金玥蘇，蘇 剛

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 北京 100049)

近年來(lái)，狄拉克費(fèi)米子以其獨(dú)特的電子性質(zhì)引起廣泛關(guān)注。以石墨烯為例，在其布里淵區(qū)頂點(diǎn)(K,K’)處能帶相交，色散呈現(xiàn)線性關(guān)系，形成2個(gè)不等價(jià)的狄拉克費(fèi)米子，分別攜帶(π，-π)的Berry Phase[1-2]. 在自旋軌道耦合作用下，能帶的簡(jiǎn)并點(diǎn)處會(huì)打開(kāi)能隙，從而形成拓?fù)浣^緣體相[3]。與之相似的情形也存在于三維材料中，如Bi2Se3, Bi2Te3這類具有較大自旋-軌道耦合的材料，在打開(kāi)能隙的同時(shí)會(huì)引發(fā)能帶的翻轉(zhuǎn)，從而形成拓?fù)浣^緣體[4-5]。

判斷材料是否為拓?fù)浣^緣體主要有3種方法。一種是根據(jù)體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)原則，通過(guò)手性邊緣態(tài)或表面態(tài)是否存在來(lái)判定是普通絕緣體還是拓?fù)浣^緣體；一種是通過(guò)絕熱地改變參數(shù)，在不閉合能隙的情況下將材料轉(zhuǎn)化為某一拓?fù)湫再|(zhì)已知的結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行分類；最后一種也是最常用的一種方法就是計(jì)算相應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)進(jìn)行判斷。對(duì)于量子霍爾效應(yīng)或陳絕緣體，其拓?fù)洳蛔兞繛殛悢?shù)(TKNN數(shù))[6]。對(duì)于拓?fù)浣^緣體，其拓?fù)洳蛔兞繛閆2數(shù)[7-8]。目前已經(jīng)有成熟的數(shù)值方法可以方便地計(jì)算這類拓?fù)鋽?shù)[9-11]。

對(duì)于某些由于對(duì)稱性而導(dǎo)致的特殊能帶結(jié)構(gòu)，比如鏡面對(duì)稱性和滑移對(duì)稱性同時(shí)存在，會(huì)引起能帶沿高對(duì)稱線簡(jiǎn)并，一般的數(shù)值方法由于出現(xiàn)發(fā)散而失效。在SS格子上運(yùn)動(dòng)的電子便是一個(gè)典型例子。SS格子在量子磁性系統(tǒng)中已經(jīng)被廣泛研究[12-13]，相應(yīng)結(jié)構(gòu)的材料SrCu2(BO3)2也已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。然而，SS格子上的費(fèi)米子系統(tǒng)還需進(jìn)一步探索。此前有研究通過(guò)調(diào)節(jié)緊束縛模型的參數(shù)，指出SS格子上運(yùn)動(dòng)的電子可以呈現(xiàn)出Dirac fermion, semi-Dirac fermion, SO(3) fermion和quadratic band touch等4種無(wú)能隙激發(fā)的物相以及一個(gè)有能隙的相[14-15]。然而，需要有一種便捷的調(diào)控手段實(shí)現(xiàn)對(duì)緊束縛模型參數(shù)的調(diào)控。

在許多調(diào)控手段中，光場(chǎng)無(wú)疑是一種方便且可靠的調(diào)控技術(shù)。以石墨烯為例，如果在垂直于石墨烯表面的方向施加周期性光場(chǎng)，可以實(shí)現(xiàn)狄拉克點(diǎn)的移位[16-17]，打開(kāi)動(dòng)力學(xué)能隙實(shí)現(xiàn)拓?fù)滢D(zhuǎn)變[18-20]，產(chǎn)生偏振選擇性的光伏霍爾效應(yīng)[21]，甚至引發(fā)金屬-絕緣體相變[22]。更一般地，周期性光場(chǎng)可以將一般的絕緣體變成Floquet 拓?fù)浣^緣體[23-24]，在某些條件下，可以形成具有大陳數(shù)的Floquet-陳絕緣體[25]。光場(chǎng)不僅可以準(zhǔn)靜態(tài)地改變能帶結(jié)構(gòu)，還能形成新的動(dòng)力學(xué)拓?fù)湫?yīng)[26-27]，如Floquet手征邊緣態(tài)等[16,27-28]。

本文應(yīng)用周期性圓偏振光場(chǎng)調(diào)控SS格子上的電子結(jié)構(gòu)，可以很方便地產(chǎn)生前面提到的5種相。有研究指出Dirac fermion相具有Z2形式的量子化Zak 相[14]，在自旋-軌道耦合的作用下會(huì)形成拓?fù)浣^緣體。我們通過(guò)計(jì)算納米帶的邊緣態(tài)，證明在自旋軌道耦合存在的情況下，光場(chǎng)調(diào)控可以視為絕熱地改變參數(shù)，不會(huì)導(dǎo)致能隙關(guān)閉，從而使其他4種相與Dirac fermion相具有相同的拓?fù)湫再|(zhì)。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)semi-Dirac fermion相的一種體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)情況。

1 Shastry-Sutherland格子的結(jié)構(gòu)和緊束縛哈密頓量

SS格子的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中tx,ty,t+,t-為躍遷參數(shù)，tsoc為自旋軌道耦合參數(shù)。黑色箭頭表示電子躍遷方向，橘紅色箭頭表示電子受力方向。具有1個(gè)四重旋轉(zhuǎn)軸，1個(gè)滑移面和1個(gè)反演中心。這些對(duì)稱性導(dǎo)致SS格子具有特殊的能帶結(jié)構(gòu)。

圖1 SS格子的實(shí)空間和倒空間結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Shastry-Sutherland lattice (a) and its reciprocal space(b)

因?yàn)橐粋€(gè)SS格子的元胞中有4個(gè)原子，所以s軌道緊束縛哈密頓量是一個(gè)四帶模型

i,j遍及格點(diǎn)1～4，如圖1中所示。我們將躍遷參數(shù)定義為tx,ty,t+,t-，這樣緊束縛哈密頓量可以寫(xiě)為

(1)

由于SS格子沿著x方向和y方向不存在鏡面對(duì)稱性，故電子以動(dòng)量P在沿著這2個(gè)方向躍遷時(shí)，會(huì)受到不對(duì)稱的作用力F，根據(jù)自旋-軌道耦合作用公式

可以看出受力與自旋z分量耦合，當(dāng)電子環(huán)繞晶格一圈時(shí)，雖然平均受力為0，但是自旋軌道耦合方向相同，不會(huì)抵消。在考慮自旋軌道耦合作用tsoc之后的緊束縛哈密頓量為

(2)

以此緊束縛哈密頓量為基礎(chǔ)，可以得到存在周期性光場(chǎng)時(shí)的Floquet哈密頓量。

2 Floquet-Bloch理論

現(xiàn)在考慮垂直入射的周期性光場(chǎng)調(diào)控下的SS格子系統(tǒng)。周期性光場(chǎng)調(diào)控下的哈密頓量同樣也應(yīng)該是周期性的，即H(t+T)=H(t),T是光場(chǎng)的周期。類似于空間周期平移不變系統(tǒng)中的布洛赫定理，同樣也可以寫(xiě)出在周期光場(chǎng)下的波函數(shù)滿足的條件：

Ψ(t)=exp(-iεt)Φ(t)，

Φ(t+T)=Φ(t).

(3)

這就是Floquet定理[29-30]，其中Φ(t)是Floquet波函數(shù)。

同樣可以定義Flouqet哈密頓量

(4)

容易發(fā)現(xiàn)ε和Φ就是Floquet哈密頓量的本征值和本征函數(shù)。當(dāng)體系具有時(shí)間-空間周期平移不變性， 波函數(shù)遵循Floquet-Bloch定理

Ψ(x,t)=exp(ikx-iεn,kt)Φ(x,t).

在這種情況下，可以重新定義時(shí)間平均的內(nèi)積

(5)

這一新的定義保證了Floquet-Bloch波函數(shù)的基底滿足正交歸一性。為證明這一點(diǎn)，需要注意Floquet哈密頓量和Floquet波函數(shù)都可以做傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：

Φα(t)=∑nexp(inωt)Φα,n

將傅里葉級(jí)數(shù)代入內(nèi)積公式中有

〈〈Φα(t)|Φβ(t)〉〉

(6)

將希爾伯特空間推廣到時(shí)間域中做展開(kāi)的空間，被稱為Sambe空間[31]。

光場(chǎng)的作用可以通過(guò)Peierls替換進(jìn)入緊束縛模型的躍遷參數(shù)，ti,j(t)=ti,jexp(iA(t)dij)，其中i,j是格點(diǎn)指標(biāo)，dij是i,j格點(diǎn)之間的躍遷矢量，A=(Ax,Ay)是光場(chǎng)對(duì)應(yīng)的矢量勢(shì)。在Sambe空間中展開(kāi)Floquet緊束縛哈密頓量可以得到矩陣元：

Hij=〈〈Φi|H-i?t|Φj〉〉

(7)

由于時(shí)間平移不變性，Hmn是p=(m-n)的函數(shù)，重新定義為Hp.那么，在Sambe空間中的哈密頓量可以寫(xiě)為

當(dāng)光場(chǎng)頻率遠(yuǎn)大于能帶寬度(ω>10Δ)，可以忽略更高階Hp的影響而只需要計(jì)算H0即可，這被稱為高頻近似。在高頻近似下，取tx=ty=t1,t+=t-=t2,光場(chǎng)為圓偏振光，SS格子的Floquet哈密頓量可以寫(xiě)為

(8)

其中J0為0階貝塞爾函數(shù)。

基于式(8)，我們計(jì)算了導(dǎo)帶電子在沒(méi)有自旋軌道耦合作用下的相圖[32]，相圖中一共存在5種相：能隙相，以及Dirac fermion, semi-Dirac fermion, SO(3) fermion和quadratic band touch等4種無(wú)能隙相。Dirac fermion和能隙相由2種邊界區(qū)分開(kāi)，其中一種為semi-Dirac fermion相，另外一種為quadratic band touch相。在2種邊界的交匯點(diǎn)處出現(xiàn)的是SO(3) fermion相，被4條semi-Dirac fermion邊界包圍在中間的是能隙相。換言之，一共有3種無(wú)能隙激發(fā)存在于邊界處：能帶以semi-Dirac形式接觸存在于能隙相和Dirac相之間，能帶以quadratic形式接觸存在于2個(gè)Dirac相之間，能帶以SO(3) fermion形式接觸存在semi-Dirac和quadratic band touch匯合的頂角處。

在4種無(wú)能隙的激發(fā)中，Dirac fermion占據(jù)絕大多數(shù)的情況。在光場(chǎng)調(diào)控下，2條能帶以線性方式交叉于狄拉克點(diǎn)處，2個(gè)狄拉克點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，在光場(chǎng)的調(diào)控下，狄拉克點(diǎn)不再固定于布里淵區(qū)的高對(duì)稱點(diǎn)處，而是被光場(chǎng)在一定范圍內(nèi)移動(dòng)并發(fā)生位置交換[14]。高頻近似下，F(xiàn)loquet哈密頓量保持時(shí)間反演和空間反演對(duì)稱性，使得Dirac fermion被對(duì)稱性所保護(hù)，這一點(diǎn)在考慮了自旋軌道耦合之后將變得更為明顯。

Quadratic band touch是另一個(gè)值得注意的無(wú)能隙激發(fā)，它的標(biāo)志就是2條拋物線色散關(guān)系的能帶相交于一點(diǎn)。由于SS格子具有C4旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，所以這種無(wú)能隙激發(fā)攜帶有2π的Berry phase[32]。在一般情形下，圓偏振光會(huì)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性，引入能隙形成拓?fù)浞瞧接沟碾娮討B(tài)[33]，但是在SS格子中，第一階高頻展開(kāi)[H1,H-1]/ω=0，保持了時(shí)間反演對(duì)稱性，這也意味著高頻光場(chǎng)在考慮高階圍繞對(duì)于零階哈密頓量的修正的情況下無(wú)法引入拓?fù)浞瞧接沟南唷?/p>

Semi-Dirac fermion相兼具Dirac fermion和quadratic band touch相的特點(diǎn)，沿一個(gè)方向呈線性色散，沿著另一方向則具有拋物線色散關(guān)系，這類色散關(guān)系也在VO2-TiO2異質(zhì)結(jié)和有機(jī)半導(dǎo)體α-(BEDT-TTF)2I3中被觀察到[34-35]。

SO(3) fermion也被稱為quasi-spin-1 fermion。廣義的狄拉克-外爾方程可以用來(lái)描述它的行為：HΨ=(S·K)Ψ=EΨ，其中S為SO(3)群對(duì)應(yīng)的Pauli矩陣，K=(kx,ky)為電子的動(dòng)量。最明顯的特征便是它的狄拉克點(diǎn)是三重簡(jiǎn)并的，其能帶結(jié)構(gòu)由一條平帶和兩條線性色散的能帶組成，它同樣具有Dirac fermion具有的Klein隧穿等特性[36]。目前在Lieb lattice的光晶格上已經(jīng)觀察到SO(3) fermion[37-39]。

由于SS格子中存在能帶簡(jiǎn)并(X-K-Y以及Γ-K)，所以一般的數(shù)值計(jì)算程序在計(jì)算拓?fù)洳蛔兞繒r(shí)會(huì)出現(xiàn)發(fā)散。為了研究這4種相的拓?fù)湫再|(zhì)，我們利用體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)原則，考慮自旋軌道耦合打開(kāi)能隙之后的情況。

3 自旋軌道耦合效應(yīng)以及對(duì)邊緣態(tài)的影響

由于SS格子在X方向和Y方向上沒(méi)有鏡面對(duì)稱性，所以當(dāng)電子沿這2個(gè)方向做最近鄰躍遷時(shí)受到不對(duì)稱的作用力，產(chǎn)生自旋軌道耦合作用。自旋軌道耦合僅對(duì)最近鄰躍遷項(xiàng)造成修正，所以不會(huì)造成能帶的劈裂，僅僅會(huì)引入能隙使得原先的半金屬變成絕緣體。引入自旋軌道耦合tsoc之后的能帶和態(tài)密度如圖2所示。

圖2 自旋軌道耦合強(qiáng)度tsoc=0.2時(shí)4種相的能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度圖Fig.2 Band structures and densities of states of the four phases with the spin-orbit coupling parameter tsoc=0.2

從圖2可以看出，4種無(wú)能隙的激發(fā)都打開(kāi)了能隙，但是Dirac fermion和semi-Dirac fermion相打開(kāi)的能隙非常小，quadratic band touch 和SO(3) fermion相打開(kāi)的能隙較大。能隙使原先沒(méi)有自旋軌道耦合時(shí)的相邊界消失，整個(gè)體系全部成為絕緣體。如果把矢量勢(shì)A認(rèn)為是絕熱變化的參數(shù)，那么上面的結(jié)論意味著隨著參數(shù)的演變，能隙不會(huì)發(fā)生閉合，上述所有相都是拓?fù)涞葍r(jià)的。為驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，我們利用體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)原則計(jì)算了SS裁剪形成納米帶的能帶結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 4種無(wú)能隙激發(fā)相在無(wú)自旋軌道耦合(a)及自旋軌道耦合強(qiáng)度tsoc=0.2(b)時(shí)的納米帶能帶Fig.3 Band structures for the four gapless phases of the nanoribbon without the spin-orbit coupling(a) and band structures with the spin-orbit coupling parameter tsoc=0.2(b)

沒(méi)有打開(kāi)自旋軌道耦合作用時(shí)，邊緣態(tài)連通能帶的接觸點(diǎn)，與Dirac fermion相對(duì)比，可以看出quadratic band touch, semi-Dirac fermion和SO(3) fermion都是2個(gè)Dirac point無(wú)限靠近時(shí)的特殊情形?？紤]自旋-軌道耦合作用后，4種無(wú)能隙激發(fā)態(tài)都打開(kāi)能隙。與體態(tài)相對(duì)應(yīng)的，Dirac fermion和semi-Dirac fermion打開(kāi)的能隙非常小，而quadratic band touch和SO(3) fermion打開(kāi)的能隙較大。原有的邊緣態(tài)劈裂成為兩條并且連通價(jià)帶和導(dǎo)帶，它們相交于布里淵區(qū)邊界的時(shí)間反演不變點(diǎn)，說(shuō)明這4種激發(fā)都對(duì)應(yīng)著拓?fù)浣^緣體，其拓?fù)洳蛔兞繛閆2不變量。

為方便實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，我們利用格林函數(shù)方法計(jì)算了這幾種激發(fā)的局域態(tài)密度，如圖4所示。

圖4 納米帶在無(wú)自旋軌道耦合(a)和自旋軌道耦合參數(shù)tsoc=0.2(b)時(shí)的局域態(tài)密度Fig.4 Local density of states for the nanoribbon without the spin-orbit coupling (a) and with the spin-orbit coupling (the coupling parameter tsoc=0.2)(b)

可以看出，局域態(tài)密度和圖3中的能帶基本吻合。我們還發(fā)現(xiàn)semi-Dirac fermion的各向異性也存在于納米帶之中，這也是另一種SS格子中的體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)。分別計(jì)算沿X方向裁剪的納米帶和沿Y方向裁剪的納米帶的能帶圖，如圖5所示。

圖5 Semi-Dirac fermion沿X方向(a)和Y方向(b)裁剪的納米帶能帶圖Fig.5 Band structures of the semi-Dirac fermion nanoribbon truncated along the X-(a) and Y-(b) directions

從圖5可以看出，由于semi-Dirac fermion沿X方向和沿Y方向分別對(duì)應(yīng)著拋物線型色散關(guān)系和線性色散關(guān)系，當(dāng)把塊體材料裁剪成為納米帶之后，能帶的投影依然保持了色散關(guān)系的各向異性，沿X方向裁剪的納米帶是拋物線型色散關(guān)系，與quadratic band touch類似。而沿Y方向裁剪的納米帶，與之對(duì)應(yīng)的是線性色散，與Dirac fermion類似。

為驗(yàn)證結(jié)論的一般性，用semi-Dirac的低能有效哈密頓量[36]

(9)

令X方向?yàn)閽佄锞€色散，有效質(zhì)量為m，Y方向?yàn)榫€性色散，費(fèi)米速度為c。利用替換(10)將低能有效哈密頓量退化為正方格子上的緊束縛模型[40]

(10)

為了計(jì)算邊緣態(tài)，把二維哈密頓量拆解成為一維鏈內(nèi)和鏈間耦合兩部分，并且使用表面格林函數(shù)遞歸方法計(jì)算局域態(tài)密度。以沿著X方向裁剪的納米帶為例，鏈內(nèi)和鏈間耦合哈密頓量分別為

(11)

計(jì)算表面格林函數(shù)的迭代算法[41]為

G0=(E-H0-H1T)-1，

T=(E-H0-H1T)-1T?.

G0是表面格林函數(shù)，T為鏈間轉(zhuǎn)移矩陣。局域態(tài)密度ρ=-ImTrG0/π.

利用快速收斂算法[41],可以計(jì)算得到沿著X方向和沿著Y方向裁剪的納米帶邊界上的局域態(tài)密度，如圖6所示。

圖6 Semi-Dirac fermion低能等效哈密頓量對(duì)應(yīng)的邊緣態(tài)Fig.6 Edge states corresponding to the low-energy effective Hamiltonian of semi-Dirac fermion

由于所用哈密頓量為低能有效哈密頓量，所以得到的局域態(tài)密度只是對(duì)應(yīng)于semi-Dirac fermion的邊緣態(tài)。與圖5對(duì)比，可以看出這正是體態(tài)的包絡(luò)。而圖5中由于拓?fù)湫再|(zhì)產(chǎn)生的連接2個(gè)狄拉克點(diǎn)的邊緣態(tài)在圖6中沒(méi)有對(duì)應(yīng)。從圖6中可以非常明顯地看出在Γ點(diǎn)附近，垂直于X方向投影的邊緣態(tài)呈拋物線形狀的色散(圖6(a))，而垂直于Y方向投影的邊緣態(tài)呈線性色散關(guān)系(圖6(b))。證明SS格子在semi-Dirac fermion相呈現(xiàn)出的各向異性就是來(lái)自于semi-Dirac fermion的各向異性色散關(guān)系。

綜上所述，由于自旋軌道耦合作用引起的能隙無(wú)法閉合，所以Dirac fermion, quadratic band touch, semi-Dirac fermion和SO(3) fermion在打開(kāi)能隙之后是拓?fù)涞葍r(jià)的。當(dāng)能隙關(guān)閉，可以認(rèn)為后三者是Dirac點(diǎn)被光場(chǎng)移動(dòng)到重合之后出現(xiàn)的特殊能帶色散，它們并不被任何對(duì)稱性所保護(hù)，所以一旦打開(kāi)能隙，就迅速退化回到拓?fù)浣^緣體相。

4 總結(jié)

通過(guò)Floquet理論在高頻近似下獲得Shastry-Sutherland格子在圓偏振光場(chǎng)下的Floquet緊束縛哈密頓量。發(fā)現(xiàn)在自旋軌道耦合作用下，4種無(wú)能隙激發(fā)(Dirac fermion, quadratic band touch, semi-Dirac fermion和SO(3) fermion)都打開(kāi)了能隙，而且在光場(chǎng)作用下能隙無(wú)法關(guān)閉，從而說(shuō)明這幾種無(wú)能隙激發(fā)是拓?fù)涞葍r(jià)的。進(jìn)而計(jì)算其邊緣態(tài)，發(fā)現(xiàn)2條手性邊緣態(tài)相交于布里淵區(qū)邊界的時(shí)間反演不變點(diǎn)，利用體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)，證明這4種等價(jià)的拓?fù)湎嗉词峭負(fù)浣^緣體。進(jìn)一步給出局域態(tài)密度以方便實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。

除此之外，還發(fā)現(xiàn)semi-Dirac fermion的各向異性色散關(guān)系在納米帶上同樣存在體態(tài)-邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)，并利用semi-Dirac fermion的低能有效哈密頓量和表面格林函數(shù)算法證明了結(jié)論的一般性。