劉鵬飛， 馬忠軍

(1.桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學 廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室，廣西 桂林 541004)

近年來，隨著人工智能技術的不斷提升，多智能體協(xié)調(diào)控制在數(shù)學、生物學和通信控制等領域引起了眾多學者的研究興趣。一致性作為多智能體協(xié)調(diào)控制的根本問題之一，在耦合振子系統(tǒng)同步[1]、多機器人編隊[2]、通信網(wǎng)絡擁塞[3]和群集[4]等領域有著廣泛應用。一致性是指在控制協(xié)議下，多智能體的狀態(tài)變量(如位置、速度)與系統(tǒng)隨時間的演化達到漸近相同。

連續(xù)控制和非連續(xù)控制[5-12]構成了一致性協(xié)議中的主要內(nèi)容。其中，脈沖控制作為一致性協(xié)議中的一類非連續(xù)控制方法，具有非連續(xù)性、瞬時性、低耗能性、較強的魯棒性以及抗干擾能力等優(yōu)點，已被廣泛應用于各種動力系統(tǒng)[13-19]。文獻[13]首次給出了脈沖控制的概念；文獻[14]提出了一種新的離散時刻多智能體系統(tǒng)的脈沖控制方法；文獻[15]針對非線性多智能體系統(tǒng)的時滯脈沖控制問題，利用脈沖控制理論解決了狀態(tài)依賴時滯脈沖微分系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性問題；文獻[16]通過給出一個新的李雅普諾夫函數(shù)，建立了在任意條件下脈沖切換的指數(shù)穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性的一般準則；文獻[17]考慮了切換拓撲下的非線性多智能體系統(tǒng)的二階一致性問題；文獻[18]運用矩陣不等式和脈沖算法研究了具有非線性時變時滯的多智能體系統(tǒng)的二階一致性問題；文獻[19]研究了具有隨機時變時滯和非線性擾動的多智能體系統(tǒng)的三階一致性問題，以線性矩陣不等式(LMIs)的形式給出了實現(xiàn)滯后一致性的幾個充分條件。

在上述研究中考慮的一致性是在脈沖控制下，多智能體的所有狀態(tài)變量(如位置或速度)趨于漸近一致。文獻[20]從另外的角度，針對一階非線性多智能體系統(tǒng)，提出了部分分量一致性的概念,并給出了多智能體部分分量一致性的充分條件。但關于脈沖控制在部分分量一致性的應用尚處于空白階段。鑒于此，給出并證明了脈沖微分系統(tǒng)的部分變分穩(wěn)定性定理，研究了一階非線性多智能體系統(tǒng)在脈沖控制下部分分量的一致性，利用圖論、矩陣范數(shù)理論和脈沖微分方程理論，通過設計適當?shù)拿}沖控制項和選擇合適的脈沖區(qū)間，得到了多智能體系統(tǒng)達到部分成分一致性的充分條件。數(shù)值模擬驗證了理論結果的正確性和有效性。

1 預備知識

考慮如下脈沖微分系統(tǒng)[21]

(1)

其中，

x=(y,z)=(x1,x2,…xm,xm+1,…,xn)T∈Rn,

首先給出如下假設：

H1 0

時，tk→+∞；

H2 函數(shù)f:R+×Rn→Rn在(tk-1,tk]×Rn連續(xù)，且對任意x∈Rn，k∈Z+，

存在；

H3Ik:Rn→Rn。

引理1[19]設V:R+×Rn→R+，V是正定的，假設

(2)

其中,g:R+×R+→R是連續(xù)的，且ψk:R+→R+單調(diào)不減。若r(t)=r(t,t0,u0)為純量脈沖微分系統(tǒng)，

(3)

定義在[t0,+∞)上的最大解，那么若

則有

V(t,x(t))≤r(t),t≥t0，

(4)

其中x(t)=x(t,t0,x0)為系統(tǒng)(1)定義在[t0,+∞)上的任意解。

H4V∈C(R+×S(ρ),R+),

D+V(t,x)≤g(t,V(t,x))(t≠tk)；

H5 存在ρ0>0,x∈S(ρ0)，使得

x+Ik(x)∈Sρ0，

且

V(t,x+Ik(x))≤ψk(V(t,x)),t=tk，

對所有的k都成立；

H6b(‖y‖)≤V(t,x)≤a(‖x‖)，其中a,b∈K。

定理1若滿足以上3個假設，則系統(tǒng)(1)的平凡解關于部分變元y的穩(wěn)定性與系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性一致。

證明過程類似于參考文獻[21]中的方法。

證明任意給定0<ε<ρ0，t0∈R+，假設系統(tǒng)(3)的解是穩(wěn)定的，則給定b(ε)>0，存在δ1(t0,ε)>0，使得當0≤u0<δ1時，有u(t,t0,u0)

1)取δ=min{δ1,δ2}，用反證法證明，若‖x0‖≤δ，則當t≥t0時，‖y(t)‖<ε。

若上述不正確，則系統(tǒng)(1)存在解

x(t)=(y(t),z(t)),‖x0‖<δ

和t*>t0，使得對某個k當tk

ε≤‖y(t*)‖和‖y(t)‖<ε(t0≤t≤tk)。

由于0<ε<ρ0,且條件H5表明

可以找到一個t0,使得當tk

ε≤‖y(t0)‖≤‖x(t0)‖<ρ0。

記m(t)=V(t,x(t))，t0≤t

V(t,x(t))≤r(t,t0,a‖x0‖),t0≤t

(5)

其中r(t,t0,u0)為系統(tǒng)(3)的最大解。由條件H6可得如下矛盾：

b(ε)≤b(‖y(t0)‖)≤V(t0,x(t0))≤

r(t0,t0,a‖x0‖)

(6)

故系統(tǒng)(1)的平凡解關于y穩(wěn)定。

2)證明系統(tǒng)(3)的解u≡0是漸近穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(1)的平凡解關于y也是漸近穩(wěn)定的。

‖y(t)‖<ρ0,t≥t0。

(7)

V(t,x(t))≤r(t,t0,a‖x0‖),t≥t0,

于是有

b(‖y(t)‖)≤V(t,x(t))≤r(t,t0,a‖x0‖)<

b(ε),t≥t0+T。

(8)

故‖y(t)‖<ε。因此系統(tǒng)(1)的平凡解關于y是漸近穩(wěn)定的。

2 主要結果

將脈沖微分系統(tǒng)的部分變元穩(wěn)定性理論應用到多智能體系統(tǒng)中，考慮一階非線性脈沖控制系統(tǒng)

(9)

xi(t))-diΓ(xi(t)-x0(t))]。

(10)

其中：k∈N+,i=1,2,…,N；δ(t)為Dirac函數(shù)；c>0為耦合強度；Γ=diag(r1,r2,…,rn)∈Rn×n，rk≥0，k=1,2,…,n為內(nèi)部耦合矩陣。若第i個智能體可以接收第j智能體的信息時，aij>0，否則aij=0。當?shù)趇個智能體能接收到領導者的信息時，di>0，否則di=0。設領導者的狀態(tài)方程為

(11)

其中：x0=(x01,x02,…,x0n)∈Rn為領導者的狀態(tài)；f(x0)為非線性連續(xù)函數(shù)。設

ei(t)=xi(t)-x0(t),i=1,2,…,N。

當t≠tk時，誤差系統(tǒng)為

(12)

矩陣形式為

(13)

其中

F(x(t))=g(x(t),t)-1N?f(x0(t),t),

g(x(t),t)=[fT(x1(t),t),fT(x2(t),t)，…,

fT(xN(t),t)]T。

當t=tk時，由式(9)、(10)可得

(14)

矩陣形式為

(15)

其中D=diag(d1,d2,…,dN)。

為了研究誤差系統(tǒng)(16)和(17)的平凡解的部分變元的漸近穩(wěn)定性，參考文獻[20]中的變換,令

計算可得

k=1,2,…,n,

因此式(13)、(15)可轉化為：

當t≠tk時，誤差系統(tǒng)為

(16)

其中，

f1(xN))T,…,(f2(x1),f2(x2)…,f2(xN))T,

(fn(x1),fn(x2)…,fn(xN))T]T。

當t=tk，誤差系統(tǒng)為

(17)

(18)

其中，α>0,

H8 矩陣

[InN×Nn-cΓ?(L+D)]TW[InN×Nn-

cΓ?(L+D)]

半正定，且最大特征值λmax<1，譜范數(shù)

‖InN×Nn-cΓ?(L+D)‖2≤1；

H9 脈沖時間間隔滿足

0<β1≤tk+1-tk≤β2<+∞；

定義1[20]若存在1≤l≤n，使得式(9)、(11)的解滿足

則稱式(9)、(11)關于前l(fā)個分量達到部分分量一致。

定理2若式(9)、(11)滿足H7～H10，則在脈沖控制協(xié)議下的多智能體系統(tǒng)關于前l(fā)個分量達到部分分量一致。

其中，

y=(e11(t),e12(t)…,e1l(t),

eN1(t),eN2(t),…,eNl(t))T。

顯然，a,b∈K，構造如下李雅普諾夫函數(shù)：

其中，

因此，函數(shù)V(t)滿足定理1中H6的條件

b(‖y‖)≤V(t,x)≤a(‖x‖)。

當t∈(tk-1,tk]時，取Dini導數(shù)有

取

則誤差比較系統(tǒng)為

(19)

對于該脈沖微分方程，易解得：

(20)

因此，

(21)

由定理條件

可得

3 數(shù)值模擬

通過給出一個數(shù)值例子來驗證所提脈沖控制協(xié)議算法的有效性。

例1設有4個網(wǎng)絡節(jié)點，每個節(jié)點取3維系統(tǒng)，考慮多智能體系統(tǒng)關于前2個分量的一致性問題，網(wǎng)絡拓撲圖為含有向生成樹圖,如圖1所示。

圖1 含有向生成樹拓撲圖

令第i個智能體的狀態(tài)方程為

通過計算，取α=2時假設成立。取L、D分別為

取

Γ=diag(1,1,0),c=0.1，

則最大特征值為λmax=0.966 8。為方便計算，取等脈沖間隔Δ=tk+1-tk=0.01，則其滿足定理2條件。

圖2 系統(tǒng)誤差變量eij(t)的演化過程

通過Matlab軟件得到誤差軌跡隨時間t的演化如圖2所示。圖2(a)與圖2(b)表明，所有智能體的前2個分量都能達到一致，而圖2(c)表明另一個分量未達到一致。因此，提出的脈沖控制協(xié)議在部分分量一致性中的應用是有效的。

4 結束語

提出了一種脈沖微分系統(tǒng)部分變元穩(wěn)定性定理并給予證明，并研究了一階非線性多智能體系統(tǒng)部分分量在脈沖控制下的一致性。采用適當?shù)拿}沖間隔、矩陣理論和穩(wěn)定性理論，通過設計合適的脈沖控制項，得到了多智能體系統(tǒng)部分分量一致性的充分條件。數(shù)值模擬驗證了理論結果的正確性。本研究僅考慮了對位移直接進行脈沖控制得出前l(fā)個分量的一致性，在接下來的工作中，將研究二階多智能體系統(tǒng)在脈沖控制下的部分分量一致性問題。