王兵銳 張新剛 馬曉普

摘? 要：在模擬信號轉(zhuǎn)數(shù)字信號的通信過程中，帶通采樣起著非常重要的作用。然而帶通采樣涉及連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換等知識，復(fù)雜難懂。一些文獻(xiàn)偏重數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，涉及較多數(shù)學(xué)知識，難以理解。尤其不同的文獻(xiàn)采用的帶通采樣公式不同，導(dǎo)致帶通采樣公式有多種表達(dá)式。本文采用淺顯易懂的語言描述帶通采樣，并詳細(xì)推導(dǎo)不同公式之間的關(guān)聯(lián)性，揭示這些公式的統(tǒng)一性。仿真實驗表明測試得到的帶通采樣結(jié)果與理論一致。

關(guān)鍵詞：帶通采樣;傅里葉變換;頻域;帶寬

中圖分類號：TN929? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2019）24-0055-03

Abstract：In the process of converting analog signal to digital signal，bandpass sampling plays a very important role. However，bandpass sampling involves of continuous Fourier transform and discrete Fourier transform，which is complex and difficult to understand. Some references lay particular stress on the deduction of mathematical formulas，which is not easy to understand. Especially，different bandpass sampling formulas are used between different references，which leads to many expressions of bandpass sampling formulas. In this study，the bandpass sampling is described in plain language，and the correlation between different formulas is deduced in detail to reveal the uniformity of these formulas. The simulation results show that test results are in agreement with the theory.

Keywords：bandpass sampling;Fourier transform;frequency domain;bandwidth

0? 引? 言

芯片只能處理數(shù)字信號，然而現(xiàn)實生活中的很多信號是模擬信號，因此需要將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號[1]。在轉(zhuǎn)換過程中需要三個步驟：采樣、量化、編碼。采樣又稱為抽樣或取樣，把時間連續(xù)的信號轉(zhuǎn)換為時間不連續(xù)的脈沖。該脈沖信號稱為采樣信號，采樣信號在時間軸上是離散的，但在函數(shù)軸上仍是連續(xù)的。把采樣信號變?yōu)樵跁r間上離散，在幅度上也離散的過程叫作量化。量化過程是一個數(shù)值分層過程。即四舍五入過程。編碼是將量化后的數(shù)字信號的幅值，變換成一組組對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)組。第一步的采樣最為關(guān)鍵，關(guān)系到模數(shù)轉(zhuǎn)換，再到數(shù)模轉(zhuǎn)換。經(jīng)過幾次變換，傳輸?shù)男盘栠€要保持不變，這樣的通信才算完整可靠。不失真的采樣是值得分析和研究的。而且采樣分為低通采樣和帶通采樣，帶通采樣涉及大量數(shù)學(xué)運算，比較難懂，是通信相關(guān)課程中的難點和重點。

1? 低通采樣分析

由于低通采樣比較容易理解，本文從低通采樣開始討論，如圖1所示。

對一個連續(xù)時域信號m（t），采樣后變?yōu)闀r域離散但幅值連續(xù)的采樣信號s（t），如圖1（a）所示。該信號變化緩慢，頻率偏低。根據(jù)傅里葉理論，連續(xù)非周期信號對應(yīng)的頻域曲線是非周期連續(xù)的波形，而離散非周期信號對應(yīng)的頻域曲線是周期連續(xù)的波形。抽樣之后s（t）的頻域曲線，是m（t）的頻域曲線周期拓展的結(jié)果。經(jīng)過傅里葉變換，s（t）相應(yīng)的頻域曲線s（f）應(yīng)該在O附近，如圖1（b）所示。

由連續(xù)時域信號m（t）變?yōu)殡x散時域信號s（t）的過程是采樣，如果隨意采樣，也就是隨意把m（t）變?yōu)閟（t），傳輸中容易失真。如何采樣，才能保證信號無失真正確傳輸是關(guān)鍵問題。奈奎斯特提出低通采樣定理[2，3]，采樣時的頻率fs的取值應(yīng)該滿足fs≥2fH，這樣才能保證最終不失真地還原出m（t），完成數(shù)模轉(zhuǎn)換。現(xiàn)從頻域上進(jìn)行觀察，并舉例說明，令fH為2，則fs的最小值為4，如圖2所示。通過圖2的示例可以清晰地發(fā)現(xiàn)，s（t）的頻域函數(shù)s（f）的曲線沒出現(xiàn)重疊的情況，換言之，頻域波形不出現(xiàn)重疊是無失真?zhèn)鬏數(shù)闹匾Ｕ稀?/p>

2? 帶通采樣推導(dǎo)分析

帶通采樣在通信接收中具有重要的作用[4，5]。設(shè)帶通時域波形x（t）如圖3（a）所示，相應(yīng)的頻域波形x（f）如圖3（b）所示。

（a）時域信號

（b）頻域波形

該測試中，實際使用的采樣頻率fs為300Hz，對測試信號進(jìn)行抽樣，得到帶通抽樣信號y（t）如圖6（a）所示。抽樣信號的頻譜為測試信號頻譜y（f）的拓展，如圖6（b）所示，可以發(fā)現(xiàn)拓展后的頻域波形沒有重疊，說明采樣頻率fs設(shè)置為300Hz是合適的。

針對頻帶受限的帶通信號，在頻率范圍（fL，fH）內(nèi)，進(jìn)行采樣研究時，許多資料采用不同的公式定理，給學(xué)生們帶來一定困擾。且涉及傅里葉變換、時域頻域聯(lián)系等數(shù)學(xué)知識，不易理解。本文先引入易懂的低通采樣定理，進(jìn)行了分析，并用示例進(jìn)行了講解。然后針對兩種不同的帶通采樣定理，進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，經(jīng)過數(shù)學(xué)分析證明這兩種公式都是正確的，且具有統(tǒng)一一致包含性。最后采用MATLAB對帶通采樣進(jìn)行具體的實驗測試，實驗結(jié)果與理論相符合。

（a）時域信號

（b）頻域波形

圖6? 抽樣后的帶通信號

參考文獻(xiàn)：

[1] 郝建明，魯昌華，蔣薇薇.傅里葉變換紅外光譜儀干涉信號采集技術(shù)研究 [J].自動化技術(shù)與應(yīng)用，2016，35（10）：23-27.

[2] 蓋建新，杜昊辰，劉琦，等.基于采樣值隨機壓縮矩陣核空間的亞奈奎斯特采樣重構(gòu)算法 [J].電子與信息學(xué)報，2019，41（2）：484-491.

[3] 侯明星.基于壓縮感知技術(shù)的異構(gòu)型物聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)處理 [J].物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，2018，8（11）：60-61+63.

[4] 王洪梅，姚沖，王法廣，等.三路帶通混疊信號數(shù)字接收機設(shè)計 [J].電子技術(shù)應(yīng)用，2019，45（8）：95-98+103.

[5] 劉穎，范書斐，宋明輝，等.基于System Generator的射頻直接帶通采樣MRI信號接收方法 [J].波譜學(xué)雜志，2019，36（3）：278-287.

[6] 劉源.帶通抽樣定理在高頻電路中的應(yīng)用 [J].輕工科技，2012，28（9）：74-75+78.

[7] John G.Proakis，Dimitris G.Manolakis.數(shù)字信號處理 ——原理、算法與應(yīng)用：第4版 [M].方艷梅，劉永清，等譯.北京：電子工業(yè)出版社，2014：282-320.

[8] 王浩.基于帶通采樣的水聲收發(fā)信機關(guān)鍵技術(shù)的研究與實現(xiàn) [D].秦皇島：燕山大學(xué)，2018.

[9] 樊昌信，曹麗娜.通信原理：第7版 [M].北京：國防工業(yè)出版社，2012：280-285.

[10] 南利平，李學(xué)華，張晨燕，等.通信原理簡明教程：第2版 [M].北京：清華大學(xué)出版社，2007：116-120.

作者簡介：王兵銳（1986-），男，漢族，河南南陽人，講師，博士，研究方向：衛(wèi)星通信、FPGA設(shè)計以及智能應(yīng)急;張新剛（1979-），男，漢族，河南南陽人，副教授，碩士，主要研究方向：人工智能、計算機工程;馬曉普（1975-），男，漢族，河南南陽人，教授，博士，主要研究方向：數(shù)據(jù)挖掘與云計算。