魏大承

【摘要】主要討論了Poincare圓盤(pán)模型中面積一定的雙曲三角形周長(zhǎng)的變化情況。先通過(guò)推導(dǎo)龐卡萊圓盤(pán)模型與歐氏幾何的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出了面積一定時(shí)雙曲三角形頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡;再利用龐卡萊圓盤(pán)模型的自身基本性質(zhì)計(jì)算出面積一定時(shí)雙曲三角形周長(zhǎng)變化的單調(diào)性從而求出了周長(zhǎng)的最值。

【關(guān)鍵詞】龐卡萊圓盤(pán)模型 雙曲三角形

一、引言

1826年Lobachevsky在承認(rèn)歐幾里得所著的《幾何原本》中其他的公設(shè)的基礎(chǔ)之上，將其中的第五公設(shè)更改為“平面內(nèi)過(guò)直線外一點(diǎn)恒可做無(wú)數(shù)條直線與已知直線不相交”。

但是，因?yàn)槿狈χ庇^的幾何描述，雙曲幾何在一開(kāi)始提出的時(shí)候并不能被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界所廣泛的接受，甚至就連羅巴切夫斯基自己都把它稱(chēng)之為“沒(méi)有實(shí)際意義的虛幾何”。然而，幾十年之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐卡萊在羅巴切夫斯基假定的第五公設(shè)的基礎(chǔ)之上，提出了龐卡萊圓盤(pán)模型，將雙曲幾何與歐氏幾何很巧妙地建立起了聯(lián)系。自此之后，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)工作者們投身于雙曲幾何的研究當(dāng)中，使得這一體系日趨完善。

本文所引用的《雙曲幾何》一書(shū)是由李忠老師等人所編寫(xiě)，介紹有關(guān)雙曲幾何研究的科普類(lèi)小冊(cè)子。本文當(dāng)中所涉及的定義與性質(zhì)以及第三章中所用到的相關(guān)公式均出自此書(shū)，有需要的讀者請(qǐng)參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]當(dāng)中的前兩個(gè)章節(jié)。

在第一章中會(huì)簡(jiǎn)單介紹引文中所提到的龐卡萊圓盤(pán)模型的定義及有關(guān)的基本定理。

二、基本定義與性質(zhì)

三、雙曲三角形頂點(diǎn)軌跡的研究

四、雙曲三角形面積一定時(shí)周長(zhǎng)的變化

五、總結(jié)

通過(guò)本文的討論可知龐卡萊圓盤(pán)模型中雙曲三角形周長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系與歐氏平面上三角形二者之間的關(guān)系有著極高的相似性。對(duì)于這一問(wèn)題未來(lái)的研究與討論方向，將把周長(zhǎng)與面積的關(guān)系由雙曲三角形推廣到雙曲多邊形，進(jìn)而嘗試研究龐卡萊圓盤(pán)模型上的等周問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李忠，周建瑩.雙曲幾何[M].湖南教育出版社，1991.

[2]LEON Karp and Norbert Peyerimhoff.Extremal properties of the principle Dirichlet eigenvalue for regular polygons in the hyperbolic plane[J].Archiv der Mathematik，2002.

[3]傅紅燕，俞禮海.“將軍飲馬”問(wèn)題的拓展及妙用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016，（04）：26.

[4]韋靜華.對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與幾何[J].安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，（01）：18.

[5]雷達(dá).球面幾何與平面雙曲幾何中三角形面積的一些外在公式[D].蘇州大學(xué)報(bào)，2015.