徐 磊，李林濤，王志華

(太原理工大學(xué) a.機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，b.應(yīng)用力學(xué)研究所，c.材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030024)

TC4(Ti6Al4V)鈦合金是一種(α+β型)兩相鈦合金，既有較高的強(qiáng)度，又有足夠的塑性，且能長(zhǎng)期在高溫下工作，因而在航空、航天、船舶、化工以及兵器領(lǐng)域得到非常廣泛的應(yīng)用[1-2]。由TC4材料制作的構(gòu)件在使用過(guò)程中經(jīng)常會(huì)受到強(qiáng)動(dòng)載荷作用，因此對(duì)TC4鈦合金在動(dòng)態(tài)壓縮下的力學(xué)性能研究非常重要。

在實(shí)際應(yīng)用中，材料受載乃至破壞的過(guò)程一般是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，同時(shí)受到法向和切向的作用[3]。在復(fù)雜應(yīng)力作用下，材料的變形和破壞模式等都表現(xiàn)出明顯不同于理想加載情況的行為特征[4]。很大程度上，剪切對(duì)材料的破壞起了主要的作用[5]。研究壓-剪復(fù)合加載下材料的力學(xué)性能，對(duì)正確和全面認(rèn)識(shí)材料的本構(gòu)行為、理解材料破壞機(jī)理更具有現(xiàn)實(shí)意義。目前對(duì)于材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下力學(xué)行為的研究主要通過(guò)改變?cè)嚇拥男螤钜约耙胩囟ǖ募虞d裝置來(lái)實(shí)現(xiàn)。鄭文等[6]在SHPB 實(shí)驗(yàn)裝置的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)具有對(duì)稱(chēng)傾斜端面的墊塊來(lái)實(shí)現(xiàn)壓-剪復(fù)合加載。ZHOU et al[7]通過(guò)設(shè)計(jì)具有一定傾斜角度的壓頭，由套筒固定進(jìn)行試驗(yàn)，得到壓縮-剪切復(fù)合應(yīng)力關(guān)系。JIN et al[8-9]通過(guò)測(cè)試引入斜截面的圓柱形試樣得到了其在壓剪應(yīng)力空間下的屈服軌跡。上述的方法都是通過(guò)摩擦力來(lái)提供切向力，當(dāng)傾斜角度達(dá)到一定程度時(shí)會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)，切向力的位移計(jì)算就不再成立，此外還需要設(shè)計(jì)特定的加載裝置。

本文主要基于RITTEL et al[10]設(shè)計(jì)的一種剪切壓縮試件(SCS)進(jìn)行數(shù)值模擬分析，討論試件幾何尺寸(長(zhǎng)徑比、根角半徑、厚度)對(duì)SHPB實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，以?xún)?yōu)化試件的幾何尺寸參數(shù)；對(duì)試件內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)的變化進(jìn)行分析，并探討運(yùn)用SCS試件獲得材料屈服面的可行性。

1 有限元模型的建立

1.1 幾何模型

有限元模擬采用ABAQUS軟件的Dynamic Explicit模塊，建立分離式Hopkinson壓桿(SHPB)裝置的有限元模型，模型包括入射桿、透射桿和試件3個(gè)部分。其中：入射桿的半徑r=6 mm，長(zhǎng)度L=1 200 mm；透射桿的半徑r=6 mm，長(zhǎng)度L=1 100 mm；試件的幾何模型如圖1(a)所示。由于TC4鈦合金金屬在動(dòng)態(tài)絕熱剪切狀態(tài)下會(huì)發(fā)生大變形和破壞[11]，數(shù)值模擬過(guò)程中需盡量采用小的有限元單元尺寸，故對(duì)SCS傾斜段的單元進(jìn)行局部細(xì)化加密，控制單元類(lèi)型采用C3D8R八節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性六面體單元。

由于撞擊桿僅僅起到在入射桿中產(chǎn)生沖擊應(yīng)力波的作用，為了簡(jiǎn)化模型、提高計(jì)算效率、減少計(jì)算時(shí)間，此在SHPB有限元模型中省掉了撞擊桿，直接在入射桿的一端施加沿桿截面均勻分布的應(yīng)力波。入射桿端部輸入的應(yīng)力波脈沖通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得，如圖2所示。

w=Slot width，t=Gage thickness，D=Diameter，L=Length，r=Root corner radius圖1 SCS幾何模型Fig.1 SCS geometric model

圖2 入射應(yīng)力波Fig.2 Incident stress wave

1.2 材料模型

有限元模擬過(guò)程中采用了兩種材料模型：

1) 各向同性彈性模型。用于模擬入射桿和透射桿的材料為高碳鋼，其材料參數(shù)為密度ρ=7 890 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3.

2) Johnson-cook本構(gòu)模型和失效模型。Johnson-cook模型能夠反映應(yīng)變硬化、應(yīng)變率硬化和溫度軟化效應(yīng)，故采用本構(gòu)模型描述TC4鈦合金的應(yīng)力-應(yīng)變特性，失效模型描述該材料的損傷失效行為。其中TC4鈦合金材料本構(gòu)參數(shù)采用文獻(xiàn)[12]結(jié)果，失效參數(shù)采用文獻(xiàn)[13]的結(jié)果，具體參數(shù)如表1所示。

表1 TC4鈦合金的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of TC4

2 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

運(yùn)用SHPB系統(tǒng)進(jìn)行分析需要滿(mǎn)足兩個(gè)基本假設(shè)：1) 一維應(yīng)力波假設(shè)；2) 應(yīng)力均勻性假設(shè)。只有在滿(mǎn)足兩個(gè)基本假設(shè)的前提下，獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)才具有可靠性。為保證兩個(gè)基本假設(shè)滿(mǎn)足，需要對(duì)試件兩端的接觸力進(jìn)行動(dòng)態(tài)力平衡驗(yàn)證[14]，即任意時(shí)刻試件都處于左右兩側(cè)受力平衡的狀態(tài)。動(dòng)態(tài)力平衡公式如下：

Finput(t)=Foutput(t) .

(1)

式中：Finput和Foutput分別為試件左、右兩個(gè)界面上的力。

為了選取滿(mǎn)足SHPB動(dòng)態(tài)測(cè)試兩個(gè)基本假設(shè)的壓剪試件，分別對(duì)不同長(zhǎng)徑比、根角半徑、厚度的試件進(jìn)行數(shù)值模擬分析。

2.1 試件長(zhǎng)徑比對(duì)兩個(gè)基本假設(shè)的影響

對(duì)金屬材料進(jìn)行SHPB動(dòng)態(tài)力學(xué)性能測(cè)試，為了減小慣性和摩擦力對(duì)試件在動(dòng)態(tài)下應(yīng)力測(cè)量的影響，DAVIES et al[15]提出了SHPB試樣的最佳長(zhǎng)徑比為L(zhǎng)/D=(3v)1/2/2，其中υ為泊松比。然而考慮到SCS試件開(kāi)槽的影響，試件的長(zhǎng)徑比受到限制，故分別選取3種不同長(zhǎng)徑比(2∶1，3∶1，4∶1)的試件如圖1(b)，SCS的幾何參數(shù)為：長(zhǎng)度L=12，18，24 mm；直徑D=6 mm；θ=45°；寬度b=3 mm；厚度d=1.5 mm；根圓半徑r1=0.3 mm.進(jìn)行Hopkinson-bar動(dòng)態(tài)數(shù)值模擬分析，通過(guò)是否滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡來(lái)驗(yàn)證壓剪試件尺寸選取的合理性。不同長(zhǎng)徑比下試件和入(透)射桿桿端的接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)圖如圖3所示。

圖3 不同長(zhǎng)徑比的接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.3 Contact force-time curves under different aspect ratios

通過(guò)對(duì)試件端面和入(透)射桿端面接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)分析可知，隨著長(zhǎng)徑比的增加試件兩端的接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)重合度越來(lái)越低，即保持動(dòng)態(tài)力平衡能力較差，獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性降低。為了使壓剪動(dòng)態(tài)測(cè)試的實(shí)驗(yàn)結(jié)果更具可靠性，應(yīng)該適當(dāng)減小試件的長(zhǎng)徑比。綜上可知，在3種長(zhǎng)徑比的壓剪試件中長(zhǎng)徑比為2∶1試件的接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)重合度最高，故選取該長(zhǎng)徑比試件進(jìn)行SHPB動(dòng)態(tài)測(cè)試獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更具可靠性。

2.2 試件根角半徑、厚度對(duì)兩個(gè)基本假設(shè)的影響

基于上文中提到更加符合動(dòng)態(tài)力平衡的試件(長(zhǎng)徑比2∶1)，接下來(lái)討論不同根角半徑、厚度的試件是否滿(mǎn)足兩個(gè)基本假設(shè)。分別加工3種厚度d(1.5，2.0，2.5 mm)及3種根角半徑r2(0.3，0.9，1.5 mm)共計(jì)9種不同規(guī)格的壓剪試件進(jìn)行Hopkinson-bar動(dòng)態(tài)數(shù)值模擬分析，通過(guò)是否滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡來(lái)驗(yàn)證壓剪試件根角半徑和厚度選取的合理性。試件和入(透)射桿桿端的接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)如圖4所示。

圖4為不同根角半徑、厚度的試件端面和入(透)射桿端面接觸力-時(shí)間變化曲線(xiàn)，通過(guò)對(duì)入射端和透射端接觸力-時(shí)間曲線(xiàn)的重合度來(lái)驗(yàn)證是否滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡條件?？紤]到SHPB數(shù)值模擬的過(guò)程相比實(shí)驗(yàn)過(guò)程更加理想化，對(duì)入射端和透射端接觸力-時(shí)間曲線(xiàn)的重合度要求較高。為了更加直觀(guān)了解不同厚度d和根角半徑r2的試件對(duì)動(dòng)態(tài)力平衡條件滿(mǎn)足情況，對(duì)圖4中滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)，如表2所示。

由表2可知，當(dāng)試件根角半徑r2=0.3 mm時(shí)，3種厚度的試件進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)試時(shí)試件兩端接觸力都能保持平衡，均滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡的條件。當(dāng)試件根角半徑r2=0.9 mm時(shí)，厚度d=2 mm的試件滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡的條件；而厚度d=1.5，2.5 mm的試件不滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡條件。當(dāng)試件根角半徑r2=1.5 mm時(shí)，厚度d=2.5 mm的試件滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡的條件，厚度d=1.5，2.0 mm的試件均不滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡的條件。通過(guò)上述數(shù)值模擬結(jié)果可知，試件傾斜段根角半徑、厚度的選取對(duì)Hopkinson-bar動(dòng)態(tài)測(cè)試的兩個(gè)基本假設(shè)均有很大影響。因此，在設(shè)計(jì)試件尺寸時(shí)需要考慮試件傾斜段根角半徑、厚度的參數(shù)。通過(guò)對(duì)動(dòng)態(tài)力平衡驗(yàn)證結(jié)果分析可知，傾斜段根角半徑r2=0.3 mm的試件不受厚度變化的影響且均滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)力平衡，故該根角半徑的選取更具普適性和合理性。

圖4 不同根角半徑、厚度下的接觸力-時(shí)間曲線(xiàn)Fig.4 Contact force-time curves under different root angles and thicknesses

表2 動(dòng)態(tài)力平衡結(jié)果Table 2 Results of dynamic force balance

2.3 試件內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)分析

在滿(mǎn)足SHPB動(dòng)態(tài)測(cè)試兩個(gè)基本假設(shè)的前提下，對(duì)試件傾斜段的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行進(jìn)一步分析。分別沿兩個(gè)根角邊緣和中部3個(gè)路徑等間距取點(diǎn)，取點(diǎn)示意圖如圖5所示。各點(diǎn)Mises應(yīng)力-時(shí)間變化曲線(xiàn)及Hopkinson-bar和試件的應(yīng)變-時(shí)間變化曲線(xiàn)見(jiàn)圖6和圖7；試件整體的Mises應(yīng)力、等效塑性應(yīng)變?cè)茍D見(jiàn)圖8.

圖5 試件取點(diǎn)示意圖Fig.5 The points of SCS

圖6 試件取點(diǎn)的Mises應(yīng)力-時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.6 Mises stress-time curves with the points of SCS

圖7 Hopkinson-bar和試件的應(yīng)變-時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.7 Strain-time curves of Hopkinson-bar and SCS

由圖5試件取點(diǎn)示意圖及圖6各點(diǎn)Mises應(yīng)力-時(shí)間變化曲線(xiàn)可知，在彈性變形OA段，選取的9個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力隨時(shí)間變化基本一致；當(dāng)進(jìn)入塑性變形AB段后，選取的點(diǎn)的應(yīng)力發(fā)生變化，在根角點(diǎn)B1、C3位置處的應(yīng)力隨時(shí)間變化曲線(xiàn)最高，而B(niǎo)3、C1位置處的應(yīng)力隨時(shí)間變化曲線(xiàn)最小，其余各點(diǎn)的Mises應(yīng)力強(qiáng)度和變化基本保持一致，且強(qiáng)度值介于兩根角點(diǎn)強(qiáng)度值之間。因?yàn)樵趬嚎s-剪切復(fù)合應(yīng)力下具有一定傾斜角試件的短對(duì)角上會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中[16]，所以在根角線(xiàn)上會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力分布不均勻現(xiàn)象，短對(duì)角點(diǎn)位置上應(yīng)力強(qiáng)度值較大而長(zhǎng)對(duì)角點(diǎn)位置應(yīng)力強(qiáng)度值較小。由圖7可以看出，由入射桿、透射桿上得到的應(yīng)變隨時(shí)間變化曲線(xiàn)和試件傾斜段上的應(yīng)變隨時(shí)間變化曲線(xiàn)基本一致，說(shuō)明在加載過(guò)程中由桿上獲得應(yīng)變信號(hào)能準(zhǔn)確反映試件內(nèi)部的應(yīng)變狀態(tài)。從圖8 Mises應(yīng)力和等效塑性應(yīng)變?cè)茍D很明顯的看出，整個(gè)試件的塑性變形區(qū)和高強(qiáng)度值區(qū)域均集中在傾斜段，傾斜段除了因?yàn)閼?yīng)力集中效應(yīng)導(dǎo)致出現(xiàn)較大應(yīng)力和塑性應(yīng)變的根角部位外，其余區(qū)域的應(yīng)力和塑性應(yīng)變分布比較均勻。綜合圖6各點(diǎn)Mises應(yīng)力-時(shí)間變化曲線(xiàn)、圖7 Hopkinson-bar和試件的應(yīng)變-時(shí)間變化曲線(xiàn)和圖8為試件整體的Mises應(yīng)力、等效塑性應(yīng)變?cè)茍D可知，雖然兩根角處會(huì)發(fā)生應(yīng)力應(yīng)變集中，但是在兩個(gè)根角之間區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)分布比較均勻，滿(mǎn)足試件均勻性假設(shè)。

圖8 Mises應(yīng)力和等效塑性應(yīng)變?cè)茍DFig.8 Mises stress and equivalent plastic strain cloud

2.4 TC4的動(dòng)態(tài)屈服準(zhǔn)則

由以上分析結(jié)果確定了滿(mǎn)足SHPB結(jié)果分析基本假設(shè)的試件尺寸參數(shù)，在加載過(guò)程中試件的變形主要集中在傾斜段，且滿(mǎn)足試件均勻性假設(shè)的要求。為獲得材料的屈服面，分別對(duì)不同傾斜角(0°，15°，30°，45°)的SCS試件(L∶D=2∶1，r2=0.3 mm，d=1.5 mm)進(jìn)行動(dòng)態(tài)、靜態(tài)壓縮數(shù)值模擬，將動(dòng)態(tài)加載過(guò)程中得到的應(yīng)變通過(guò)SHPB分析的三波公式換算成試件整體應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)[17]，得到試件動(dòng)態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)和靜態(tài)加載下的力-位移曲線(xiàn)如圖9，圖10所示。其中，三波公式為：

(2)

(3)

式中：εi(t)、εr(t)、εt(t)、SS、LS表示試件中的入射脈沖、反射脈沖、透射脈沖以及試件截面積和長(zhǎng)度；而C0、E、SB則表示桿的彈性壓縮波波速、彈性模量和截面積。

圖9 動(dòng)態(tài)加載下法向應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.9 Dynamic normal stress-strain curves

圖10 動(dòng)態(tài)加載下切向應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.10 Dynamic shear stress-strain curves

在加載過(guò)程中入射桿端面受均布力F0，試件內(nèi)部的壓剪區(qū)分別受到垂直于傾斜方向的法向力Fn和平行于傾斜方向的切向力Fs，試件受力分析如圖11所示，試件的變形如圖12所示，壓剪區(qū)沿軸向F0方向受力平衡，因此可知：

(4)

當(dāng)試件沿軸向F0方向移動(dòng)距離Δd時(shí)，試件的法向應(yīng)變和切向應(yīng)變分別表示為：

(5)

當(dāng)試件處以彈性狀態(tài)，此時(shí)可得到法向力和切向力滿(mǎn)足的關(guān)系式：

Fn=σAs=EεAs.

(6)

Fs=τAs=GγAs.

(7)

式中：σ和τ分別為正應(yīng)力和切應(yīng)力；E和G分別是材料的彈性模量和剪切模量；As是試樣傾斜段的斜截面面積。聯(lián)立式(3)，(4)，(6)，(7)可以得到動(dòng)態(tài)復(fù)合壓剪加載條件下的試樣的正應(yīng)力和切應(yīng)力：

(8)

(9)

結(jié)合式(2)、式(5)可以得到壓剪區(qū)的軸向應(yīng)變和切向應(yīng)變得表達(dá)式為：

(10)

(11)

因此將動(dòng)態(tài)加載下的入射應(yīng)變、反射應(yīng)變、透射應(yīng)變以及靜態(tài)加載下的力和位移數(shù)據(jù)通過(guò)式(2)-(11)可以得出動(dòng)態(tài)、靜態(tài)復(fù)合應(yīng)力狀態(tài)下試件的正應(yīng)力-正應(yīng)變曲線(xiàn)、剪應(yīng)力-剪應(yīng)變曲線(xiàn)，如圖9-10及圖13-14所示。

圖11 試件受力分析圖Fig.11 Force analysis for specimen

圖12 試件變形示意圖Fig.12 Distortion analysis of specimen

圖15-16為不同傾斜角試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)和力-位移曲線(xiàn)。由圖可知，在彈性階段，隨著傾斜角度的增加試件的彈性模量不變；當(dāng)進(jìn)入塑性變形階段，隨著傾斜角度的增加，試件的屈服強(qiáng)度、極限強(qiáng)度明顯下降，試件的承載力下降。對(duì)比圖9、13法向應(yīng)力-法向應(yīng)變曲線(xiàn)和圖10、14切向應(yīng)力-切向應(yīng)變可知，法向應(yīng)力隨傾斜角的增加而下降，而切向應(yīng)力隨傾斜角的增加而增大，所以隨著傾斜角度的增加，試件的剪切效應(yīng)越來(lái)越強(qiáng)；動(dòng)態(tài)加載下的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力強(qiáng)度值明顯高于靜態(tài)加載下的強(qiáng)度值；隨著傾斜角度的改變，試件內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)雖然發(fā)生改變，但是彈性模量和剪切模量均不改變。

圖13 靜態(tài)加載下法向應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.13 Quasi-static normal stress-strain curves

圖14 靜態(tài)加載下切向應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.14 Quasi-static shear stress-strain curves

圖15 不同傾斜角動(dòng)態(tài)下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.15 Stress-strain curves under different inclination angles

圖16 不同傾斜角試件的力-位移曲線(xiàn)Fig.16 Force-displacement curves under different inclination angles

當(dāng)材料發(fā)生塑性變形后，式(6)-(7)就不再滿(mǎn)足，所以圖9，10，13中曲線(xiàn)的塑性部分也就只具有參考意義。但是由法向應(yīng)力-法向應(yīng)變曲線(xiàn)、切向應(yīng)力-切向應(yīng)變曲線(xiàn)可以獲得不同傾斜角度下的屈服強(qiáng)度，而通過(guò)不同的傾斜角度可以確定屈服面上的一個(gè)點(diǎn)。因此得到TC4鈦合金的屈服面，如圖17所示。

圖17中兩條曲線(xiàn)為理論計(jì)算的動(dòng)、靜態(tài)屈服面，直線(xiàn)0°，15°，30°，45°分別為對(duì)應(yīng)傾斜角時(shí)的加載路徑。由圖17可知，不同加載路徑下得到的屈服應(yīng)力和理論值一致，說(shuō)明此種SCS試件能得到有效的動(dòng)、靜態(tài)屈服面，可用來(lái)研究材料的屈服準(zhǔn)則。

3 結(jié)論

本文基于SHPB數(shù)值模擬分析了SCS試件在壓-剪復(fù)合加載下獲得材料屈服面的可行性。通過(guò)對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果分析得到了如下結(jié)論：

圖17 壓-剪復(fù)合加載下試件的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)屈服面Fig.17 Quasi-static and dynamic yield surface of specimen under combined shear-compression

1) SCS試件長(zhǎng)徑比以及傾斜段的根角半徑、厚度均對(duì)SHPB結(jié)果分析有影響，在運(yùn)用SHPB分析時(shí)需要對(duì)SCS試件進(jìn)行設(shè)計(jì)并驗(yàn)證動(dòng)態(tài)力平衡。

2) SCS試件的塑性變形區(qū)主要集中在傾斜段，傾斜段在加載過(guò)程中應(yīng)力-應(yīng)變場(chǎng)均勻分布，滿(mǎn)足試件均勻性假設(shè)。

3) 通過(guò)分析不同傾斜角度下SCS試件的法向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和切向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，獲得不同應(yīng)力加載路徑下材料屈服強(qiáng)度的法向分量和切向分量，可以確定材料的準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)加載屈服面，這對(duì)于研究材料的屈服準(zhǔn)則有非常重要的意義。