LM算法、RLM算法、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。BP算法[3]即梯度下降法，利用參數(shù)沿與誤差梯度相反的方向移動(dòng)來獲得誤差函數(shù)的極小值，收斂速度較慢；LM算法[4]是一種利用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值優(yōu)化技術(shù)的快速算法，是梯度下降法和高斯-牛頓法的結(jié)合，兼具牛頓法的局部收斂性和梯度法的全局特性。由于利用了近似的二階導(dǎo)信息，因而比梯度法更快。但其無法滿足在線處理數(shù)據(jù)和實(shí)時(shí)優(yōu)化的情況；RLM算法[5]在其基礎(chǔ)上結(jié)合了遞推原理，不僅實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)辨識(shí)系統(tǒng)模型和檢測(cè)辨識(shí)結(jié)果優(yōu)劣，且參數(shù)化過程不敏感，減小代價(jià)函數(shù)陷入局部極小值的機(jī)率。但應(yīng)用于最速下降逼近的搜索方向使得算法過于復(fù)雜，另外，遺忘因子的非時(shí)變性也無法跟蹤時(shí)變參數(shù)。本文通過提出改進(jìn)型RLM算法，提高了參數(shù)辨識(shí)過程的收斂性和魯棒性，為運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)提供一定的理論參考。

1 機(jī)械臂的末端誤差建模

待測(cè)機(jī)械臂屬于六軸串聯(lián)式工業(yè)機(jī)械臂，重復(fù)定位精度為±30 μm，且滿足Pierper準(zhǔn)則[6]，即WCP(Wrist Center Point)處的3個(gè)關(guān)節(jié)是始終相交于一點(diǎn)，屬于解耦型機(jī)械臂。前3個(gè)關(guān)節(jié)確定WCP的位置，后3個(gè)關(guān)節(jié)確定WCP的姿態(tài)。本次標(biāo)定的待測(cè)點(diǎn)為TCP(Tool Center Point)，通過采集不同關(guān)節(jié)位形下的位姿樣本，并根據(jù)位姿評(píng)價(jià)體系評(píng)估標(biāo)定后絕對(duì)定位精度的提高程度。

機(jī)械臂本體的幾何結(jié)構(gòu)和的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系如圖1(a)和圖1(b)所示。

圖1 待測(cè)工業(yè)機(jī)械臂

在MDH運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中由ai(連桿長(zhǎng)度)、αi(關(guān)節(jié)扭角)、di(連桿偏距)、θi(關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角)和βj(關(guān)節(jié)平行度)，所以相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣[7]為：

(1)

(2)

(3)

(4)

那么該變換算子的表達(dá)式可表示為

(5)

(6)

將式(6)展開，并且忽略二階項(xiàng)及高階項(xiàng)得

(7)

結(jié)合式(3)～式(5)和式(7)可得dTt：

(8)

任意連桿i相對(duì)于前一連桿i-1的微分運(yùn)動(dòng)矢量方程組為

(9)

Δδti=Γδθ(i)Δθ+Γδa(i)·Δa+Γδβ(i)·Δβ

(10)

末端位姿誤差和運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的矩陣表達(dá)式為

[ΔθΔdΔαΔβ]T

(11)

為化簡(jiǎn)表達(dá)式(11)，令

E=[ΔθΔdΔαΔβ]T,那么可得關(guān)系表達(dá)式為

e=J×E

(12)

式(12)即為機(jī)械臂末端位姿誤差模型，符號(hào)J為參數(shù)辨識(shí)的系數(shù)矩陣，E為各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差矩陣，e為機(jī)械臂末端的位姿誤差矩陣。

2 RLM算法的改進(jìn)

RLM算法的準(zhǔn)則函數(shù)[8]為

(13)

式中，λ(0<λ≤1)為遺忘因子，反映歷史數(shù)據(jù)的遞減遺忘速度；ε(i,ω)為殘差向量；Q為正定加權(quán)矩陣。

易得準(zhǔn)則函數(shù)的Vt(ω)的遞推關(guān)系式為

(14)

對(duì)Vt(ω)求一階導(dǎo)數(shù)得

(15)

(16)

再對(duì)Vt(ω)求二階導(dǎo)數(shù),可得

εT(t,ω)Qε″(t,ω)

(17)

(18)

(19)

(20)

聯(lián)立式(17)～式(19)可得RLM算法為

(21)

顯然，傳統(tǒng)的RLM遺忘因子λ為定常值，當(dāng)λ=1時(shí)，為保證參數(shù)收斂性，但降低了參數(shù)估計(jì)的迭代效率，當(dāng)λ<1時(shí)，算法對(duì)噪聲越發(fā)靈敏，參數(shù)辨識(shí)過程極易發(fā)生振蕩，且λ的值越小，數(shù)據(jù)的遺忘速度越快，對(duì)準(zhǔn)則函數(shù)的損失程度越大，穩(wěn)態(tài)值較實(shí)際值偏離程度越嚴(yán)重。為保證遺忘因子λ是隨時(shí)間t逐漸趨于1，且趨近速度可控，兼具在迭代初期參數(shù)估計(jì)的高效性和迭代終期的收斂性。這里定義激勵(lì)機(jī)制：

λ(t)=λ0λ(t-1)+μ(t)(1-λ0)

(22)

式中，μ(t)為修正系數(shù)，且μ(0)=1，0<μ(t)≤1，常值λ0=0.99，遺忘因子λ迭代速度受修正系數(shù)μ影響，需保證修正系數(shù)μ隨系統(tǒng)變化實(shí)時(shí)更新。模糊系統(tǒng)不依賴于被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，通過模糊化、模糊推理和去模糊化等環(huán)節(jié)可獲得模型參數(shù)[9]，這里令k為模糊系統(tǒng)的清晰輸入，μ(t)為去模糊化后的輸出。確定模糊規(guī)則[10]如下：

若k>0，則μ(t)增大
若k<0，則μ(t)減小

由以上關(guān)系可得到清晰輸入k和清晰輸出h(t)之間的模糊系統(tǒng)。系統(tǒng)輸入偏差e和ec及輸出的模糊子集作如下定義：

k={NL NS ZO PS PL}

h(t)={NL NS ZO PS PL}

根據(jù)圖2中隸屬度函數(shù)可知,NL為負(fù)大，NS為負(fù)小，ZO為零，PS為正小，PL為正大。

圖2 輸出的隸屬度函數(shù)

那么模糊控制器中的Rule Base為：

Rule1:IFkis NLTHENμis NL
Rule2:IFkis NM THENμis NM
Rule3:IFkis ZO THENμis ZO
Rule4:IFkis PM THENμis PM
Rule5:IFkis PL THENμis PL

圖3 遺忘因子和修正系數(shù)相關(guān)變化曲線

為簡(jiǎn)化控制算法，作出如下近似和假設(shè)：

(23)

將式(23)代入式(21)中，那么可得到改進(jìn)型RLM算法表達(dá)式為

(24)

3 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和實(shí)驗(yàn)原理

3.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建

本次實(shí)驗(yàn)采用的測(cè)量?jī)x器是美國第三代的API T3三維激光跟蹤儀及相關(guān)配件，其絕對(duì)定位精度為±5 ppm，重復(fù)定位精度為2.5 ppm。圖4為綜合標(biāo)定實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)。

配合使用API T3 Cal儀器校準(zhǔn)軟件以及美國New River Kinematics公司研發(fā)的Spatial Analyzer軟件，來進(jìn)行空間位姿的采集、擬合和處理。

3.2 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系原理

如圖5所示，以激光跟蹤儀的基坐標(biāo)系{meas}為測(cè)量基準(zhǔn)，獲取不同關(guān)節(jié)位形下末端法蘭坐標(biāo)系{flange}的空間位姿，并通過機(jī)械臂的基坐標(biāo)系{base}和測(cè)量坐標(biāo)系{meas}之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到基礎(chǔ)坐標(biāo)系下末端法蘭位姿的實(shí)測(cè)值；另一方面，由各個(gè)關(guān)節(jié)坐

圖4 綜合標(biāo)定實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

標(biāo)系得到末端法蘭坐標(biāo)系{flange}相對(duì)于基坐標(biāo)系{base}下的齊次坐標(biāo)矩陣，可得基礎(chǔ)坐標(biāo)系下末端法蘭位姿的理論值，實(shí)測(cè)值和理論值之差即為末端位姿誤差。坐標(biāo)系之間存在數(shù)學(xué)關(guān)系的閉環(huán)等式：

(25)

圖5 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系原理圖

圖6中篩選出具有代表性的關(guān)鍵空間位姿群，經(jīng)采集、擬合和計(jì)算可得機(jī)械臂的基坐標(biāo)系{base}、測(cè)量坐標(biāo)系{meas}、法蘭坐標(biāo)系{flange}之間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

圖6 位姿采集過程中的關(guān)鍵關(guān)節(jié)位形

4 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 改進(jìn)型RLM算法的參數(shù)辨識(shí)

模型參數(shù)共有42個(gè)幾何偏差參數(shù)，包含18個(gè)獨(dú)立參數(shù)，24個(gè)相關(guān)參數(shù)，無不相關(guān)參數(shù)。由于關(guān)節(jié)的第二、三軸的軸線在理論上是互相平行的，所以Δβ1、Δβ3、Δd1、Δd2…12個(gè)參數(shù)不需要辨識(shí)，有30個(gè)待辨識(shí)的參數(shù)。圖7所示即為改進(jìn)型RLM算法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)偏差辨識(shí)[12]的迭代過程，對(duì)迭代收斂后小于一定誤差區(qū)間的參數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化處理即可得到最終辨識(shí)的幾何參數(shù)偏差值的穩(wěn)定數(shù)值，如表1所示。

圖7 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)偏差的迭代過程

關(guān)節(jié)Δθi/(°)Δdi/mmΔai/mmΔαi/(°)Δβi/(°)0dTmeas/mm或(°)ndTflange/mm或(°)1000.01041-8.95578×10-30-0.03311000.0155120.0010010-0.09503-0.005120460.00263500.0320800-0.0103330.001055-0.030520.000000.012115400.00072000.0555440.000000-0.077740.08551-0.019672100.015000705-9.12280×10-40.074706.218×10-3-0.0090797700.0300072064.20881×10-5000.04324060-0.01947030.02775330

注：Δθi為關(guān)節(jié)角度誤差；Δdi為連桿偏距誤差；Δai為連桿長(zhǎng)度誤差；Δαi為關(guān)節(jié)扭角誤差；Δβi為平行度偏差；°dTmeas為基礎(chǔ)坐標(biāo)位姿誤差；ndTflange為構(gòu)造法蘭坐標(biāo)系位姿誤差

RLM算法為非線性算法中極具代表性的遞進(jìn)算法之一，較線性參數(shù)估計(jì)算法而言，具有更高的辨識(shí)精度，智能算法不依賴于模型本身，具有快速搜索復(fù)雜多維空間，耦合非線性等特點(diǎn)更適于辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)。這里針對(duì)遺傳算法[13](GA)、傳統(tǒng)RLM和改進(jìn)型RLM算法，對(duì)比了參數(shù)θ6和d3辨識(shí)誤差的估計(jì)過程，如圖8、圖9所示。顯然，遺傳算法GA較傳統(tǒng)RLM算法的迭代過程波動(dòng)性較大，收斂速度較慢,而改進(jìn)型RLM由于遺忘因子λ隨系統(tǒng)的時(shí)變特性，辨識(shí)誤差逼近于零，較傳統(tǒng)RLM算法更小，抗擾動(dòng)能力更強(qiáng)。

圖8 參數(shù)θ6辨識(shí)誤差過程

圖9 參數(shù)d3辨識(shí)誤差過程

如表2所示，在同等迭代次數(shù)下，改進(jìn)型RLM算法即ImRLM迭代200次時(shí)已收斂至穩(wěn)態(tài)，較傳統(tǒng)RLM、遺傳算法GA等收斂速度更快，全局優(yōu)化性能更佳，能更快到達(dá)穩(wěn)態(tài)值。由此可知，在辨識(shí)誤差和迭代速度方面，改進(jìn)型RLM都具有更佳的效果。

4.2 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)?zāi)┒宋蛔苏`差驗(yàn)證

為驗(yàn)證末端精度的提高程度，在工業(yè)機(jī)械臂工作空間中采集100個(gè)測(cè)量點(diǎn)，將其作為驗(yàn)證末端位置精度的數(shù)據(jù)樣本。為減少激光跟蹤儀測(cè)量過程的回巢次數(shù)，減少累計(jì)誤差，因而需避免測(cè)量盲區(qū)，測(cè)量?jī)x器采集一定數(shù)量的數(shù)據(jù)母本，篩選出其中可觀測(cè)性[14]較高的100個(gè)空間位置點(diǎn)。首先采集標(biāo)定前待測(cè)點(diǎn)的末端位置坐標(biāo)，令為實(shí)際的末端位置坐標(biāo)；其次將參數(shù)辨識(shí)后的幾何偏差修正控制器中的模型參數(shù)，并測(cè)量原始關(guān)節(jié)位形下標(biāo)定前和標(biāo)定后的末端位置坐標(biāo)。分別與名義末端位置坐標(biāo)作差，即得標(biāo)定前后位置坐標(biāo)的偏差值。

其中參數(shù)辨識(shí)環(huán)節(jié)分別采用傳統(tǒng)RLM和改進(jìn)型RLM算法獲得的幾何參數(shù)偏差值作為誤差補(bǔ)償值，便于比較標(biāo)定前后末端絕對(duì)定位精度的提高程度。

在機(jī)械臂標(biāo)定中，位置誤差的誤差波動(dòng)范圍遠(yuǎn)大于姿態(tài)誤差的波動(dòng)范圍，因而這里主要研究末端位置誤差波動(dòng)性。圖10～圖12中描述了標(biāo)定前后位置誤差的偏離程度，并比較了采用傳統(tǒng)RLM算法和改進(jìn)型RLM算法標(biāo)定后位置誤差的分布區(qū)間，其中X、Y、Z方向的位置誤差大都分布在0.100～0.300 mm范圍內(nèi)，在標(biāo)定后，改進(jìn)型RLM較傳統(tǒng)RLM在X、Y、Z方向的位置誤差誤差波動(dòng)性更小，抗干擾性更強(qiáng)，能控制在0～0.050 mm范圍內(nèi)。圖13中空間位置誤差分布在0.150～0.350 mm范圍內(nèi)，而經(jīng)改進(jìn)型RLM標(biāo)定后，空間位置誤差也控制在0.050～0.100 mm范圍內(nèi)，空間位置定位精度得到較大的提高。

表3中羅列了傳統(tǒng)RLM標(biāo)定后和改進(jìn)型RLM標(biāo)定后的位置誤差的最大值(MAX)、 均值(AVE)和均方差(RMS)，結(jié)果表明X、Y、Z和3D方向的位置精度均得到明顯提高，圖14中比較了RLM算法改進(jìn)前后對(duì)于末端定位精度的提高程度。

圖10 X方向的位置誤差

圖11 Y方向的位置誤差

圖12 Z方向的位置誤差

圖13 三維空間的位置誤差

表3 標(biāo)定前后的機(jī)械臂末端定位精度評(píng)價(jià)列表

5 結(jié)束語

本文基于六軸機(jī)械臂的末端誤差建模，提出了改進(jìn)型RLM參數(shù)辨識(shí)算法，搭建了綜合位姿標(biāo)定系統(tǒng)并對(duì)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)原理進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。比較了遺傳算法GA、傳統(tǒng)RLM和改進(jìn)型RLM參數(shù)辨識(shí)過程中的收斂速度和辨識(shí)精度等指標(biāo)，相比而言，改進(jìn)型RLM算法具有更優(yōu)的性能。并利用傳統(tǒng)RLM算法和改進(jìn)型RLM算法實(shí)現(xiàn)幾何參數(shù)辨識(shí)和誤差補(bǔ)償，最后采集100個(gè)位置樣本進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，改進(jìn)型RLM算法較傳統(tǒng)RLM算法的參數(shù)辨識(shí)精度更高，抗擾動(dòng)能力更強(qiáng)，末端絕對(duì)定位精度得到了有效的提高，并能滿足自動(dòng)化領(lǐng)域中高穩(wěn)定性和高精度的要求。

圖14 傳統(tǒng)RLM和改進(jìn)型RLM標(biāo)定后定位精度的提高程度