孫莉萍

開始備課時，我認為兩種畫法是兩個獨立的存在，對于學(xué)生為什么學(xué)習(xí)了度量法還要學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖，查閱了相關(guān)資料給出的解釋是：在用量角器畫已知角的過程中，我們在讀數(shù)每位同學(xué)的近似方法不一樣，實際上畫出的角是會有誤差的，這里有主觀因素在其中。古希臘數(shù)學(xué)家最信任的尺規(guī)作圖，所以我們作出一個角等于已知角。在備課組活動說課時，備課組老師建議用線段和角畫法的類比學(xué)習(xí)會使知識脈絡(luò)更清晰，更符合單元設(shè)計的要求，也就是現(xiàn)在復(fù)習(xí)引入中我們類比了畫線段等于已知線段的方法后，讓學(xué)生接著思考畫一個角等于已知角的方法會有哪些來引出我們今天要研究的兩種畫法。

本課重難點就是探究尺規(guī)作圖畫相等的角的依據(jù)和過程，本以為探究只是公開課的一個形式，當(dāng)時由于時間關(guān)系，準備給學(xué)生一分鐘自己畫，結(jié)果試講時收到了“兩邊分別平行的角”、“對頂角”，“SAS”、“HL”甚至還有把圓規(guī)兩個角當(dāng)做角的兩邊，直接移動得到的（如圖一）。通過這一環(huán)節(jié)也讓我感受到六年級學(xué)生學(xué)習(xí)幾何更多的憑借直觀和直覺，他們需要通過猜想和動手操作去獲得知識。

于是在備課中，我用幾何畫板讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，猜想歸納。

在自主探究后，師生共同探究尺規(guī)作圖的依據(jù)和過程，我一共做了三個嘗試：

1.把畫相等的角這個新問題轉(zhuǎn)化為畫相等的線段：GE、GF、EF，利用我們已學(xué)過的知識來解決未知問題，難點是如何確定G點。（如圖二）

分析：①G點在以點E為圓心，長度為EG的這條弧線上;

②G點同時也在以點F為圓心，長度為FG的這條弧線上.

這兩條弧線的交點就是E點.

這種方法作出的角一定和原來的角相等.它的原理我們在以后會學(xué)到，有興趣的同學(xué)可以提前研究一下。這種方法作出的角一定和原來的角相等.它的原理我們在以后會學(xué)到，有興趣的同學(xué)可以提前研究一下.但是要畫三條長度不同的線段比較麻煩，我們在作圖時可以取GE=EF，簡化作圖過程。老師在黑板上尺規(guī)作圖，并口述作法。

這個說法看上去在講道理，其實講的道理學(xué)生較難理解。再反觀學(xué)生的動手操作過程，他們更喜歡用直尺，而不知道圓規(guī)可以干嘛，角是有公共頂點的兩條射線，那他們怎么會想到用圓規(guī)在角上畫弧呢。備課組又經(jīng)過討論，覺得畫弧就是角的始邊上一個點繞著頂點旋轉(zhuǎn)走過的路徑，我反復(fù)旋轉(zhuǎn)著發(fā)現(xiàn)這樣就像量角器的半圓弧，想到用類比量角器畫角。

2.我們從角的動態(tài)概念來看，角是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。始邊在零刻度數(shù)的點E繞著頂點旋轉(zhuǎn)到終邊上的刻度數(shù)點F，在旋轉(zhuǎn)過程中，形成以頂點為圓心，GE為半徑的弧，這個圓弧就像我們量角時第一次擺放的對中，對邊的量角器。在畫角的時候這條弧上的的刻度數(shù)處描出點N，就可以畫出相等的角。那么在沒有刻度的情況下，我們?nèi)绾握业近cN呢？學(xué)生通過幾何畫板動態(tài)演示，可以直觀感受到隨著∠α大小的變化，弧EF的長度也隨之變化?？梢杂脠A規(guī)量取EF，以M為圓心EF為半徑作弧，就可以找到點N的位置。聯(lián)結(jié)EF，可以通過EF的長度來確定角的大小，因此我們把畫相等的角轉(zhuǎn)化為畫相等的線段。（如圖三）

這個說法把量角器為什么是個半圓弧都解釋清楚了，看似沒有問題，可是從頭到尾，就是老師一個在演示和講，學(xué)生除了能感覺出EF的大小和角度有關(guān)系之外，沒有感覺到量角器畫和尺規(guī)畫法的類比關(guān)系，會畫的孩子不到1/3。

3.隨著備課的深入，再次回到孩子的年齡特征和認知水平上來，把問題拋給孩子，而且需要層層遞進，從“特殊”到“一般”。用量角器畫角的時候在這條弧上的的刻度數(shù)處描出點N，就可以能確定OB的位置了。（如圖四）

問題：1：如果量角器上沒有刻度怎么來解決問題？

問題2：那現(xiàn)在量角器也沒有了，那怎么辦？

學(xué)生會馬上想到?jīng)]有刻度我就在弧上做個標記，弧也沒有了我就造個弧，就能做標記了。

問題3：點怎么找，如何保證兩個角的大小一樣？用什么工具？

這時用幾何畫板讓他們感受下EF之間的距離與∠α的大小有關(guān)，而截取EF就是之前的畫線段的方法。因此我們用圓規(guī)作圓弧代替量角器，用圓規(guī)度量兩點間的距離，保證了兩個角的大小一樣。

拋出這三個問題后，我突然又想到，畫相等的線段的度量法和尺規(guī)畫法不也可以這樣講嗎？相等的線段怎么畫？先畫一條射線，再用刻度尺度量，然后在射線上截取?？潭瘸邲]有刻度怎么辦，在尺的一邊上標點，再射線上找到另一個端點。那不用尺可以嗎？我們可以用什么工具來代替找到端點呢？提出這樣的問題，不是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)畫圖方法的過程中，也學(xué)會解決問題的方法了嗎？（如圖五）另外，在角的兩種畫法學(xué)習(xí)中，逐步使學(xué)生學(xué)會口頭表達，不斷規(guī)范幾何語言，在練習(xí)中滲透分類討論思想，也是為下一節(jié)角的和差倍做鋪墊。

從剛開始備課認為2種畫角的方法是割裂開的，在通過不斷的磨課，不斷反思中發(fā)現(xiàn)在這個單元教學(xué)的內(nèi)容中，線段和角的各種類比，概念、大小比較、畫法、和差倍分，甚至還能夠把度量法與尺規(guī)作圖做類比學(xué)習(xí)，有利于以后在設(shè)計時對這些碎片化的知識更系統(tǒng)整體的教學(xué)。還發(fā)現(xiàn)明確這個單元的教學(xué)目標，對于知識點怎么講，講到什么程度會更明確，有利于在每一階段的學(xué)習(xí)更有層次性。

（作者單位：同濟大學(xué)附屬七一中學(xué)）