史 恒,朱紀洪

0 引 言

飛行器在應(yīng)對來襲導(dǎo)彈攻擊威脅時，傳統(tǒng)的對抗手段主要包括施加電磁干擾、釋放紅外誘餌、以及自身機動擺脫等被動的防御技術(shù).隨著進攻武器的抗電磁與誘餌干擾的能力、自身的機動能力越來越強，傳統(tǒng)的被動式防御戰(zhàn)術(shù)已難以適應(yīng)空中作戰(zhàn)需求，不足以為飛行器提供有效的安全保障.此時，飛行器可以通過主動防御形式來實現(xiàn)自我保護，即主動發(fā)射防御型導(dǎo)彈來攔截來襲導(dǎo)彈.主動防御的概念早在40多年前就被提出，但至今仍未能夠在飛行器上應(yīng)用.事實上，主動防御系統(tǒng)已在坦克、艦船、直升機等平臺有一些成熟的應(yīng)用和試驗驗證，而隨著機載系統(tǒng)的逐漸小型化，主動防御在飛行器上取得應(yīng)用也成為一個勢在必行的趨勢.

主動防御的數(shù)學模型是三體對抗模型，也就是：載機，來襲導(dǎo)彈，防御導(dǎo)彈三個物體構(gòu)成的對抗場景.來襲導(dǎo)彈瞄準載機進行制導(dǎo)攻擊，載機在機動躲避來襲導(dǎo)彈的同時發(fā)射防御導(dǎo)彈對來襲導(dǎo)彈實施攔截.主動防御問題既包含了防御導(dǎo)彈對來襲導(dǎo)彈的攔截制導(dǎo)、又包含了載機對來襲導(dǎo)彈機動規(guī)避，在制導(dǎo)與控制領(lǐng)域是一個值得深入研究的問題.主動防御問題求解的主要任務(wù)是設(shè)計防御導(dǎo)彈的制導(dǎo)律，它應(yīng)是一個魯棒的、能夠?qū)崿F(xiàn)對全向來襲目標的高效高概率攔截.在制導(dǎo)問題中最常用的最優(yōu)制導(dǎo)律是比例導(dǎo)引(PN)制導(dǎo)律.為了達到較好的攔截效果，PN制導(dǎo)律通常要求攔截彈擁有比目標彈3倍以上的機動性能.在三體對抗任務(wù)中如果攻防雙方都使用PN，理論上來說防御導(dǎo)彈至少需要具有載機9倍以上的機動能力.但實際上，防御導(dǎo)彈受限于尺寸等條件，其機動能力通常會劣于進攻導(dǎo)彈.因此直接使用PN制導(dǎo)律在主動防御場景中是不合適的.

在最近的十幾年里，主動防御問題在國內(nèi)外受到了廣泛的關(guān)注.在防御導(dǎo)彈制導(dǎo)律的研究上，主要通過最優(yōu)控制理論[1-11]、微分對策理論[12-14]、視線角(LOS)制導(dǎo)[15-16]和滑模制導(dǎo)[17-19]等方式開展.然而，大部分的制導(dǎo)律研究都是在二維平面中進行的推導(dǎo)，且都采用了線性化的近似假設(shè)，對于主動防御這樣一個非線性場景，距離實際的工程實現(xiàn)還比較遠.在很多主動防御的制導(dǎo)律研究中，對來襲導(dǎo)彈信息的獲取都需要包含具有機動加速度的完美信息，而這在實際場景中是難以獲得的，一些文章中采用濾波和辨識方法來估測得到這一信息[11, 20].主動防御問題不同于傳統(tǒng)的一對一制導(dǎo)問題，來襲導(dǎo)彈的追蹤目標是載機，載機可與防御導(dǎo)彈協(xié)同進行攔截，其加速度信息會耦合在三體運動關(guān)系中，因而有一定的可預(yù)測性.本文研究的預(yù)測制導(dǎo)策略將通過解算三體的運動關(guān)系，預(yù)測防御導(dǎo)彈與來襲導(dǎo)彈的未來預(yù)期攔截點，從而跳過了來襲導(dǎo)彈的加速度估測，再以預(yù)期預(yù)測點為目標進行制導(dǎo).

本文的工作旨在更加接近主動防御實際非線性工況的基礎(chǔ)上，提出一種高效的、易于實現(xiàn)的三維制導(dǎo)策略，相對于前述工作具有更少的理想化假設(shè)，使得即使在防御導(dǎo)彈的速度和機動過載性能弱于來襲導(dǎo)彈時也能夠成功完成攔截.由于當今電子技術(shù)的進步，機載設(shè)備的小型化已經(jīng)越來越成熟，計算性能已大大增加，因此考慮在假設(shè)已經(jīng)具有高性能彈載制導(dǎo)計算機的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)的PN制導(dǎo)律結(jié)合計算制導(dǎo)計算方法[21]作為預(yù)測基礎(chǔ)，以簡單的實現(xiàn)方式實現(xiàn)高效攔截.通過數(shù)值仿真可以驗證提出的預(yù)測制導(dǎo)律相對于傳統(tǒng)方法，具有更小的需求過載，脫靶量更小，制導(dǎo)能量損耗更小，攔截包線更大.

1 主動防御問題數(shù)學模型

1.1 主動防御場景

由載機、來襲導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈構(gòu)成的主動防御三體模型如圖1所示.

圖1 主動防御三維數(shù)學模型Fig.1 3-dimensional active defense geometry

考慮主動防御場景下的三方：載機(T)、來襲導(dǎo)彈(A)和防御導(dǎo)彈(D)都在慣性坐標系下，防御導(dǎo)彈由載機發(fā)射以攔截來襲導(dǎo)彈.定義主動防御三體的狀態(tài)向量：

xi=[ri,vi,ai]T,i={T,A,D}

(1)

其中ri,vi,ai分別為三運動體的位置、速度與法向加速度.

在主動防御任務(wù)的實際情況中，作為防御方，載機的飛行狀態(tài)完全可通過機載設(shè)備測得，其未來的機動加速度也可由飛行策略給出；防御導(dǎo)彈的狀態(tài)也可由彈載設(shè)備測得；來襲導(dǎo)彈的位置和速度信息可通過機載雷達測得，但機動加速度不可測.

每個飛行器的運動學模型為：

(2)

其中，γ為航向角，K1、K2為兩個速度衰減系數(shù)且均為正.

注：為了更加貼近實際工況，此處為飛行器的速度引入了兩個非線性衰減項.第一項考慮了氣動阻力，速度的衰減與速度平方呈正比；第二項考慮制導(dǎo)帶來的速度衰減，與制導(dǎo)法向過載的平方呈正比.

在該模型中存在兩組對抗關(guān)系，包括為來襲導(dǎo)彈A和載機T的對抗，以及防御導(dǎo)彈D與來襲導(dǎo)彈A的對抗，分別用下標“AT”和“DA”表示，從而可以定義二者的相對位置和相對速度：

rAT=rT-rA

(3)

rDA=rA-rD

(4)

vAT=vT-vA

(5)

vDA=vA-vD

(6)

針對主動防御攔截任務(wù)的需求，防御導(dǎo)彈應(yīng)保證載機的安全，因而防御導(dǎo)彈需要在來襲導(dǎo)彈攔截到載機之前首先攔截到來襲導(dǎo)彈.定義tf為攔截持續(xù)時間，則主動防御攔截的時間約束為

tf,AD

(7)

根據(jù)主動防御場景，對三個飛行器的性能作如下假設(shè)：

(1)不考慮制導(dǎo)指令的時延；

(2)來襲導(dǎo)彈的初速度大于防御導(dǎo)彈，且兩導(dǎo)彈的速度均大于載機，即

|vA(0)|>|vD(0)|>|vT(0)|

(8)

(3)制導(dǎo)指令過載沿垂直于速度方向，過載能力有界且滿足

(9)

同時，三者的過載加速度能力與速度類似，為

(10)

在預(yù)測計算中將使用等加速度模型對運動狀態(tài)進行積分：

i={T,A,D}

(11)

其中dt為時間步長.

1.2 制導(dǎo)律模型

本文中的預(yù)測制導(dǎo)律基于擴展比例導(dǎo)引律(APN)得到，以防御導(dǎo)彈D對來襲導(dǎo)彈A進行攔截為例，三維場景中防御導(dǎo)彈的APN制導(dǎo)律為：

(12)

(13)

(14)

(15)

2 協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律

協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律同時考慮載機、來襲導(dǎo)彈、防御導(dǎo)彈三體的實時狀態(tài)信息，在融合預(yù)測模塊使用迭代計算方法積分得到D對A的預(yù)測攔截點.由于三體對抗模型中可能存在測量誤差，以及對來襲導(dǎo)彈制導(dǎo)律估測與辨識的不準確，預(yù)測攔截點的實時位置也將存在偏差，也就是說預(yù)測攔截點的位置是時變的，因此可將預(yù)測攔截點看作一個虛擬的運動目標P*，防御導(dǎo)彈再對虛擬目標設(shè)計制導(dǎo)律.在攔截過程中，虛擬目標的移動速度遠小于來襲導(dǎo)彈，可通過濾波估計得到，因而攔截高速來襲導(dǎo)彈的任務(wù)被轉(zhuǎn)化為了攔截低速等效虛擬目標的任務(wù)，可實現(xiàn)更好的攔截效果，防御導(dǎo)彈也會消耗更少的能量實現(xiàn)制導(dǎo).

2.1 預(yù)期攔截點的計算

協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)的流程圖如圖3所示.

需要注意的是，在計算預(yù)期攔截點時，我們假設(shè)了A也采取APN制導(dǎo)律來追蹤T，實際上是無法得知的，A可以采取任何可能的制導(dǎo)律來進攻T.也就是說，此時預(yù)測的P*并非真實的未來碰撞點，將存在一個誤差值.但由于預(yù)測過程是彈載制導(dǎo)計算機實時計算的，預(yù)測點的計算誤差也會由于制導(dǎo)律反饋的本質(zhì)隨著實時計算逐漸減小而消除，最終使得攔截發(fā)生.

圖2 主動防御協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律示意圖Fig.2 The block diagram of the Cooperative Prediction guidance law

圖3 主動防御協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律流程圖Fig.3 The flow chart of the Cooperative Prediction guidance law

關(guān)于協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律的收斂性討論：

在某些狀態(tài)下，例如制導(dǎo)過程的前置偏差角過大時，防御導(dǎo)彈采用APN法可能無法攔截到來襲導(dǎo)彈.按照預(yù)測制導(dǎo)律對于預(yù)期攔截點的計算方法，此刻的虛擬目標位置仍應(yīng)選為rA,k+n點，即未來時刻D與A位置最接近的點，在下一時刻瞄準此位置進行制導(dǎo)仍有可能完成攔截.對于這種瞬時預(yù)測無法成功攔截的目標，預(yù)測制導(dǎo)將保證防御導(dǎo)彈使用最大機動能力進行轉(zhuǎn)彎.因而，預(yù)測制導(dǎo)律能夠完成比APN更多工況的任務(wù)，預(yù)測制導(dǎo)律的邊界即為防御導(dǎo)彈最大機動能力所到達的邊界.只要來襲導(dǎo)彈在防御導(dǎo)彈能夠到達的最大范圍內(nèi)，預(yù)測制導(dǎo)律均可收斂.

2.2 虛擬目標狀態(tài)估計

得到虛擬目標的位置后，其運動速度可通過卡爾曼濾波得到.根據(jù)公式的(9)等加速度模型，濾波模型為：

xP*,k=FxP*,k-1+vk

yk=CxP*,k+wk

(16)

其中xP*,k為tk時刻虛擬目標P*的狀態(tài)，yk為測量值即P*在tk時刻的位置.F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

(17)

C為觀測矩陣

C=[I30 0]

(18)

vk為過程噪聲，wk為“測量”噪聲，在這里可以理解為在預(yù)測過程中造成的誤差，假設(shè)預(yù)測造成的誤差大于過程噪聲.

應(yīng)用卡爾曼濾波公式迭代

(19)

從而可以估計虛擬目標的速度為

vP*=[0I30]xP*

(20)

3 仿真算例

為了驗證主動防御協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律的有效性，本節(jié)開展了兩組數(shù)值仿真.

為簡便起見，本文提出的預(yù)測制導(dǎo)法(Predictive guidance strategy)簡稱為“PGS”.在仿真中作為參照對比的制導(dǎo)律選取經(jīng)典的純比例導(dǎo)引律(PPN)，以及擴展比例導(dǎo)引律(APN).

三種飛行器的初始速度分別為：

VT=300 m/s,VA=800 m/s,VD=500 m/s

其最大法向過載能力分別為：

為精確計算脫靶量，仿真步長選取為10-5s，制導(dǎo)步長為0.05 s.在制導(dǎo)與預(yù)測模塊中，對相關(guān)參數(shù)的選取如下：制導(dǎo)律系數(shù)N=3;過程噪聲矩陣V=0.1·I3,測量噪聲矩陣W=I3.

場景1迎頭工況：

來襲導(dǎo)彈從載機的迎頭方向11 km處來襲；載機在初始狀態(tài)從原點處出發(fā)，沿x方向飛行，同時進行規(guī)避機動；防御導(dǎo)彈由載機在原點位置發(fā)射，發(fā)射方向與載機飛行方向相同，即x方向.來襲導(dǎo)彈使用系數(shù)時變的APN制導(dǎo)律向載機進攻，比例系數(shù)：

NA=4+sint

(21)

其中，t為仿真時間.

為了盡可能地與真實場景相符，在主動防御任務(wù)中，載機需要采取有效的逃逸措施來對來襲導(dǎo)彈進行規(guī)避.此處載機的機動選用[10]中的最優(yōu)逃逸策略，即aT=5 g,向-y方向機動，以最大程度地增加A對T制導(dǎo)的脫靶量.

場景1的仿真結(jié)果如圖4～圖7所示，攔截脫靶量如表1所示.可以看出，預(yù)測制導(dǎo)律相對于其它方法的攔截彈道更加平直，制導(dǎo)過載和制導(dǎo)的能量消耗也都遠小于其它方法，脫靶量也更小.圖7為預(yù)測模塊對預(yù)測虛擬目標的速度估測，其平均速度不到30 m/s，遠小于制導(dǎo)原目標即來襲導(dǎo)彈的800 m/s.此外，本仿真也驗證了在來襲導(dǎo)彈制導(dǎo)模型與預(yù)測假設(shè)存在偏差時，預(yù)測制導(dǎo)算法仍是有效的.

圖4 迎頭來襲情況下預(yù)測制導(dǎo)律與PPN法、APN法的攔截彈道對比Fig.4 Trajectories comparison of Scenario 1

場景2側(cè)向工況：

來襲導(dǎo)彈從載機的左方11 km處來襲；載機在初始狀態(tài)從原點處沿x方向出發(fā)；來襲導(dǎo)彈使用與場景1相同的變系數(shù)APN制導(dǎo)律.此外，防御導(dǎo)彈制導(dǎo)中對來襲導(dǎo)彈位置速度的測量加入了均值為0，方差為10的高斯白噪聲.

圖5 迎頭來襲情況下預(yù)測制導(dǎo)律與PPN法、APN法的制導(dǎo)過載對比Fig.5 Accelerations of the Defender in Scenario 1

圖6 迎頭來襲情況下預(yù)測制導(dǎo)律與PPN法、APN法的制導(dǎo)能耗對比Fig.6 Guidance energy consumption in Scenario 1

圖7 迎頭來襲情況下虛擬目標的速度估測Fig.7 Estimated velocity of virtual target in Scenario 1

在此場景中，載機使用空戰(zhàn)對抗中的一種標準機動動作——破S(Split S)機動來躲避具備高度和速度優(yōu)勢的來襲導(dǎo)彈.如圖8所示，載機軌跡為紅線，首先沿x方向出發(fā)，然后使用最大過載俯沖至速度沿z方向向下，緊接著用最大過載改變航向至速度沿-y方向.

場景2的仿真結(jié)果如圖8～圖11所示.可以看出在使用PPN和APN時，交戰(zhàn)起初的視線角速度很小，導(dǎo)致制導(dǎo)過載一開始很小，隨著來襲彈的逼近才逐漸增大，因而攔截彈道相對較長，不但耗費了較多能量，最終攔截的脫靶量也較大，PPN由于過載飽和無法實現(xiàn)攔截.而使用預(yù)測方法，防御導(dǎo)彈在開始階段就以較大過載進行轉(zhuǎn)彎，后來慢慢平穩(wěn)減小，能夠取得較好的攔截效果.使用PGS的攔截彈道也相對平直，因而其攔截持續(xù)時間也小于其它方法，這也滿足了主動防御任務(wù)對于盡早完成攔截任務(wù)的時間約束需求.

引入預(yù)測思想后，對制導(dǎo)過載的優(yōu)化能夠使得防御導(dǎo)彈盡早實現(xiàn)轉(zhuǎn)彎，從而擴大攔截包線范圍，圖12是比例導(dǎo)引律與預(yù)測制導(dǎo)律的攔截區(qū)域?qū)Ρ?左圖為使用比例導(dǎo)引律的各向攔截彈道，綠色實線部分代表能夠成功完成攔截的彈道，虛線部分代表脫靶量較大無法攔截.使用比例導(dǎo)引律的攔截范圍為±89°.而使用協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律，攔截范圍可擴大到±110°.

圖8 側(cè)向來襲情況下預(yù)測制導(dǎo)律與PPN法、APN法的攔截彈道對比Fig.8 Trajectories comparison of Scenario 2

圖9 迎側(cè)向來襲情況下預(yù)測制導(dǎo)律與PPN法、APN法的制導(dǎo)過載對比Fig.9 Accelerations of the Defender in Scenario 2

圖10 側(cè)向來襲情況下預(yù)測制導(dǎo)律與PPN法、APN法的制導(dǎo)能耗對比Fig.10 Guidance energy consumption in Scenario 2

圖11 側(cè)向來襲情況下虛擬目標的速度估測Fig.11 Estimated velocity of virtual target in Scenario 2

表1 攔截時間與脫靶量Tab.1 Interception time and miss distance

圖12 比例導(dǎo)引律與預(yù)測制導(dǎo)律攔截區(qū)域?qū)Ρ菷ig.12 Comparison of interception area between PN law and PGS law

4 結(jié) 論

針對主動防御問題，本文提出了一種三維的協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律，將迭代計算與經(jīng)典制導(dǎo)律相結(jié)合，實時預(yù)測攔截點，將攔截高速來襲導(dǎo)彈的問題轉(zhuǎn)化為攔截低速虛擬目標問題，從而提升了攔截性能.仿真結(jié)果表明，使用協(xié)同預(yù)測制導(dǎo)律能夠優(yōu)化防御導(dǎo)彈的制導(dǎo)過載，降低最大過載需求，取得較小脫靶量的同時也能更加節(jié)省能量.在應(yīng)對大前置角偏差的工況時，能夠幫助防御導(dǎo)彈實現(xiàn)快速轉(zhuǎn)彎，更快完成攔截，從而增加主動防御系統(tǒng)的攔截范圍.