田兵

摘?要：給出帶有兩個參數(shù)的混合分布—Lindley-Geometric分布（LG分布）的概率密度和失效率函數(shù)的單調(diào)性證明，同時給出了LG分布的Rényi熵和Shannon熵.

關(guān)鍵詞：Lindley分布;Geometric分布;失效率函數(shù);Rényi熵;Shannon熵

[中圖分類號]0212.1???[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]J

The Researches about the Properties of LG Distribution

TIAN ?Bing

（Faculty of Mathematics，Baotou Teachers College，Baotou 014030，China）

Abstract：The paper illustrates the prove of monotonicity about probability density and failure rate of LG distribution ， presents its Rényi entropy and Shannon entropy.

Key words：Lindley distribution;Geometric distribution;failure rate;Rényi entropy; Shannon entropy

人們通常采用失效率研究對象壽命的概率分布. 王蓉華、徐曉嶺、顧蓓青[1]介紹了失效率圖形常見的特點. Adamidis K 和Loukas A S[2]， Coskun Kus[3]，Rasoo Tahmasbia 和 Sadegh Rezaeib[4]分別研究了EG 分布（指數(shù)-幾何分布）、EP 分布（指數(shù)-泊松分布）和EL 分布（指數(shù)-對數(shù)幾何分布）. Ghitany等[5]研究Lindley分布諸多性質(zhì)，并指出Lindley分布具有許多比指數(shù)分布還要靈活的性質(zhì).Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi[6]提出了一種新的帶有兩個參數(shù)的壽命分布——Lindley-Geometric分布（簡記為LG分布），研究了其概率密度、矩、失效率函數(shù)、平均剩余壽命函數(shù)和Bonferroni and Lorenz 曲線以及概率加權(quán)矩等性質(zhì)，給出了LG分布參數(shù)的極大似然估計的漸近方差——協(xié)方差陣.本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，給出了LG分布概率密度和失效率函數(shù)的單調(diào)性證明，同時給出了Rényi熵和Shannon熵.

1?LG分布的f（x，θ），h（x，θ）單調(diào)性

服從參數(shù)為p，β的LG分布的分布函數(shù)F（x）和概率密度分別為[6]

F（x，θ）=1-（1-p）[1+β x/（β+1）]eβ x-[1+β x/（β+1）]p，f（x，θ）=（1-p）β 2（x+1）eβ x（1+β）[eβ x-（1+β x/（β+1））p]2 .（1）

1.1?f（x，θ）單調(diào)性

對LG分布的f（x，θ）求導(dǎo)得

f′（x，θ）=（p-1）β 21+β·e β x[e β x（β x+β-1）+p（1+β 2（1+x）2）/（β+1）][e β x-（1+β x/（β+1））p]3.（2）

令M（x，θ）=e β x（β x+β-1）+p[1+β 2（1+x）2]/（β+1），有M′（x，θ）=β 2（1+x）[e β x+2p/（β+1）]>0，故A x∈[0，+∞），M（x，θ）嚴(yán)格單調(diào)遞增. M（x，θ）=[（1+p）β 2+p-1]/（1+β）.所以有：

若M（0，θ） ≥0，即β≥（1-p）/（1+p）.由M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，故A x∈[0，+∞），M（x，θ） ≥0，進(jìn)而可得f′（x，θ）<0，故此時f（x，θ）單調(diào)遞減.

若M（0，θ） <0，即0<β<（1-p）/（1+p）.此時M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，則

x0∈（+∞，θ），有M（x，θ） =0.可得A x∈[0，x0），有M（x，θ） <0，故f′（x，θ）≥0. A x∈[x0，+∞），有M（x，θ） ≥0，故f′（x，θ）<0.因此，f（x，θ）先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減.

圖1是LG分布在p=0.5;β=1/3，0.5，1，2時f（x，θ）的圖形. 圖1驗證了上述結(jié)論.

1.2?LG分布的h（x，θ）的單調(diào)性

由（1）式可得LG分布的失效率函數(shù)及失效率函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為

h（x，θ）=β 2e β x（1+x）[e β x-（1+βx/（β+1））p][β+1+β x].（3）

h′（x，θ）=β2e β x[e β x-p（1+β x/（β+1））（β 2（1+x）2+1）]/（β+1）2.（4）

令y1=e β x，y2=p[1+β x/（β+1）][β 2（1+x）2+1]，N（x，θ）=y1-y2，則有：

A x∈[0，+∞），y1>0，y′1>0，y"1>0，y′2=pββ+1[1+β 2（1+x）2]+2β 2（1+x）1+β xβ+1>0，y2>0，y"2=p4β 3（x+1）β+1+2β 21+β xβ+1>0，limx→+∞y1y2=+∞，y1（0）=1，y2（0）=p（1+β 2）.

所以A x∈[0，+∞），y1，y2均為嚴(yán)格單調(diào)遞增且函數(shù)值恒為正的函數(shù).當(dāng)x趨于正無窮大，y1是比y2高階無窮大.因此，可得如下結(jié)論：

（1）當(dāng)y1（0）>y2（0），即0y2，N（x，θ）>0，h′（x，θ）>0.此時h（x，θ）嚴(yán)格單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)y1（0）≤y2（0），即（1+β 2）-1≤p<1，則有c∈（0，+∞），N（c，θ）=y1（c）-y2（c）=0.因而A x∈[0，c），有y1

從圖2可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（1+β 2）-1≤p<1， p=0.5，β=2;p=1/3;β=3時，h（x，θ）先單調(diào)遞減之后單調(diào)遞增.當(dāng)0

2?Rényi和Shannon熵

Rényi和Shannon熵用來刻畫隨機(jī)變量X的不確定性、多樣性.r階Rényi熵的定義為

IR（r）=11-rlog∫+∞0fr（x）dx，r>0，r≠1.

LG分布的Rényi熵為

IR（r）=11-rlog∫+∞0（1-p）β 2β+1r（1+x）rdxeβ rx[1-（1+β x/（β+1））pe-β x]2r.（5）

由（1-z）-n=∑∞j=0Γ（n+j）zjΓ（n）j！，n≥1，z∈R，將（5）式的分母展開后代入得

IR（r）=11-rrlog（1-p）+log∑ri=0∑∞j=0∑jl=0

（2r+j-1）！CrjCjlβ2l+2r+i+1pj（i+l）！（2r-1）?。?+β）l+r（j+r）l+i+1j！.（6）

Shannon熵的定義為SEX=E[-log（f（X））]. LG分布的Shannon熵為

SEX=1n1+β（1-p）β 2-∑∞i=1（-1）i-1E（Xi）i-1-β E（X）+2∑∞j=1∑jl=0Cjlβl（1+β）-lpjj-1E（Xle-β jX）.（7）

將E（Xk，θ）=∑∞n=1∑n-1i=0n（1-p）pn-1Cin-1[n（β+1）+k-i]Γ（n+k-i）（β+1）n-iβknn+k-i+1.

E（Xae-bX）=（1-p）∑∞j=0∑jl=0（j+1）Cljβ2+l（1+β）-l-1pj（a+l）！[β（1+j）+b]a+l+11+a+l+1β（1+j）+b

代入（7）式可以計算LG分布的Shannon熵.

3?結(jié)論

當(dāng)β≥（1-p）/（1+p）時，f（x，θ）單調(diào)遞減;當(dāng)0<β<（1-p）/（1+p）時，f（x，θ）先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減. 當(dāng)0<β<（1+β 2）-1，則h（x，θ）嚴(yán)格單調(diào)遞增;當(dāng)（1+β 2）-1≤p<1，則h（x，θ）先單調(diào)遞減之后單調(diào)遞增. ?LG分布的Rényi，Shannon熵分別為公式（4）和公式（5）.

參考文獻(xiàn)

[1]王蓉華.一種新的壽命分布：三參數(shù)威布爾—泊松分布[J]. 統(tǒng)計與決策，2016（12）：65-67.

[2]Adamidis K，LoukasA S. Lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Statistics Probability Letters，1998，39（1）：35-42.

[3]Coskun Kus. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics Data Analysis，2007，51（9）：4497-4509.

[4]Rasool Tahmasbia，Sadegh Rezaeib.A two-parameter lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Computational Statistics and Data Analysis，2008，52（8）：3889-3901.

[5]Ghitany M E， Atieh B， Nadarajah S. Lindley Distribution and its Applications[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2008（78）：493-506.

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[7]趙文英，袁赫. 基于改進(jìn)logistic模型的中國社會消費品零售總額預(yù)測[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2018（4）：15-18.

[8]胡文濤，張理，王子姣. 基于主成分分析法的中國進(jìn)口貿(mào)易影響因素研究[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2018（1）：1-6.

編輯：吳楠