王玉花 姜慶昌 野秀玉 劉新柱

摘 要：為了解決機械腕的控制問題，研究了由歐拉角和等效軸角參數(shù)表示的數(shù)學奇點。通過計算角速度和角加速度，研究機械腕的奇異位形，并根據(jù)它們之間的關系，設計了三種軌跡規(guī)劃方案，以保證機械腕運動的連續(xù)性和穩(wěn)定性，以及機械腕姿態(tài)的優(yōu)雅性和簡潔性，實現(xiàn)實時控制。

關鍵詞：歐拉角;奇異性;軌跡規(guī)劃

中圖分類號：O152.5

文獻標識碼： A

隨著科學技術的進步，機器人技術有了巨大的發(fā)展。機器人操作手是由一系列連桿和相應運動組成，要實現(xiàn)復雜的運動，完成規(guī)定的操作，研究機械腕的運動規(guī)律必不可少[1]。在笛卡爾坐標系中，機械腕的空間描述可以用位置矢量和姿態(tài)矩陣來表示[2]。在本文中，我們分析了歐拉角和等效軸角參數(shù)表示下的機械腕的奇異位形，利用得到的數(shù)學關系式，給出了適用于不同條件下的關節(jié)運動控制方案，從而實現(xiàn)機械腕簡單的操作控制。

1?位姿矩陣

剛體相對于固定坐標系的定向描述是運動學的主要研究內(nèi)容。在笛卡爾坐標系中，圍繞腕點旋轉的機械腕的定向可用固定坐標系和機械腕的運動坐標系之間的旋轉矩陣表示[3]，而這個旋轉矩陣來自于三維歐氏空間的正交群SO（3），作為一個三維流形，SO（3）稱為R3上的旋轉群。

描述物體空間位姿通常用歐拉角進行定義。設機械腕的運動坐標系與固定坐標系重合， 運動坐標系與Z軸，Y軸，X軸的歐拉角分別為α，β，γ，通過正運動學分析，給定關節(jié)角向量（α，β，γ）T，可計算出機械腕的位姿矩陣為

（1）

簡記cα=cosα，sα=sinα，這樣機械腕的位姿就由Z-Y-X歐拉角確定下來。

同理計算出Z-Y-Z歐拉角確定的位姿矩陣：

R=

eαzeβyeγz

=cα-sα0sαcα0001cβ0sβ010-sβ0cβcγ-sγ0sγcγ0001

=cαcβcγ-sαsγ-cαsβsγ-sαcγcαsβsαcβcγ+cαsγ-sαcβsγ+cαcγsαsβ-sβcγsβsγcβ。（2）

機械腕的一般運動形式是繞給定軸的旋轉運動，可以通過旋轉變換求出其等效軸角，用等效軸角坐標系表示姿態(tài)的變換。設ω=（ω1，ω2，ω3）T∈R3表示旋轉軸方向的單位向量，θ∈R為旋轉角度，如果剛體以單位角速度繞ω軸旋轉θ角，則等效軸角坐標系下的位姿矩陣為

R=eω⌒θ

=I+ω⌒sθ+ω⌒2（1-cθ）

=ω21（1-cθ）+cθω1ω2（1-cθ）-ω3sθω1ω3（1-cθ）+ω2sθω1ω2（1-cθ）+ω3sθω22（1-cθ）+cθω2ω3（1-cθ）-ω1sθω1ω3（1-cθ）-ω2sθω2ω3（1-cθ）+ω1sθω23（1-cθ）+cθ，

（3）

其中ω⌒=0-ω3ω2ω30-ω1-ω2ω10稱為角速度矩陣，是反對稱陣，為三維旋轉群SO（3）的李代數(shù)。

2?奇異性分析

根據(jù)逆運動學分析，由（2）式和剛體最終的運動姿態(tài)矩陣R=rij3×3，可以計算出相應的關節(jié)角度向量。反解（2）式求得逆運動學方程為

β=atan2（r312+r322，r33），

α=atan2（r23sβ，r13sβ），

γ=atan2（r32sβ，-r31sβ）。

由姿態(tài)空間的拓撲結構可知，空間剛體姿態(tài)的奇異性是不可避免的。如果sβ≠0， 根據(jù)逆運動學方程可獲得（α，β，γ） 和（α+π，-β，γ+π）兩組解。 但當β=0時，僅可求得α+γ的值，當β=π時，可求得α-γ的值。即當sβ=0時，只能推出α±γ的值，不能確定α，β，γ的值。也就是說，歐拉角參數(shù)表示下的運動姿態(tài)存在奇異位形，機械腕的運動性能無法保證，此時的奇異位形被稱為SO（3）的二維子流形。

此外根據(jù)（3）式可得：

cθ=（r11+r22+r33-1）/2，（4）

ω=（ω1，ω2，ω3）T

=12sθ（r32-r23，r13-r31，r21-r12）T。（5）

從（4），（5）式看出，（ω，θ） 和（-ω，-θ）對應的位姿矩陣R=rij3×3是相同的，此時控制系統(tǒng)必須在兩種解決方案中進行選擇，等效軸參數(shù)表示的運動姿態(tài)也存在奇異位形。并且當θ趨于0或π時，旋轉軸ω變得不明確，奇異現(xiàn)象更為嚴重，需要進一步研究。

因為位姿矩陣R是正交矩陣，滿足RRT=I3×3。求導得：R·RT+R·RT=03×3 ，

即R·RT+（R·RT）T=03×3，令ω^=R·RT，表示剛體瞬間的角速度矢量矩陣。

由（2）式計算，可得

·cαβ·+sαsβγ·α+cβγ·0sαβ·-cαsβγ·-cαβ·-sαsβγ·-sαβ·+cαsβγ·0。（6）

（6）式給出了關節(jié)空間中歐拉角速度矢量與笛卡爾空間中腕部角速度矢量的關系，其對應的矢量形式為

ω= ω1ω2ω3=0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα·β·γ·。 （7）

記J=0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβ，稱為Z-Y-Z歐拉角參數(shù)表示下的雅可比矩陣。易算得J=-sβ，顯然當β=0或π時，雅可比矩陣奇異在這些點上，給定機械腕的角速度，無法確定關節(jié)角速度，Z-Y-Z型歐拉角參數(shù)表示的運動姿態(tài)存在一階運動奇異位形。下面我們對（7）式進一步求導，可得剛體的瞬時空間角加速度

ω·1ω·2ω·3=0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα¨β¨γ¨+

-cα-sαsβcαcβ-sαcαsβsαcβ00-sβα·β·α·γ·β·γ·。（8）

當β=0或π時，需要無限的關節(jié)角加速度來產(chǎn)生有限的機械腕角加速度，這樣施加在旋轉接頭上的扭矩將變?yōu)闊o限大。因此在這些點上，存在二階奇異運動， 角速度和關節(jié)加速度的控制將會中斷[4]。

此外由（3）式可得

ω^=R·RT=0-ω3θ·ω2θ·ω3θ·0-ω1θ·-ω2θ·ω1θ·0，（9）

ω=（ω1，ω2，ω3）Tθ·。（10）

其中θ·是角速度矢量。顯然當θ等于0時，機械腕位形奇異;僅當θ·或θ¨不等于0時，才能保證運動的正常進行。

3?機械腕的軌跡規(guī)劃

在運動學中，軌跡規(guī)劃通常在任務空間或關節(jié)空間中執(zhí)行。在工程實踐中我們需要預期平滑的軌跡。但是在某種情況下，關節(jié)空間中的軌跡不是直線的，這將導致機械腕的定向精度變差，并增加關節(jié)控制的復雜性。如果在聯(lián)合空間中執(zhí)行軌跡規(guī)劃，則保持關節(jié)平穩(wěn)運行是可行的，但機械腕在此過程中運行不穩(wěn)定。以上情況是由SO（3）拓撲結構引起的，它不是簡單的連通空間，而是道路連通空間，換句話說，存在一個“奇點”。如果我們要保證在任務空間中準確定位并在關節(jié)空間中平穩(wěn)運行，則不能保證運動的連續(xù)性。在這種情況下，運動可以分為以下三種情況。

（1）任務空間中的軌跡規(guī)劃

如果我們希望機械腕在任務空間中平穩(wěn)移動，則角速度矢量或角加速度矢量應保持恒定。通過ω=（ω1，ω2，ω3）Tθ·和ω·=（ω1，ω2，ω3）Tθ¨，我們知道θ·或θ¨應該保持不變。對應于（7）和（8）式，可得

0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα¨β¨γ¨+

-cα-sαsβcαcβ-sαcαsβsαcβ00-sβα·β·α·γ·β·γ·=0，（11）

和0-sαcαsβ0cαsαsβ10cβα·β·γ·=0。

（12）

也就是說，關節(jié)角速度矢量α·，β·，γ·T和關節(jié)角加速度矢量α¨，β¨，γ¨T必須滿足等式（11）和（12）。在這種情況下，施加在關節(jié)上的扭矩變化時，相應的關節(jié)角速度矢量和角加速度矢量必須隨之改變，因此控制問題變得復雜。 所以上述方法適用于被動關節(jié)，如球形關節(jié)。 而對于主動關節(jié)，則增加了實時控制的難度。

（2）聯(lián)合空間中的軌跡規(guī)劃

機械腕一般設計成主動關節(jié)，選擇三個歐拉角作為控制參數(shù)。如果要求主動關節(jié)的運動平穩(wěn)進行，最佳軌跡規(guī)劃應在關節(jié)空間進行，α·，β·，γ·T 或α¨，β¨，γ¨T必須是恒定的，以確保聯(lián)合規(guī)劃是可行的。但從（7）和（8）式可以看出，角速度矢量ω和角加速度矢量ω·易發(fā)生變化，所以機械腕的運動不能在空中保持平穩(wěn)。也就是說，機械腕的旋轉軸隨時變化，這將導致機械腕運動不穩(wěn)定和定向準確性更差。

（3）精確定位的軌跡規(guī)劃

在Z-Y-Z歐拉角參數(shù)表示下，假設運動由三個獨立的關節(jié)連續(xù)致動。當前一關節(jié)動作結束時，下一動作才可執(zhí)行。在這種情況下，無論在任務空間還是在關節(jié)空間，過渡點的運動都不能平穩(wěn)地動作，運動雖然定向精度最佳，但其連續(xù)性會變差。

4?結論

通過計算姿態(tài)矩陣的一階、二階運動學方程，得出了關節(jié)空間和任務空間之間的角速度和角加速度的關系。

分析了機械腕運動機構的奇異性， 設計了三種軌跡規(guī)劃方案，分析了各自的優(yōu)缺點和適應性，為實現(xiàn)機械腕的簡單操作控制，提供了理論依據(jù)。

參考文獻：

[1]LIU G F， LOU Y J， LI ?Z X. Singularities of parallel manipulators： a geometry treatment[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation， 2002， 19： 579-594.

[2]TCHON K. Singularities of the Euler wrist[J]. Mechanism and Machine Theory， 2002， 35： 505-515.

[3]于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等. 機器人機構學的實現(xiàn)基礎[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008.

[4]趙曉穎，溫立書，幺彩蓮. 歐拉參數(shù)表示下姿態(tài)的二階運動奇異性[J]. 科學技術與工程， 2012， 12（3）， 634-637.

Singularity and Trajectory Planning of the Mechanical Wrist in Euler

Angles and Equivalent Axis Angle by Parameters Representation

WANG Yuhua1*，JIANG Qingchang2，YE Xiuyu3，LIU Xinzhu2

（1. College of Science， Jiamusi University， Jiamusi 154007， China;

2. College of Mechanical Engineering， Jiamusi University，Jiamusi 154007， China;

3. Jiamusi No.20 Middle School， Jiamusi 154007， China）

Abstract：

Aiming at the control problem of mechanical wrist， the mathematical singularities expressed by Euler angle and equivalent axial Angle parameters were studied. By calculating the angular velocity and angular acceleration， the singular configuration of the mechanical wrist was studied， and according to the relationship between them， three kinds of trajectory planning schemes were designed to ensure the continuity and stability of the movement of the mechanical wrist， as well as the elegance and conciseness of the posture of the mechanical wrist， so as to realize the real￣time control.

Key words：

Euler angles; singularity; trajectory planning

作者單位：

（1.佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007;2.佳木斯大學機械工程學院，黑龍江 佳木斯 154007;3.佳木斯市第二十中學，黑龍江 佳木斯 154007）