羅德龍， 鄧朝暉， 劉 濤， 佘帥龍， 羅程耀， 彭克立

(1. 湖南科技大學(xué)， 難加工材料高效精密加工湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 湘潭 411201) (2. 湖南科技大學(xué) 智能制造研究院， 湖南 湘潭 411201) (3. 湖大海捷(湖南)工程技術(shù)研究有限公司， 長(zhǎng)沙 410012)

凸輪軸作為配氣機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵零部件，其加工質(zhì)量、精度等直接影響相關(guān)產(chǎn)品的使用性能和能耗標(biāo)準(zhǔn)[1]。近年來，高速磨削技術(shù)在凸輪軸加工中得到廣泛應(yīng)用[2]。作為典型的非圓輪廓零件，凸輪軸在高速磨削過程中的磨削力、磨削接觸剛度等動(dòng)力學(xué)參數(shù)均呈現(xiàn)出與普通外圓磨削和平面磨削不同的變化規(guī)律，給機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能帶來極大挑戰(zhàn)。

為提高凸輪軸磨削加工質(zhì)量與精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在磨削顫振和工藝系統(tǒng)穩(wěn)定性方面進(jìn)行了諸多理論和實(shí)驗(yàn)研究，顫振分析理論體系已基本建立[3-8]。HAHN[4]首先提出再生型顫振的概念，認(rèn)為加工表面的波紋再生是引起工藝系統(tǒng)振動(dòng)的主要原因。ALTINTAS等[5]對(duì)縱磨再生顫振動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了建模分析及表面波紋度研究。ZHANG等[6]通過切除材料的幾何特征，建立了動(dòng)態(tài)磨削力模型并分析了其與穩(wěn)定性的關(guān)系。XU等[7]建立了外圓切入磨削非線性動(dòng)力學(xué)模型。王龍山等[8]探討了影響工件顫振頻率的因素——工件接觸剛度和砂輪的非線性剛度，通過實(shí)驗(yàn)和理論分析認(rèn)為增大磨削力可以非線性提高其接觸剛度；而且，增大磨削力還可以使工件系統(tǒng)的顫振頻率提高。蔣永翔等[9]建立了外圓切入磨工件、砂輪再生顫振動(dòng)力學(xué)模型及穩(wěn)定性判定條件，并驗(yàn)證了該模型及穩(wěn)定性理論的正確性。遲玉倫等[10]對(duì)外圓切入磨材料去除率模型的時(shí)間常數(shù)進(jìn)行研究，提出了磨削接觸剛度的有效測(cè)量方法，并建立其與系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系。

上述研究都停留在理論層面，離實(shí)際工程應(yīng)用相距甚遠(yuǎn)，且多集中在平面或外圓磨削上[2]，而針對(duì)凸輪軸類非圓輪廓零件的磨削穩(wěn)定性研究還不夠深入，缺乏精準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)獲取方法。因此，有必要針對(duì)凸輪軸高速磨削工藝系統(tǒng)穩(wěn)定性問題開展研究，建立相應(yīng)的磨削動(dòng)力學(xué)模型，分析其穩(wěn)定磨削區(qū)域，并基于Matlab/Simulink搭建磨削過程顫振仿真模型，選取適當(dāng)?shù)哪ハ鞴に噮?shù)進(jìn)行數(shù)值仿真分析與驗(yàn)證，以達(dá)到避免顫振、提高加工質(zhì)量和效率的目的。

1 凸輪軸高速磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

1.1 磨削系統(tǒng)簡(jiǎn)化

一般認(rèn)為磨床在切線方向(Y向)的整機(jī)動(dòng)剛度足夠大，引起動(dòng)態(tài)切削厚度b(t)變化的主要原因是磨削力徑向分力的波動(dòng)。因此，磨削系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為如圖1所示的單自由度系統(tǒng)。

圖1 凸輪軸高速磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型 Fig. 1 Dynamic model of camshaft high speed grinding system

該磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

(1)

其中：Fn(t)為磨削過程法向動(dòng)態(tài)磨削力，m為系統(tǒng)的等效質(zhì)量，K為系統(tǒng)的等效剛度，C為系統(tǒng)的等效阻尼，并設(shè)X(t)為砂輪架系統(tǒng)的瞬時(shí)振動(dòng)位移。

1.2 磨削過程參數(shù)求解

根據(jù)熊超等[11]建立的凸輪非圓輪廓法向磨削力Fn數(shù)學(xué)模型：

(2)

其中：k是與工件材料有關(guān)的磨削力系數(shù)；μ表示砂輪寬度或者被加工工件寬度；γ為砂輪磨粒的圓錐半頂角，一般取γ=60°；d0為平均磨粒間隔；ε為影響系數(shù)，且ε=0.2～0.5；ap為砂輪磨削深度；vw、vs分別表示磨削點(diǎn)線速度和砂輪線速度；ds為砂輪直徑，dρ為凸輪上瞬時(shí)磨削點(diǎn)的曲率直徑。

由式(2)可以看出：影響磨削過程中法向動(dòng)態(tài)磨削力變化的主要因素有瞬時(shí)磨削深度ap、凸輪磨削點(diǎn)的線速度vw和磨削點(diǎn)曲率半徑dρ等。由于本文凸輪軸磨削采用恒線速磨削加工方式，故動(dòng)態(tài)磨削力的影響因素主要考慮瞬時(shí)磨削深度ap和當(dāng)量砂輪直徑de，當(dāng)量砂輪直徑的計(jì)算公式如下：

(3)

以某型號(hào)汽車凸輪軸為例，該凸輪基圓半徑15.5 mm，砂輪半徑200 mm，滾子測(cè)頭半徑8 mm，最大升程值為凸輪轉(zhuǎn)角位于98°時(shí)的5.1525 mm，且凸輪兩側(cè)帶有凹面。通過Matlab編程計(jì)算，得到凸輪曲率半徑dρ與轉(zhuǎn)角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2所示。

圖2 凸輪曲率半徑與轉(zhuǎn)角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 Fig. 2 The corresponding relationship between the Radius

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，可以求得任意磨削點(diǎn)p處工件的角速度ω，如公式(4)所示：

(4)

同時(shí)，根據(jù)轉(zhuǎn)角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式(5)，將凸輪轉(zhuǎn)角視為中間變量，即可得到凸輪曲率半徑與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖3(凸輪基圓轉(zhuǎn)速為nw=90 r/min)

(5)

圖3 曲率半徑與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖 Fig. 3 The corresponding relationship between the radius of curvature and the time

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，對(duì)于任意時(shí)刻t，磨削系統(tǒng)的輸入量為理論磨削深度；磨削系統(tǒng)的變量為砂輪磨損量、凸輪軸的去除量、砂輪與工件之間的接觸變形以及磨床系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變形(即系統(tǒng)振動(dòng)的振幅)；磨削系統(tǒng)在任意時(shí)刻的理論磨削深度等于此時(shí)的砂輪磨損量和凸輪軸的去除量、砂輪與工件之間的接觸變形、磨床系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變形之和；磨削系統(tǒng)的輸出量為動(dòng)態(tài)磨削力。由于在凸輪軸高速磨削過程中，砂輪存在定期修整，如果忽略砂輪的磨損對(duì)動(dòng)態(tài)磨削過程的影響，從而得到任意時(shí)刻t凸輪磨削的實(shí)際磨削深度(凸輪軸的去除量)計(jì)算公式：

(6)

其中：a0表示凸輪磨削時(shí)單圈的理論磨削深度；ai(t)表示第i圈的實(shí)際瞬時(shí)磨削深度值；x(t)表示任意時(shí)刻t砂輪與工件之間的接觸變形量；b(t)表示工件表面的動(dòng)態(tài)振紋。b(t)為：

b(t)=b0-[X(t)-X(t-T)]

(7)

其中：b0表示凸輪表面的初始振紋，X(t)為工藝系統(tǒng)的瞬時(shí)振動(dòng)位移，T為工件主軸的旋轉(zhuǎn)周期。

從式(7)可以看出：凸輪軸高速磨削工藝系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)滯非線振動(dòng)系統(tǒng)。對(duì)于凸輪軸和砂輪之間的接觸變形x，考慮工件經(jīng)過了熱處理以及局部冷激工藝，具有較高的硬度，而砂輪表面的磨粒則是結(jié)合在結(jié)合劑上的，其接觸變形較凸輪的接觸變形要大得多，所以在分析中可用砂輪的接觸變形近似代替砂輪和工件之間的總變形。砂輪的接觸變形函數(shù)表達(dá)式如下[8]：

(8)

其中：k1=2.23，e=0.706，x的單位是μm。

2 凸輪軸高速磨削過程仿真與結(jié)果分析

2.1 磨削顫振仿真模型

根據(jù)前文所建立的凸輪軸高速磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，基于Matlab/Simulink搭建磨削過程顫振仿真模型，考慮將整個(gè)仿真分為2個(gè)功能模塊，一塊主要是用于求解動(dòng)力學(xué)模型所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)微分方程，另一塊則是用于求解動(dòng)態(tài)磨削力的子模塊。

對(duì)于微分方程求解，通常采用積分方式進(jìn)行子結(jié)構(gòu)建模，首先選擇Continuous中的integrator模塊表示微分方程的各階積分；采用Commonly used Blocks中的Gain模塊表示微分方程的各個(gè)系數(shù)；采用Math Operations中的Add運(yùn)算模塊將微分方程進(jìn)行等式表達(dá)；采用Sinks中的Scope模塊顯示輸出。

而對(duì)于動(dòng)態(tài)磨削力的求解，由以上分析可知，主要求解瞬時(shí)磨削深度和當(dāng)量砂輪直徑的值。由瞬時(shí)磨削深度推導(dǎo)公式(6)，采用Sources中的Clock模塊來表示模型仿真時(shí)間；采用Signal Routing中的Switch模塊表示仿真的分支結(jié)構(gòu)；采用Commonly used Blocks中的Constant輸入模塊表示凸輪軸磨削加工設(shè)定的理論磨削深度；采用Continuous中的Transport Delay模塊表示凸輪軸磨削加工每一圈的時(shí)滯項(xiàng)；采用Math Operations中的Add運(yùn)算模塊對(duì)磨削深度值計(jì)算求解；采用User-Defined Functions中的Fcn模塊表示磨削力與磨削深度之間的函數(shù)關(guān)系；同時(shí)，根據(jù)前文所述的凸輪輪廓曲率半徑以及當(dāng)量砂輪直徑的計(jì)算方法，為了將Matlab工作區(qū)中計(jì)算得到的當(dāng)量砂輪直徑隨時(shí)間的函數(shù)關(guān)系代入到Simulink仿真模型中，采用Sources中的From Workspace模塊來讀入工作區(qū)中的計(jì)算數(shù)據(jù)，并使用Math Operations中的Product模塊表示動(dòng)態(tài)磨削力的各個(gè)影響因素之間的乘積關(guān)系?；贛atlab/Simulink環(huán)境，搭建的磨削過程計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng)模型如圖4所示。

圖4 凸輪軸高速磨削加工系統(tǒng)仿真框圖 Fig. 4 Simulation diagram of camshaft high speed grinding

2.2 凸輪軸高速磨削過程仿真結(jié)果分析

根據(jù)前期對(duì)CNC8325B數(shù)控凸輪軸磨床進(jìn)行的整機(jī)動(dòng)剛度測(cè)試結(jié)果[12]：磨床整機(jī)X向(法向)動(dòng)剛度為K=4.834×106N/m，系統(tǒng)的固有頻率ωn=187 Hz，并由頻率響應(yīng)曲線用半功率法求得系統(tǒng)的阻尼比ξ=1.2%，由此可以求得磨削系統(tǒng)的等效質(zhì)量、阻尼參數(shù)等。同時(shí)，磨削過程的其他仿真參數(shù)設(shè)置如下：凸輪寬度μ=25 mm，平均磨粒間隔d0=0.67 mm，影響系數(shù)ε=0.28，與工件有關(guān)的磨削力系數(shù)k=170 kg/mm，圓錐半頂角γ=60°。

仿真時(shí)，凸輪表面的初始振紋b0忽略不計(jì)，磨削過程的初始條件為X(0)=0、X′(0)=0。當(dāng)砂輪線速度vs=120 m/s，工件基圓轉(zhuǎn)速nw=90 r/min，理論磨削深度a0=0.02 mm時(shí)，凸輪軸高速磨削過程振動(dòng)位移時(shí)域圖如圖5所示。

圖5 凸輪軸高速磨削過程振動(dòng)位移時(shí)域圖 Fig. 5 The Time domain diagram of vibration displacement of camshaft high speed grinding

由圖5可知：在上述磨削工藝參數(shù)下，工藝系統(tǒng)的顫振振幅最終趨于穩(wěn)定，能夠?qū)崿F(xiàn)凸輪的穩(wěn)定磨削。工件基圓轉(zhuǎn)速nw=90 r/min時(shí)，通過Matlab求解得到單圈的磨削時(shí)間T=1.06 s。當(dāng)凸輪從基圓上與桃尖相對(duì)的位置開始磨削前半圈，即圖6所示凸輪輪廓的0°～180°范圍時(shí)，在磨削開始階段，由于磨削系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，產(chǎn)生劇烈的受迫振動(dòng)，隨后在系統(tǒng)阻尼的作用下振紋逐漸減?。欢?dāng)磨削進(jìn)行到凸輪升程段時(shí)，系統(tǒng)的振幅又有所增大，之后又繼續(xù)減小，對(duì)應(yīng)圖5所示磨削第一圈的前半程。凸輪輪廓示意圖如圖6所示。

圖6 凸輪輪廓

這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因可以從以下2個(gè)方面來分析：(1)由于凸輪升程兩側(cè)輪廓存在凹面，在磨削過程中引起動(dòng)態(tài)磨削力的突變，因而振幅出現(xiàn)突變的現(xiàn)象；(2)在磨削凸輪升程段時(shí)，凸輪輪廓的曲率半徑一般是先增大后減小，而由動(dòng)態(tài)磨削力的計(jì)算公式(2)可知，動(dòng)態(tài)磨削力與輪廓曲率半徑之間存在正相關(guān)關(guān)系，因而系統(tǒng)的振幅也是先增大后減小。而當(dāng)磨削過程從桃尖回到凸輪基圓的過程中，即圖6所示的180°～360°范圍內(nèi)，系統(tǒng)的顫振振幅變化趨勢(shì)與磨削凸輪前半圈時(shí)相似，都是先增大后減小，并且在回程段與基圓的連接處，由于凸輪輪廓凹面的影響，振幅同樣存在突變現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)圖5所示磨削第一圈的后半程。這與前期對(duì)凸輪軸磨削力的研究結(jié)果相一致。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，凸輪軸高速磨削動(dòng)態(tài)磨削力的單圈采集實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示，其橫坐標(biāo)為凸輪輪廓上從0°～360°之間所布置的測(cè)點(diǎn)數(shù)，縱坐標(biāo)為相應(yīng)測(cè)點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的磨削力。由圖7可以看出磨削力隨凸輪輪廓測(cè)點(diǎn)(也即轉(zhuǎn)角)的關(guān)系基本上滿足先增大后減小，再增大再減小的變化規(guī)律。

當(dāng)凸輪磨削進(jìn)行到第二圈時(shí)，由于前一圈磨削時(shí)工藝系統(tǒng)的振動(dòng)以及砂輪的接觸變形等使得磨削過程的實(shí)際磨削深度值小于理論磨削深度，從而在工件表面留下了動(dòng)態(tài)振紋，根據(jù)瞬時(shí)磨削深度計(jì)算公式(6)及磨削力公式(2)可知，此時(shí)的動(dòng)態(tài)磨削力發(fā)生突變，從而使得磨削系統(tǒng)的振幅急劇增大，對(duì)應(yīng)圖5中第一圈與第二圈之間交界部分系統(tǒng)振幅的突變現(xiàn)象。從圖5中也能看出：其后的磨削過程系統(tǒng)的振幅變化趨勢(shì)基本與第一圈類似，凸輪磨削各圈的振幅變化規(guī)律基本都是先增大后減小，再增大再減小。

圖7 法向磨削力單圈采集時(shí)域圖 Fig. 7 Time domain diagram of single ring acquisition of grinding force

3 動(dòng)態(tài)磨削仿真判定與葉瓣圖判定

根據(jù)前期對(duì)凸輪軸高速磨削過程穩(wěn)定性理論及研究結(jié)果分析[1]，得到磨削系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖如圖8。

由圖8可知：穩(wěn)定性葉瓣圖由一系列穩(wěn)定性葉瓣構(gòu)成，位于葉瓣下方的區(qū)域稱為穩(wěn)定磨削區(qū)，即圖8中的藍(lán)色部分；位于葉瓣上方的區(qū)域稱為不穩(wěn)定磨削區(qū)；而當(dāng)磨削工藝參數(shù)剛好落在葉瓣線上時(shí)，此時(shí)的工藝系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定磨削狀態(tài)，即系統(tǒng)本身是穩(wěn)定的，但是如果給系統(tǒng)施加一個(gè)外部干擾，磨削系統(tǒng)則可能會(huì)從穩(wěn)定狀態(tài)過渡到磨削顫振狀態(tài)。

圖8 工藝系統(tǒng)穩(wěn)定性葉瓣圖 Fig. 8 The diagram of stability leaf flap of process system

在穩(wěn)定性葉瓣圖上選取幾個(gè)比較有代表性的點(diǎn)，用這些點(diǎn)的磨削工藝參數(shù)組合對(duì)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。本研究選用的工藝參數(shù)組合如表1所示，表1中的實(shí)驗(yàn)號(hào)對(duì)應(yīng)圖8中相應(yīng)點(diǎn)的編號(hào)，各磨削工藝參數(shù)對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果分別如圖9a～圖9f所示。

由圖9a、圖9b可知：參數(shù)組合3、4下發(fā)生了磨削顫振，振幅值不斷增大，但其振幅增長(zhǎng)比較緩慢，對(duì)應(yīng)葉瓣圖中穩(wěn)定磨削區(qū)與不穩(wěn)定磨削區(qū)的臨界區(qū)域；由圖9c、圖9d可知：參數(shù)組合5、6下振動(dòng)逐漸趨于穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)葉瓣圖中的穩(wěn)定磨削區(qū)域；由圖9e、圖9f可知：參數(shù)組合11、12下發(fā)生了磨削顫振，振動(dòng)幅值不斷增大，對(duì)應(yīng)葉瓣圖中的不穩(wěn)定磨削區(qū)域。由此可知，基于動(dòng)態(tài)磨削仿真的磨削穩(wěn)定性判定與基于穩(wěn)定性葉瓣圖的磨削穩(wěn)定性判定基本吻合，驗(yàn)證了本研究所建立的動(dòng)力學(xué)模型及仿真方法的正確性。

表1 凸輪軸高速磨削仿真工藝參數(shù)表Tab. 1 The parameter table of camshaft high speed grinding simulation

(a)3號(hào)(b) 4號(hào)(c)5號(hào)(d)6號(hào)(e)11號(hào)(f)12號(hào)圖9 不同參數(shù)下的仿真結(jié)果圖Fig. 9 The simulation result graph under different parameters

4 結(jié)論

以凸輪軸數(shù)控高速磨削過程為研究對(duì)象，分析磨削過程中的動(dòng)態(tài)影響因素，建立磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過 Matlab/Simulink環(huán)境搭建了磨削過程的顫振仿真框圖，基于凸輪軸高速磨削的穩(wěn)定性分析結(jié)果，從穩(wěn)定性葉瓣圖上選取有代表性的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值仿真分析，通過仿真所得振動(dòng)位移時(shí)域圖判定不同工藝參數(shù)組合下工藝系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并將仿真結(jié)果與穩(wěn)定性葉瓣圖所示的穩(wěn)定磨削區(qū)域進(jìn)行比較，驗(yàn)證了仿真模型的有效性，為凸輪軸的實(shí)際磨削加工工藝參數(shù)選擇提供參考。