1918至1919年的一個(gè)錯(cuò)誤理論開啟了一個(gè)偉大征程，導(dǎo)致描述自然界三種基本力的理論框架，以及很多重要的物理學(xué)和數(shù)學(xué)成就。為這一征程做出貢獻(xiàn)的很多物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)或者菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)。

1918至1919年的規(guī)范理論

1918至1919年，位于蘇黎世的瑞士聯(lián)邦工業(yè)學(xué)院的赫爾曼·外爾（Hermann?Weyl）發(fā)表了三篇文章，試圖將電磁力納入引力幾何理論的框架（1-41。這就是規(guī)范理論的開端。外爾是20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。曾獲得菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)的阿蒂亞（Michael?Atiyah）爵士曾經(jīng)告訴筆者，外爾是他的偶像之一。

外爾的這三篇文章，以《引力與電》（Gravitationund?Elektrizitat）一.文為主，該文發(fā)表于《普魯士科學(xué)院院刊》。正是在這個(gè)雜志上，愛因斯坦1915年發(fā)表了引力的幾何理論，也就是廣義相對(duì)論，揭示了引力本質(zhì)上是物質(zhì)所導(dǎo)致的時(shí)空的彎曲。

1905年，愛因斯坦提出狹義相對(duì)論。閔可夫斯基注意到，狹義相對(duì)論將時(shí)間和空間統(tǒng)一為四維時(shí)空。十年以后，愛因斯坦的廣義相對(duì)論指出，物質(zhì)使得時(shí)空彎曲，彎曲時(shí)空又決定物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。相對(duì)論是愛因斯坦最大也是最著名的貢獻(xiàn)，但是他獲得1922年諾貝爾獎(jiǎng)主要是由于對(duì)光電效應(yīng)的理論解釋。為了領(lǐng)會(huì)時(shí)空彎曲的含義，讓我們想象一個(gè)球面。在球面上的某一點(diǎn)放一個(gè)箭頭，箭頭從這一點(diǎn)指向某個(gè)方向。然后我們將箭頭的底端在球面上移動(dòng)，移動(dòng)過程的每一個(gè)瞬間，都保持箭頭方向不變，這叫平行移動(dòng)。然而，對(duì)于有限長度（非無窮?。┑囊苿?dòng)，箭頭方向卻變了。我們可以讓箭頭底端沿著某個(gè)閉合曲線平行移動(dòng)一圈，回到原來的位置，箭頭的方向不再是原來的方向。這是球面彎曲所導(dǎo)致的。在彎曲時(shí)空里，道理與此類似，矢量的平行移動(dòng)可能改變其方向，但大小不變。

當(dāng)時(shí)人們了解到，自然界有兩種基本力，除了引力，就是電磁力。所以外爾自然地想將電磁力（由電磁勢決定）也納入廣義相對(duì)論的框架。他試圖推廣平行移動(dòng)的觀念，構(gòu)想矢量平行移動(dòng)時(shí)，不僅方向變化，大小也變化。對(duì)于無窮小的平行移動(dòng)，矢量大小改變無窮小倍，外爾假設(shè)這個(gè)無窮小倍數(shù)正比于電磁勢的無窮小改變。不難推導(dǎo)出，對(duì)于一個(gè)有限長度的平行移動(dòng)，矢量大小就變成原來的大小乘以一個(gè)指數(shù)因子，指數(shù)正比于電磁勢沿著路徑的積分（即每一點(diǎn)的電磁勢的累加）。這個(gè)改變矢量大小的指數(shù)因子依賴于平行移動(dòng)所經(jīng)過的路徑，所以叫做不可積標(biāo)度因子。這個(gè)結(jié)論很奇怪。在相對(duì)論里，尺子大小和時(shí)鐘快慢都可以看成矢量的大小。按照外爾的理論，兩點(diǎn)之間的尺子大小和時(shí)鐘快慢的改變居然取決于尺子和時(shí)鐘沿什么路徑移動(dòng)！這就是愛因斯坦在外爾《引力與電》一文后所作評(píng)論的內(nèi)容。評(píng)論后面還發(fā)表了外爾篇幅很長但沒有說服力的答復(fù)，但是他承認(rèn)自己“像野鵝一樣追逐瘋狂的概念”。

在外爾的這篇文章中，有一句話體現(xiàn)了外爾的思考方式（本文中的直接引文均為筆者譯自英文）：“電磁守恒定律與新的規(guī)范不變性聯(lián)系起來，通過第五個(gè)任意函數(shù)表達(dá)。在我看來，這與能量動(dòng)量原理的類似是對(duì)當(dāng)前理論的最強(qiáng)論證一只要在純粹猜想的情況下允許談?wù)撜撟C?！笨梢钥闯?，外爾的信心源于他提出電磁守恒定律背后的不變性，或者說對(duì)稱性。這里的守恒量并非今天我們所知的電荷（那需要修正后的規(guī)范理論）。這里，外爾將對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量與能量動(dòng)量守恒相比較。這些都可以當(dāng)成諾特定理的例子。諾特定理是說，連續(xù)對(duì)稱性對(duì)應(yīng)于守恒量。不知外爾當(dāng)時(shí)是否已經(jīng)知道也發(fā)表于1918年的諾特定理6。當(dāng)時(shí)諾特在哥廷根大學(xué)希爾伯特的麾下，但是五年前外爾就已經(jīng)離開了。

量子論拯救規(guī)范理論

量子論出現(xiàn)以后，1922年，外爾的朋友薛定諤猜測，可以在外爾的標(biāo)度因子的指數(shù)里加，上虛數(shù)單位i”。這樣，標(biāo)度因子就成了一個(gè)模為1的復(fù)數(shù)，即量子力學(xué)波函數(shù)的相位因子。但是薛定諤當(dāng)時(shí)還沒有波函數(shù)的概念，只是籠統(tǒng)地說某個(gè)“長度”。后來人們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)工作對(duì)薛定諤1926年創(chuàng)立波動(dòng)力學(xué)起了啟發(fā)作用[8-10。也是在1922年，在經(jīng)典理論中，卡魯扎（Theodor?Kaluza）將4維時(shí)空推廣到5維時(shí)空，其中某些度規(guī)分量代表電磁勢。當(dāng)理論不依賴于第5維坐標(biāo)時(shí)，5維坐標(biāo)變換退化為4維坐標(biāo)變換和1維規(guī)范變換。

1926年，薛定諤通過4篇文章創(chuàng)立了量子力學(xué)的波動(dòng)力學(xué)表述（因此分享1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）。他在第4篇文章中指出，電磁場中帶電粒子的動(dòng)量和能量算符必須包含電磁勢川。同樣是在1926年，克萊因（OskarKlein）和?？耍╒ladimir?Fock）分別討論了卡魯扎理論對(duì)應(yīng)的波動(dòng)力學(xué)。福克特別指出，波麗數(shù)運(yùn)動(dòng)方程具有規(guī)范不變性，就是說，將波麗數(shù)乘以相位因子，同時(shí)電磁勢做相應(yīng)的變換，運(yùn)動(dòng)方程依然成立。

1926年底，倫敦（Fritz?London）給薛定諤寫了一封信，詢問他1922年對(duì)規(guī)范因子的修改與他1926年波動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系18-10]。然后倫敦自己寫了兩篇文章，將通常的波動(dòng)力學(xué)與外爾的規(guī)范理論聯(lián)系起來，將外爾的不可積標(biāo)度因子改為波麗數(shù)的不可積相位因子[14-151。倫敦的工作沒有福克的5維理論的額外負(fù)擔(dān)。

規(guī)范理論的重生

在倫敦和福克工作的鋪墊基礎(chǔ)上，外爾在1928年的《量子力學(xué)中的群論》一書?和1929年的兩篇文章中，終于修正了他1918至1919年的理論，正式將標(biāo)度因子改為相位因子，將標(biāo)度不變性改為相位不變性，但是沿用了原來的名詞“規(guī)范（eich）”。我們特意將他在1918-1919年間的不可積因子稱作標(biāo)度因子，因?yàn)闃?biāo)度因子和相位因子都稱作規(guī)范因子。2019年恰好也是規(guī)范理論重生九十周年。1929年的這兩篇文章是外爾以美國普林斯頓大學(xué)訪問教授的身份完成的。第一篇是發(fā)表于《美國科學(xué)院院刊》（PNAS）的英文概要《引力與電子》（Gravitation?and?the?electron），里面出現(xiàn)了“規(guī)范不變?cè)怼保╬rinciple?of?gauge?invariance）。第二篇是德文文章，發(fā)表于《物理學(xué)雜志》（Zeitschrift?fir?Physik），內(nèi)容詳盡，標(biāo)題是《電子與引力（一）》（Elektronund?gravitation.I）。兩個(gè)標(biāo)題與他1918年的《引力與電》頗為呼應(yīng)。

規(guī)范不變?cè)懋?dāng)然就是外爾1929年文章中最重要的內(nèi)容。在量子力學(xué)框架下，電磁學(xué)作為規(guī)范不變的后果被推導(dǎo)出來，規(guī)范不變性還導(dǎo)致電荷守恒。這里的規(guī)范變換已經(jīng)不是一個(gè)實(shí)數(shù)的標(biāo)度因子，而是相位因子（指數(shù)上有個(gè)虛數(shù)單位），規(guī)范不變性事實(shí)上是相位不變性。這就是我們今天熟悉的規(guī)范理論。

導(dǎo)致電荷守恒的規(guī)范不變是在整體規(guī)范變換（又稱第一類規(guī)范變換）下，也就是相位變換與時(shí)空坐標(biāo)無關(guān)，對(duì)每時(shí)每地的波麗數(shù)作同樣的相位變換。這可以看成諾特定理的例子，雖然外爾沒有直接提到諾特定理。1929年，諾特定理已經(jīng)廣為人知。而導(dǎo)出電磁學(xué)的規(guī)范不變性對(duì)應(yīng)于局域規(guī)范變換（又稱第二類規(guī)范變換），也就是說，相位因子依賴于時(shí)空坐標(biāo)。

外爾1929年的文章仍然將引力和電磁力通盤考慮，但是現(xiàn)在需要考慮量子力學(xué)，出發(fā)點(diǎn)是引力場中的電子自旋。因此外爾討論了二分量旋量理論（用兩個(gè)波麗數(shù)描述電子），包括具有手征性的外爾旋量（后來被稱為外爾費(fèi)米子）。

筆者發(fā)現(xiàn)特別有趣的是，在外爾的理論中，局域平直時(shí)空依賴于時(shí)空坐標(biāo)，從而導(dǎo)致了一種聯(lián)絡(luò)，與時(shí)空彎曲的克里斯托弗爾聯(lián)絡(luò)相加，類似于后來人們所知的非阿貝爾規(guī)范勢，而相應(yīng)的黎曼張量類似于非阿貝爾規(guī)范場場強(qiáng)！

被譽(yù)為“物理學(xué)的良心”并自稱“上帝的鞭子”的量子力學(xué)創(chuàng)始人之一泡利（因不相容原理獨(dú)享1945年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）寫了一封信給外爾：“我面前是4月份的《美國科學(xué)院院刊》。里面的‘物理’欄目下不僅有你一篇文章，而且表明你現(xiàn)在在一個(gè)‘物理實(shí)驗(yàn)室’工作：聽說給了你一個(gè)美國的物理教授職位。我欣賞你的勇氣;因?yàn)椴豢杀苊獾慕Y(jié)論是，你希望不是用純數(shù)學(xué)的成功來評(píng)價(jià)你，而是用你真實(shí)但是不愉快的對(duì)物理學(xué)的熱愛來評(píng)價(jià)你?！?/p>

外爾這篇文章引起泡利的反感是可以理解的：外爾1918年的文章是帶著愛因斯坦的質(zhì)疑一起發(fā)表的，泡利當(dāng)年也反對(duì)4，現(xiàn)在居然卷土重來，再加上文章里面的二分量理論是違反宇稱守恒的。后來，1933年，泡利在他著名的《物理學(xué)手冊(cè)》的文章里仍然批評(píng)二分量理論。1957年1月，泡利聽說吳健雄等人關(guān)于弱相互作用中宇稱不守恒的實(shí)驗(yàn)后（弱相互作用是主宰粒子衰變的基本相互作用），先是表示不相信宇稱不守恒，十天后讀了論文，才改變看法。

但是泡利看了外爾1929年第二篇規(guī)范理論的文章后，態(tài)度完全變了，又寫了一封信19-201：“與我上次難聽的話相反，我上封信的主要部分已經(jīng)被否定，特別是被你在《物理學(xué)雜志》上的文章否定。因此我后來后悔給你寫上封信。研究了你的文章后，我想說我真正弄懂了你想做的（根據(jù)你在《美國科學(xué)院院刊》上的短文，情況不是這樣）。首先讓我強(qiáng)調(diào)我所完全贊同的方面：你將旋量理論納入引力理論框架?！@里我必須承認(rèn)你的物理能力。你早期用gik=λgik的理論是純數(shù)學(xué)，沒有物理意義。愛因斯坦對(duì)你的批評(píng)與責(zé)備是有道理的。現(xiàn)在你的復(fù)仇時(shí)刻到了。”

1930年，外爾去哥廷根大學(xué)任教，成為他的導(dǎo)師希爾伯特的繼任者。

泡利成了規(guī)范理論的支持者。在上面所說的他1933年《物理學(xué)手冊(cè)》文章中，也介紹了外爾的規(guī)范理論。

也是在1933年，外爾收到普林斯頓高等研究院的教授聘書，他沒有接受。后來德國政治局勢惡化，他接受了普林斯頓高等研究院的再次相聘。他在那里工作到1951年退休，后來在蘇黎世和普林斯頓兩地生活，以蘇黎世為主。

雖然經(jīng)典電磁學(xué)中也討論規(guī)范和規(guī)范變換，但是這個(gè)名詞的使用是在1929年外爾用量子力學(xué)修改規(guī)范理論之后。

克萊因和泡利

質(zhì)子和中子統(tǒng)稱為核子，通過強(qiáng)核力結(jié)合成原子核。1922年，考慮到強(qiáng)核力與每個(gè)核子是質(zhì)子還是中子無關(guān)，海森堡提出同位旋的概念，類似于自旋，將質(zhì)子和中子表示成同位旋的兩種基本狀態(tài)，而在強(qiáng)核力下，同位旋守恒。海森堡因?yàn)樽钤缛〉脧睦狭孔诱摰搅孔恿W(xué)的突破，獨(dú)享1932年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1936年，湯川秀樹提出強(qiáng)核力的介子理論，即核子之間通過交換介子而產(chǎn)生強(qiáng)核力，正如帶電粒子之間的電磁力通過交換光子而實(shí)現(xiàn)，因此獨(dú)享1949年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。光子沒有質(zhì)量，所以電磁力是長程的，但是介子是有質(zhì)量的，所以強(qiáng)核力只能局限于很短的距離。

數(shù)學(xué)上，外爾的規(guī)范變換屬于U（1）變換，只有1個(gè)波函數(shù)作一個(gè)相位變換。而核子的同位旋變換屬于SU（2）變換，對(duì)應(yīng)于兩個(gè)同位旋狀態(tài)的2個(gè)波函數(shù)做滿足一定條件的變換。對(duì)于某種變換而言，如果連續(xù)做兩次變換的結(jié)果與順序無關(guān)，就叫阿貝爾的，否則就叫非阿貝爾的。U（1）變換是阿貝爾的，SU（2）變換是非阿貝爾的。

1938年，克萊因在波蘭的一個(gè)會(huì)議上提出一個(gè)包含引力、電磁力和強(qiáng)核力的統(tǒng)一理論，將上面提到的卡魯扎一克萊因理論中對(duì)第5維坐標(biāo)的無關(guān)性改為依賴于某個(gè)相位因子，其中第5維坐標(biāo)出現(xiàn)在指數(shù)上。這個(gè)新理論中，某些度規(guī)系數(shù)成為具有SU（2）非阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)的矩陣?？巳R因?qū)⒋死碚撚糜诤俗印？巳R因并不要求該理論具有SU（2）規(guī)范不變性。不過他評(píng)論說質(zhì)量項(xiàng)可能不需要，質(zhì)量也許可以來自某種自能，這個(gè)猜想有點(diǎn)后來的希格斯機(jī)制的精神?？巳R因的報(bào)告沒有引起與會(huì)者多少興趣，后來又只是發(fā)表在會(huì)議文集，再加上二戰(zhàn)的爆發(fā)，這個(gè)工作沒有引起關(guān)注。

1953年在萊頓召開的洛倫茲一昂內(nèi)斯會(huì)議上，普林斯頓高等研究院的派斯（Abraham?Pais）為了研究粒子分類，提出一個(gè)基于同位旋的場論，將每個(gè)時(shí)空點(diǎn)推廣為一個(gè)2維球面，試圖將外爾的電荷守恒推廣到同位旋守恒。派斯只考慮了整體規(guī)范變換，也就是說，SU（2）變換與時(shí)空坐標(biāo)無關(guān)。泡利在場，他評(píng)論道（20.241：“我有個(gè)關(guān)于介子和核子相互作用的具體問題…我很贊成將守恒定律和不變性質(zhì)與大自然在數(shù)學(xué)上的變換群聯(lián)系起來。如果除了能量守恒和電荷守恒，核子數(shù)的守恒和核力的電荷無關(guān)確定無誤，那么它們確實(shí)必須與自然定律的群論性質(zhì)聯(lián)系起來，正如派斯現(xiàn)在試圖用數(shù)學(xué)表達(dá).的....與此相關(guān)，我想問，是否這個(gè)常數(shù)變換群（同位旋群）能夠擴(kuò)大，與電磁勢的規(guī)范群類似，從而介子一核子作用與這個(gè)擴(kuò)大的群聯(lián)系起來……”

泡利是在問，能否將與時(shí)空坐標(biāo)無關(guān)的同位旋SU（2）整體變換改為依賴時(shí)空坐標(biāo)的SU（2）局域規(guī)范變換。他自己立即研究了這個(gè)問題。泡利熟悉規(guī)范理論，以前也研究過引力和電磁力的統(tǒng)一，贊成外爾將電子旋量理論與引力理論結(jié)合起來。

在1953年7月和12月給派斯的兩封信中，泡利描述了自己的理論，題為“介子一核子相互作用與微分幾何”（Meson-nucleon?interaction?and?differential?geometry。他也用卡魯扎-克萊因理論，但是采用了兩個(gè)額外維度。在他的理論中，電磁勢不是來自度規(guī)，而是來自克里斯托弗爾聯(lián)絡(luò)。泡利在這里沒有寫下規(guī)范場的拉格朗日量以及場方程，也沒有正式發(fā)表這個(gè)理論。但他在1953年秋天做過相關(guān)演講，后來他的學(xué)生整理了講義。1954年泡利在給楊振寧的一封長信中說，他的學(xué)生在這個(gè)講義里討論了規(guī)范場的拉格朗日量。1953年12月，泡利給派斯的另一封信中說：“如果試圖給出場方程，……那么總是得到靜止質(zhì)量為0的矢量介子?！敝貥?biāo)志是泡利本人所加。這里以及后來泡利與楊振寧的對(duì)話以及給楊振寧的長信反映出，泡利意識(shí)到規(guī)范粒子的質(zhì)量是個(gè)麻煩。這是因?yàn)槿绻?guī)范粒子有質(zhì)量，理論的規(guī)范不變性也就失去了;而如果規(guī)范粒子沒有質(zhì)量，則意味著規(guī)范場可以將作用力傳遞無限遠(yuǎn)，但是這與強(qiáng)核力的情況不符。

楊-米爾斯理論

楊振寧當(dāng)時(shí)是普林斯頓高等研究院的年輕成員，是派斯的同事，但是1953年夏至1954年夏，他在布魯克海文實(shí)驗(yàn)室訪問。楊振寧曾經(jīng)回憶：“我在昆明和芝加哥做研究生時(shí)，認(rèn)真學(xué)習(xí)了泡利關(guān)于場論的綜述文章。我對(duì)電荷守恒與理論在相位變化下不變的關(guān)系印象非常深刻。后來我發(fā)現(xiàn)這些思想來源于外爾。印象更深的是，規(guī)范不變性決定了整個(gè)電磁相互作用?！睏钫駥幗又貞?，在芝加哥讀研究生時(shí)，他就開始嘗試將規(guī)范理論推廣到同位旋。2005年出版的《楊-米爾斯理論50年》（50?Years?of?Yang-Mills?Theory）收人了楊振寧在1947年的三頁筆記，編者特霍夫特（Gerardus’t?Hooft）說，“這是一個(gè)當(dāng)時(shí)在為規(guī)范不變性概念而努力的研究生的筆記，距1954年的杰作還有一段長路?！?947年后楊振寧還進(jìn)行了很多不成功的計(jì)算。

后來隨著實(shí)驗(yàn)上越來越多的介子被發(fā)現(xiàn)，楊振寧認(rèn)為需要一個(gè)寫下相互作用的原理。所以1953年夏天在布魯克海文實(shí)驗(yàn)室，楊振寧回到這個(gè)問題。當(dāng)時(shí)，他與即將在哥倫比亞大學(xué)博士畢業(yè)的米爾斯（Robert?Mills）共用一個(gè)辦公室。這一次，兩人終于完成了規(guī)范理論的非阿貝爾推廣。

1954年2月，楊振寧回到普林斯頓高等研究院作學(xué)術(shù)報(bào)告，介紹這個(gè)理論。泡利在聽眾中，那個(gè)時(shí)期他與老朋友外爾一樣在蘇黎世與普林斯頓高等研究院之間“振蕩”。犀利的泡利不斷問楊振寧規(guī)范粒子的質(zhì)量。楊振寧回答說不知道，曾經(jīng)研究過，但是沒有明確結(jié)論。泡利說：“這不是充分的理由?！钡诙?，楊振寧收到泡利的短信，去找泡利。泡利建議楊振寧去看薛定諤關(guān)于引力場中狄拉克方程的文章。楊振寧發(fā)現(xiàn)，里面的方程一方面與黎曼幾何有關(guān)，一方面與他和米爾斯的方程類似12]。這個(gè)月，泡利還寫了一封長信給楊振寧，將自己之前的結(jié)果在平直時(shí)空和其他條件下簡化，與楊-米爾斯的結(jié)果一致，并說他的學(xué)生討論了規(guī)范場的拉格朗日量。泡利最后寫道：“但是我曾經(jīng)而且仍然對(duì)粒子靜止質(zhì)量為零的矢量場感到反感和泄氣（我不將你的’復(fù)雜’之說當(dāng)回事），而且也存在電磁場的特性導(dǎo)致的群的困難。”

楊振寧和米爾斯的工作與廣義相對(duì)論完全無關(guān)，沒有額外維度的負(fù)擔(dān)。在他們的文章之前，除了倫敦的文章和泡利的綜述，研究不可積規(guī)范因子和規(guī)范理論的論文都將規(guī)范場與引力糾纏在一起，這有一定誤導(dǎo)性，但有一定技術(shù)上的優(yōu)勢。楊振寧和米爾斯在明確的物理動(dòng)機(jī)下，提出清晰的非阿貝爾規(guī)范理論。但是因?yàn)樗麄儺?dāng)時(shí)不了解規(guī)范場的幾何意義，不知道場強(qiáng)可以直接從協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對(duì)易子得到。而克萊因和泡利的工作是在彎曲時(shí)空理論的框架中，所以很自然地通過協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對(duì)易子得到場強(qiáng)。不過筆者注意到，在泡利當(dāng)初介紹外爾規(guī)范場的綜述文章中，對(duì)于通常的平直空間，也用協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對(duì)易子表示了場強(qiáng)。楊振寧大概沒有留意到這一點(diǎn)，否則推廣的過程會(huì)順利很多。

盡管受到泡利的批評(píng)，楊振寧依然認(rèn)為想法很美，應(yīng)該發(fā)表。這體現(xiàn)了巨大的勇氣，因?yàn)榕堇呐u(píng)有強(qiáng)大的殺傷力。比如1925年，烏倫貝克（George?Uhlenbeck）和古德斯米特（Samuel?Goudsmit）提出電子具有自旋。這個(gè)貢獻(xiàn)沒有得到諾貝爾獎(jiǎng)，因?yàn)榭死漳嵯＃≧alph?Kronig）大半年前提出同樣想法，但在泡利、海森堡和克拉默斯（Hendrik?Kramers）反對(duì)下沒有發(fā)表。

2012年，楊振寧說：“這篇文章是我一生最重要的工作。雖然未竟全功，但是決定當(dāng)時(shí)發(fā)表是極正確的。

1954年，楊振寧和米爾斯其實(shí)發(fā)表了兩篇文章，提出楊-米爾斯理論。第一篇只是楊振寧在當(dāng)年美國物理學(xué)會(huì)四月會(huì)議所作報(bào)告《同位旋守恒與推廣的規(guī)范不變性》（Isotopic?spin?conservation?and?ageneralized?gauge?invariance）的摘要，發(fā)表在《物理評(píng)論》（Physical?Review），但是很好地總結(jié)了楊-米爾斯理論的物理思想：“同位旋守恒與電荷守恒類似，顯示存在一個(gè)基本的不變定律。在后者的情況，電荷是電磁場的源;這里的一個(gè)重要概念是規(guī)范不變性，它緊密相關(guān)于（1）電磁場的運(yùn)動(dòng)方程，（2）流密度的存在，（3）可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。我們嘗試將這一規(guī)范不變性的概念推廣，以運(yùn)用于同位旋守恒。結(jié)果表明，這個(gè)推廣很自然。與電磁場類似的場是一個(gè)矢量場，即使其他場不存在，也滿足非線性方程。（與電磁場不同，這個(gè)場具有同位旋，是它自己的源。）流密度自動(dòng)存在，這個(gè)場與其他任意同位旋的場的相互作用具有確定形式（除了與電動(dòng)力學(xué)中的反常磁矩作用相類似的可能項(xiàng)）?！彼麄兞硪黄恼率窃敿?xì)的論文《同位旋守恒與同位旋規(guī)范不變性》（Conservation?of?isotopicspin?and?isotopic?gauge?invariance），6月28日被《物理評(píng)論》收稿。此文的摘要強(qiáng)調(diào)了局域變換：“本文指出通常在同位旋旋轉(zhuǎn)下的不變性原理與局域場的概念不融洽。本文探討在局域同位旋旋轉(zhuǎn)下的不變性。這導(dǎo)致建立了一個(gè)同位旋規(guī)范不變性原理和某個(gè)b場粒子的存在，它與同位旋的關(guān)系類似于電磁場與電荷的關(guān)系。b場滿足非線性微分方程。b場的量子是自旋為1、同位旋為1、電荷為土e或0的粒子?！蔽恼伦詈笳f明，對(duì)于規(guī)范粒子的質(zhì)量問題，還沒有滿意答案，并指出質(zhì)量為零的選項(xiàng)面臨發(fā)散的困難。

我們順便提一下，整體對(duì)稱也是合法的，不與規(guī)范對(duì)稱矛盾，兩種對(duì)稱都存在，前者也可看成后者的特例，事實(shí)上電荷守恒正是整體相位變換不變性的后果。

雖然是一個(gè)很美的理論，但是楊-米爾斯理論沒有能立即用到物理上。當(dāng)時(shí)除了在普林斯頓，楊振寧只在哈佛大學(xué)作過一次介紹這個(gè)工作的演講。

2012年，楊振寧評(píng)論：“最近一些年，經(jīng)常有人問我，為什么1954年泡利沒有發(fā)表他關(guān)于規(guī)范場的計(jì)算，而米爾斯和我發(fā)表了。我認(rèn)為答案在于我們關(guān)于以下兩者不同的價(jià)值判斷：（A）規(guī)范不變性的美和力量，以及（B）規(guī)范玻色子的質(zhì)量問題。對(duì)于米爾斯和我來說，中心動(dòng)機(jī)來自（A），正如我們的短摘要（譯注：上文已引述）所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結(jié)道：‘因此我們沒有得到關(guān)于b量子的質(zhì)量的任何結(jié)論?！簿褪钦f，我們將（B）當(dāng)作未來的問題。對(duì)于泡利來說，規(guī)范不變性的美顯然沒有被充分領(lǐng)會(huì)。他對(duì)整個(gè)想法有持續(xù)的負(fù)面態(tài)度。參見文章[85j]的腳注34。因此（B），質(zhì)量問題，對(duì)于泡利來說，成為中心和決定性的?！边@里提到的[85j]就是楊振寧的《外爾對(duì)物理學(xué)的貢獻(xiàn)》，里面的腳注34指出，泡利生前最后一些年對(duì)規(guī)范場的思想持負(fù)面態(tài)度，并提到1956年泡利曾經(jīng)為他1921年的文章《相對(duì)論》寫過一系列后記，其中關(guān)于“外爾的理論”的后記不再如他1921年的文章那樣正面。

順便提一下，1955年劍橋大學(xué)薩拉姆的學(xué)生肖（Ronald?Shaw）的博士論文也討論了規(guī)范理論的SU（2）推廣。肖聲稱他1953年看到施溫格（Julian?Schwinger）的一篇論文預(yù)印本用SO（2）討論電磁規(guī)范理論，便將其推廣到SU（2）。肖所做的只是一個(gè)未發(fā)表的數(shù)學(xué)練習(xí)，他和薩拉姆都沒有意識(shí)到非阿貝爾規(guī)范場的重要意義。1955年內(nèi)山菱友（Ryoyu?Utiyama）完成了一篇探討一般規(guī)范結(jié)構(gòu)的論文，次年發(fā)表，其中以電磁學(xué)、引力和楊-米爾斯場作為例子。內(nèi)山聲稱其主要工作完成于1954年3月底，但并沒有成文，而且這已經(jīng)是在楊振寧的普林斯頓演講之后。

總之，楊振寧和米爾斯成為非阿貝爾規(guī)范理論的創(chuàng)立者，非阿貝爾規(guī)范理論也被稱為“楊-米爾斯理論”。1999年，在美國物理學(xué)會(huì)成立100周年之際，楊振寧當(dāng)初的同事和見證人派斯寫了理論粒子物理的歷史綜述，其中寫道：“1954年，兩篇精彩的短文標(biāo)志著非阿貝爾規(guī)范理論的開端（譯注：派斯在這句話后面引用了楊振寧和米爾斯的兩篇文章）。它們處理一種全新的強(qiáng)相互作用，由零質(zhì)量矢量介子傳遞。這個(gè)工作引起很大興趣，但是如何應(yīng)用這些深?yuàn)W的想法是另一回事，那時(shí)沒有矢量玻色子，更不用說零質(zhì)量的矢量玻色子。問題一直被擱置到1970年代?！?/p>

楊-米爾斯理論的發(fā)表使得很多物理學(xué)家開始關(guān)注這個(gè)問題，成為一個(gè)候選理論，雖然并沒有立即成功解決具體物理問題。楊振寧回憶：“1950年代后期，規(guī)范理論被用到強(qiáng)相互作用和弱相互作用。1960年，櫻井（JunJohn?Sakurai）發(fā)表了一篇很熱切的文章，提出強(qiáng)相互作用的非阿貝爾規(guī)范理論。”（271但是楊振寧認(rèn)為櫻井的做法破壞了規(guī)范不變性這一規(guī)范理論中最美妙的觀念，認(rèn)為不應(yīng)當(dāng)馬馬虎虎地將規(guī)范理論變?yōu)槲ㄏ蟮臇|西。1961年，格拉肖（Sheldon?L.Glashow）如櫻井一樣，硬行假設(shè)規(guī)范粒子具有質(zhì)量，提出一個(gè)具有U（1）xSU（2）對(duì)稱性的模型，以統(tǒng)一電磁相互作用和弱相互作用。

另一方面，楊-米爾斯理論也引起一些純理論的興趣。1960年代，費(fèi)曼（Richard?Feynman）、德維特（Bryce?DeWitt）、波波夫（Victor?Nikolaevich?Popov）和法捷耶夫（Ludvig?Dmitrievich?Faddeev）研究了楊-米爾斯理論的量子化。因量子電動(dòng)力學(xué)的重正化，費(fèi)曼和施溫格（Julian Schwinger）、朝永振一郎（Shinichiro?Tomonaga）分享1965年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

[本文作者受國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（11574054）資助。]

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關(guān)鍵詞：外爾?規(guī)范理論?規(guī)范場?楊-米爾斯理論?標(biāo)準(zhǔn)模型?粒子物理