趙春然 朱孟正 公丕鋒 張金鋒

摘?要：給出矩形波導(dǎo)管中電磁波的電場和磁場各分量表達(dá)式，并分析管內(nèi)傳輸?shù)碾姶挪ǖ奶匦?，重點(diǎn)討論管中僅傳輸TE11模波的情況.采用數(shù)值計(jì)算的方式，描繪對應(yīng)的場結(jié)構(gòu)以及管壁上的面電流、磁場以及電場分布.

關(guān)鍵詞：電磁波;波導(dǎo);面電流密度

[中圖分類號(hào)]O451 ???[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Exploring TE11 Mode Electromagnetic Wave in aRectangular Waveguide and Wall-current

ZHAO Chunran， ZHU Mengzheng， GONG Pifeng， ZHANG Jinfeng

（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

Abstract：The electric field and magnetic field component expressions of the electromagnetic waves in the rectangular waveguide are given. The characteristics of the electromagnetic waves transmitted in the waveguide are analyzed. This paper focuses on the transmission of only the TE11 mode in the waveguide， using numerical calculations to depict the corresponding field structure and the wall-current， magnetic field and electric field distribution on the tube wall of waveguide by numerical calculation.

Key words：electromagnetic waves; waveguide; surface current density

在低頻或直流電傳輸時(shí)，通常采用雙線傳輸.隨著傳輸電流頻率的提高，采用雙線就會(huì)出現(xiàn)以下缺點(diǎn)：雙線會(huì)把所傳輸?shù)碾姶拍芟蛑車臻g輻射，具有天線的作用;雙線傳輸?shù)膶?dǎo)體裸露在外，它本身既相當(dāng)于一個(gè)輻射天線，又相當(dāng)于一個(gè)接收天線，會(huì)接收空間的雜散電磁波;雙線的分布電容不能忽略，以致會(huì)出現(xiàn)部分短路.為了克服雙線的上述缺點(diǎn)，當(dāng)需要傳輸較高頻率的電磁能時(shí)，利用導(dǎo)體對電磁波的屏蔽作用，把一根導(dǎo)線展成柱面，使它把另一根導(dǎo)線包圍起來.由于柱面導(dǎo)體的屏蔽，較高頻率的電磁波不會(huì)向四周輻射，外界的干擾信號(hào)也不會(huì)進(jìn)到中芯線.當(dāng)頻率更高時(shí)，導(dǎo)體中電磁波的穿透深度減小，電流通過的有效截面積減小，因而電阻增大，這一點(diǎn)對同軸線內(nèi)導(dǎo)體的影響尤為突出，為了克服上述缺點(diǎn)，人們逐漸拋棄了內(nèi)導(dǎo)體，只有一個(gè)空心導(dǎo)體管的波導(dǎo)誕生了.

1?矩形波導(dǎo)中電磁波

理想導(dǎo)體構(gòu)成的波導(dǎo)管，其矩形橫截面的兩邊長為a和b，如圖1所示.電場的空間分量可令為：

E（x）=E（x，y，z）=E（x，y）rikzz.（1）

對于一定頻率的電磁波，場矢量的空間分量應(yīng)滿足：

SymbolQC@

2E+k2E=0B=-iωSymbolQC@

×ESymbolQC@

·E=0?.（2）

將波導(dǎo)管壁看作由理想導(dǎo)體構(gòu)成，則根據(jù)邊界條件有：n×E（x）=0，（3）

即，在導(dǎo)體表面附近的電場線與界面正交.[6]由方程組（2）中的第一個(gè)方程解的結(jié)果還必須滿足第三個(gè)方程，以及條件式，得另一個(gè)邊界條件：

En（x）n=0.（4）

利用邊界條件（3）（4）式，從而對（2）式作出限定，矩形波導(dǎo)管中電場的各分量，并考到是時(shí)諧變化的：

Ex=E0xcoskxxsinkyyei（kzz-ω t），

Ey=E0ysinkxxcoskyyei（kzz-ω t），（5）

Ez=kxE0x+kyE0yikzsinkxxsinkyei（kzz-ω，t）.

其中，kx=mπ/a，ky=nπ/b，m，n=0，1，2，….M，n分別代表a邊、b邊所含的半波數(shù)目.由方程組（2）的第二個(gè)方程及（5）式得磁場的表達(dá)形式：

Bx=-1ω k[kxkyE0x+（ky2+kz2）E0y]sinkxxcoskyyei（kzz-ω t），

By=1ω k[（kx2+kz2）E0x+kxkyE0y]coskxxsinkyyei（kzz-ω t），（6）

Bz=-iω（kxE0y-kyE0x）coskxxcoskyyei（kzz-ω t）.

從描述波導(dǎo)管內(nèi)電磁場量的（5）式和（6）式可以看出：

（1）電磁波沿波導(dǎo)管長度方向上為行波，在矩形波導(dǎo)管的橫截面上的兩個(gè)方向上為駐波.

（2）管中電場和磁場不可能同時(shí)為橫波.假設(shè)管中電場和磁場同時(shí)為橫波，即Ez=0，Bz=0，則得到：E0x=0，E0y=0.這個(gè)結(jié)果說明管中無電磁波存在，顯然矛盾！若管中Ez=0，則稱為橫電波（TEmn）;若管中Bz=0，則稱為橫磁波（TMmn）.

（3）波導(dǎo)管中存在截止頻率，對于波矢量有：

kz2=k2-（kx2+ky2）=ω2μ ε-[（mπa）2+（nπb）2].（7）

若kz2<0，則kz=i κ，相位因子eikzz=e-κ z，不能穩(wěn)定傳播，電磁波能在波導(dǎo)管中傳播應(yīng)有：kz2≥0，極限情況就是該式取等號(hào)，故

ωc，mn=πμε（ma）2+（nb）2（8）

稱為截止頻率，相應(yīng)的截止（最大）波長：

λc，mn=vT=1μ ε2πωc，mn .（9）

（4）筆者注意到，（9）式中1/μ ε并非是波導(dǎo)管中電磁波的相速度.由傳播因子ri（kzz-ω t）很容易得到導(dǎo)行波的相速度，其等相面方程為kzz-ω t=常數(shù)，由此得相速度：

vp=dxdt=ωkz>1μ ε .（10）

若波導(dǎo)管是真空，則vp>c，按相對論，信號(hào)的傳播速度絕不能超過光速c，這意味著相速度不能承當(dāng)信號(hào)的傳播速度.事實(shí)上能夠很容易看出，相速度不能從實(shí)驗(yàn)上測定，因此它缺乏任何直接物理意義.

（5）波導(dǎo)波長λg是指某一頻率的導(dǎo)行波等相面在一個(gè)周期內(nèi)沿軸向移動(dòng)的距離.

λg=vpT=2πkz>2πk .（11）

而k=ωμε為波源的波數(shù)，則波源的波長λ=2π/k， λ代表頻率為ω的波源在無限均勻介質(zhì)的自由空間中傳播時(shí)的波長，所以波長λ與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān).

（6）波導(dǎo)管中導(dǎo)行電磁波的群速度.實(shí)際中輸入的波不可能是完全單色的，其頻率總有些微小差別，因此，不同頻率的波列疊加形成波群（波包），波群的等振幅面向前傳播的速度稱為群速度.故此，矩形波導(dǎo)管中電磁波群速度為：

vg=dωdkz=kzωμ ε1μ ε<1μ ε .（12）

由（10）（12）式可以看出，波導(dǎo)管中導(dǎo)行波的相速度vp與群速度vg都和ω有關(guān)，這種波稱為色散型電磁波.必須指出，導(dǎo)行波的色散是由于波導(dǎo)管壁的邊界條件決定的，而光波在透明介質(zhì)中傳播時(shí)的色散是由介質(zhì)的性質(zhì)引起的，這兩種色散物理過程是完全不同的.此外，由（10）和（12）式可得：

vpvg=ωkz·kzωμε=1μ ε .

2?TE11波的場量及其形成的管壁電流

現(xiàn)行絕大多數(shù)電動(dòng)力學(xué)[1，3-4]教材涉及這部分內(nèi)容時(shí)，都對TE10波給予了充分的分析，但是對于TE11波的分析少之又少，故此，接下來著重分析矩形波導(dǎo)管中僅存在TE11模時(shí)，管內(nèi)的場結(jié)構(gòu)以及管壁上的面電流分布情況.就TE11模電磁波而言：m=1，n=1，所以：

kx=π/a，ky=π/b.（13）

橫電波要求Ez=0，則：

E0x=-aE0y/b.（14）

根據(jù)（13）式和（14）式表達(dá)的條件，針對TE11波的電場部分和磁場部分的各個(gè)分量參照（5）式和（6）式就很易得出.

利用數(shù)值模擬的方法探討TE11型波的場結(jié)構(gòu).場結(jié)構(gòu)就是用電場線和磁場線表示的電磁場的空間分布，可以描繪出某一特定時(shí)刻的場線空間分布圖形，隨著時(shí)間的推移，整個(gè)場線圖形將沿z軸方向平移.根據(jù)TE11波的電場部分和磁場部分的各個(gè)分量，且t=0時(shí)刻，取電場和磁場的實(shí)部進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.如圖2所示，描繪了TE11型波的場結(jié)構(gòu)，電場用淺色加粗帶箭頭的線段表示，磁場線用黑色帶箭頭的線段表示，其帶箭頭線段的長短代表電場或磁場強(qiáng)度的大小.數(shù)值計(jì)算中，選擇波導(dǎo)管的寬邊a=2mm，窄邊b=1mm，傳輸?shù)腡E11型波的頻率就是截止頻率，E0y=1，在傳播方向上，即z軸上繪制了一個(gè)波導(dǎo)波長.圖2中淺色加粗的電場線均平行于xOy

平面，參見圖1的坐標(biāo)系，對比文獻(xiàn)的結(jié)果[2]，TE11型波的場結(jié)構(gòu)顯然要比TE10型波的復(fù)雜的多.

根據(jù)電磁場的邊值關(guān)系，波導(dǎo)管內(nèi)表面的管壁的面電流密度：

α=n×H.（15）

在x=0面上，法向矢量n的三個(gè)分量很顯然可表示為：ny=0，nz=0及nx=1;在x=a面上，ny=0，nz=0及nx=-1;在y=0面上，

nx=0，nz=0及ny=1;在y=b面上，nx=0，nz=0及ny= -1.因此很容易得到公式（16）（17）.

（1）在x=a面上零時(shí)刻的管壁電流：

α=-aπE0yμ0ω（1a2+1b2）cosπbysinkzzey-aE0ykzμ0ω bsinπbycoskzzez.（16）

（2）在y=b面上零時(shí)刻的管壁電流：

α=aπE0yμ0ω（1a2+1b2）cosπaxsinkzzex+aE0ykzμ0ωsinπaxcoskzzez.（17）

圖3?波導(dǎo)管的管壁x=a面上的面圖4?波導(dǎo)管的管壁y=b面上的面電流密度、磁場線以及電場分布電流密度、磁場線以及電場分布

利用MATLAB軟件數(shù)值計(jì)算方法描繪圖1中靠外側(cè)的兩個(gè)面——波導(dǎo)管的內(nèi)壁x=a面和y=b面上的面電流、電場線和磁場線.如圖3和圖4所示，數(shù)值計(jì)算時(shí)所需參數(shù)同前面圖2提到的一樣.淺色加粗帶箭頭的線段表示面電流密度矢量，相對深顏色帶箭頭的線段表示磁場強(qiáng)度矢量，線段的長短代表面電流密度或磁場強(qiáng)度的大小;在波導(dǎo)管的內(nèi)壁x=a面或y=b面上，電場強(qiáng)度矢

量與這些面是垂直的，圖中用小圓點(diǎn)表示電場強(qiáng)度矢量的方向朝外、叉號(hào)表示其方向朝里，因數(shù)據(jù)采樣的等間距性要求，圖3和圖4中所描繪的小圓點(diǎn)和叉號(hào)的分布密度并不能說明相應(yīng)處的電場強(qiáng)度大小.為彌補(bǔ)這一缺陷，用電場強(qiáng)度的等高圖來反映電場在各處強(qiáng)弱分布.管壁上面電流密度α與該管壁面附近的磁場方向垂直，但是在圖3和圖4中的部分部位可能會(huì)發(fā)現(xiàn)不垂直，這是圖像顯示的縱橫比導(dǎo)致的.在波導(dǎo)管的內(nèi)壁x=a面的中線上，沿y軸的面電流為零（圖3），表明若在窄邊中線上開沿z軸的窄縫，將不會(huì)對波導(dǎo)管中的電磁場產(chǎn)生大的擾動(dòng)，而這種窄縫廣泛地應(yīng)用于用探針測量波導(dǎo)管內(nèi)物理量的技術(shù)中;在波導(dǎo)管的內(nèi)壁y=b面的中線上，沿x軸的面電流為零（圖4），表明若在寬邊中線上開沿z軸的窄縫，也不會(huì)對波導(dǎo)管中的電磁場產(chǎn)生大的擾動(dòng).綜上所述，雖然TE11型波的場結(jié)構(gòu)要比TE10型波的復(fù)雜很多，但是若想采用探針技術(shù)來測量波導(dǎo)管內(nèi)TE11型波的物理量，仍然是可以找到合適的位置在波導(dǎo)管上開“窄縫”.[1]

3?結(jié)論

給出矩形波導(dǎo)管中電磁波的電場和磁場各分量表達(dá)式，并分析了管內(nèi)傳輸?shù)碾姶挪ǖ奶匦裕詈笸ㄟ^MATLAB軟件，采用數(shù)值計(jì)算的方式，討論了波導(dǎo)管中只傳輸TE11型波，對應(yīng)的場結(jié)構(gòu)以及管壁上的面電流、磁場以及電場分布，發(fā)現(xiàn)TE11型波的場結(jié)構(gòu)要比TE10型的復(fù)雜的多，從管壁上的面電流分布發(fā)現(xiàn)：可以在管壁上找到合適的位置開“窄縫”，用于探針測量波導(dǎo)管內(nèi)電磁波的場量.

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編輯：琳莉